Современные подходы в математическом образовании и подготовке учителей математики

§ 2. Структура курса геометрии.

Преподавание курса «Геометрия» в педагогических вузах имеет давнюю историю. В этой связи интересно привести краткое описание истории развития кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета (бывшего МГПИ им. В. И. Ленина). Кафедра геометрии была создана в 1930 году после реорганизации 2-го МГУ и выделения из его состава Московского педагогического института. В 1960 году в состав кафедры вошли преподаватели кафедры геометрии МГПИ им. В. П. Потемкина, которой руководил крупнейший геометр, профессор С. П. Фиников. Начиная с 1930 года, в разные периоды кафедрой заведовали крупнейшие геометры, профессора В. Ф. Каган, Н. Ф. Четверухин, Д. И. Перепелкин, с 1956 г. по 1998 г. Л. С. Атанасян, с 1998 по 2014 год - В. Ф. Кириченко. На кафедре многие годы работали такие крупные специалисты в области геометрии профессора В. Ф. Каган, Я. С. Дубнов, Н. Ф. Четверухин, Г. Б. Гуревич, И. М. Яглом, М. А. Акивис, В. Т. Базылев, В. Н. Костицын, Б. А. Пасынков, М. П. Бурлаков. Для руководства аспирантами, а также для работы на факультете повышения квалификации по специальности «Геометрия и топология» кафедра привлекала крупнейших геометров Москвы. На кафедре работали профессора П. К. Рашевский, А. М. Васильев, Б. А. Розенфельд, Н. М. Остиану, Л. Е. Евтушик. Характерной особенностью всех преподавателей кафедры являлось и вплоть до настоящего времени является умелое сочетание высокого научного уровня преподавания с доходчивостью изложения, с непрерывным поиском новых форм проведения занятий. Одно из основных направлений исследований кафедры относится к области преподавания геометрии в педвузе и в средней школе. Начиная с 1938 г., преподаватели кафедры систематически занимаются подготовкой учебных пособий для педвузов и средней школы, а также статей для научнометодических журналов и сборников. Поэтому не случайно авторами большинства учебных пособий по геометрии, ко-

131

торыми пользуются на математических и физико-математи- ческих факультетах педвузов страны, являются преподаватели кафедры. Эти традиции кафедры сохранились и в наши дни. Так как МГПИ им В. И. Ленина, а затем и МПГУ был и остается головным педагогическим вузом, то профессора и преподаватели кафедры были основными разработчиками программ курсов геометрии для математических и физикоматематических отделений педагогических вузов страны.

В 50-ые и 60-ые годы 20 века студенты физико-мате- матических факультетов педагогических вузов СССР изучали несколько слабо связанных между собой геометрических курсов. А именно: «Аналитическая геометрия», «Элементарная геометрия», «Высшая геометрия», которая включала в себя разделы «Проективная геометрия» и «Основания геометрии», а также курс «Дифференциальная геометрия». В конце 60-х, начале 70-х годов 20 века под руководством академика А. Н. Колмогорова была проведена реформа школьного математического образования, которая потребовала перестройки в подготовке учителя математики. Были пересмотрены программы математических и методических дисциплин, был введен курс «Научные основы школьного курса математики». Претерпела изменения и программа геометрических курсов.

Был веден так называемый единый курс геометрии. Все разрозненные геометрические курсы были объединены в многосеместровую дисциплину. Она включала в себя следующие разделы: аналитическая геометрия, геометрические преобразования на плоскости и в пространстве, геометрические построения на плоскости циркулем и линейкой (конструктивная геометрия), многомерная геометрия, методы изображений, проективная геометрия, элементы топологии и дифференциальной геометрии и, наконец, основания геометрии. В большинстве учебных планов математических отделений педагогических вузов единый курс геометрии преподавался пять семестров. Объединение разрозненных геометрических дисциплин в одну имело большое положи-

132

тельное значение. Прослеживалась четкая взаимосвязь разделов курса геометрии, исчезла повторяемость некоторых частей, программа курса приобрела современный вид. И, что самое главное, несла четко выраженную профессионально педагогическую направленность.

Судьба школьной программы по математике под редакцией А. Н. Колмогорова известна. В 80-е годы она была заменена программой, которая действует в школе с некоторыми изменениями по настоящее время. Но геометрическая подготовка будущих учителей математики не изменилась, что говорит о достаточно универсальной ее основе.

§ 3. Особенности программы курса геометрии при подготовке бакалавров

Приведем программы всех частей единого курса геометрии, реализуемого на математическом факультете Московского педагогического государственного университета и проанализируем особенности их реализации.

Часть 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

Модуль1. Векторынаплоскостиивпространствелинейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов, базис. Разложение вектора по векторам базиса на плоскости и в пространстве. Ориентация плоскости и пространства. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов и их свойства. Метод координат на плоскости и в пространстве. Применение векторной алгебры и метода координат к решению задач элементарной геометрии.

Модуль 2.

Исследование свойств прямых на плоскости, плоскостей и прямых в пространстве по их уравнениям.

133

Применение свойств уравнений прямых и плоскостей к решению задач элементарной геометрии.

Модуль 3.

Свойства кривых второго порядка на плоскости. Изучение свойств кривых второго порядка по их каноническим уравнениям. Общее уравнение линии второго порядка. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления, центры и касательные к линии второго порядка. Диаметры и сопряженные диаметры. Сопряженные направления. Главные направления. Классификация линий второго порядка на плоскости. Поверхности второго порядка в пространстве, метод сечений при исследовании поверхностей в пространстве. Цилиндрические, конические поверхности и поверхности вращения. Кривые второго порядка как сечения прямого кругового конуса. Эллипсоиды, гиперболоиды и параболоиды и их свойства.

Материалчастиноситтрадиционныйхарактер. Еслипроанализировать программу модулей 1 и 2, то она во многом, по крайней мере, в своих основных положениях, известный первокурсникам со школы. В этой связи можно отойти от традиционного изложения первого модуля части, который приведен в пособии [15]. Приводится раздельное изложение векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Более рационально следовать изложению, принятому в пособии [20], в котором векторная алгебра и метод координат рассматриваются одновременно на плоскости и в пространстве.

Часть велика по объему. Но в ней всего два основополагающих понятия: координаты точек и векторов и уравнение линии на плоскости и поверхности в пространстве. Трудности у студентов вызывает большое количество соотношений и формул. Они не так сложно выводятся, но студенты с трудом в них ориентируются. Для четкого и качественного усвоения материала необходимо аккуратно проработать со студентами геометрический смысл скалярного,

134

векторного и смешанного произведений векторов. При этом особое значение имеют задачи элементарной геометрии на применение этих свойств. Ими по сути следует заканчивать практическую часть первого и второго модуля.

Материал третьего модуля носит достаточно традиционный характер. Следует обратить внимание на изучение общей теории кривых второго порядка, особенно на теорему о сопряженных диаметрах. Она потребуется при изучении методов изображение круглых тел в соответствующей части курса геометрии.

Часть 2. Геометрические преобразования на плоскости и в пространстве.

Отображения и преобразования множеств. Группа преобразования множества. Подгруппы группы преобразований. Движения плоскости. Примеры движений. Основная теорема о движениях. Свойства движений. Два вида движений. Аналитическое задание движения. Классификация движений плоскости. Движения пространства и их свойства. Преобразование подобия плоскости. Гомотетия плоскостииеесвойства. Аналитическоезаданиеподобия. Свойства подобия. Подобия пространства. Аффинные преобразования плоскости. Основная теорема об аффинных преобразованиях. Свойства аффинных преобразований. Аналитическое задание аффинного преобразования. Перспективно-аффинные преобразования плоскости и пространства, их свойства. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Инверсия точек плоскости и ее свойства. Применение преобразований плоскости к решению задач школьного курса планиметрии.

Рассматриваемая часть единого курса геометрии имеет большое значение для подготовки учителя математики. Она непосредственно направлена на школьный курс геометрии. Она вызывает определенные трудности у студентов. В современном школьном курсе геометрии не рассматриваются преобразования плоскости или пространства. Изучаются

135

свойства ряда фигур при соответствующих преобразованиях, например, свойства симметричных или подобных фигур.

При изучении материала этой части, как правило, используется аналитический метод изложения. Он наиболее компактен и позволяет быстро достичь требуемого результата. При решении задач элементарной геометрии методом преобразований не рассматриваются задачи на построение, таккаквдальнейшембудетизучатьсяотдельнаячастькурса «Конструктивная геометрия». Преобразования используются при решении обычных задач школьного курса, при этом в части из них решение носит очень эффективный характер.

Иногда приходится слышать мнение, что геометры слишком усложняют курс. Зачем нужны аффинная система координат и аффинные преобразования плоскости. В школе они не рассматриваются. Достаточно задать следующий вопрос, для того, чтобы показать никчемность таких высказываний. Как учитель должен изобразить перпендикулярные диаметры на проекционном чертеже, например, на основании цилиндра? Без свойств сопряженных диаметров кривой второго порядка и аффинных отображений одной плоскости на другую математически грамотно ответить на этот вопрос невозможно.

Также следует обратить внимание на изучение свойств инверсии на плоскости. Как правило, этот материал расположен в конце, зачастую на него не хватает времени. Поэтому студенты испытывают сложности при решении как частных, так и общего случая задачи Аполлония о построении окружности, касающейся трех данных, а также при изучении модели Пуанкаре планиметрии Лобачевского.

Часть 3. Геометрические построения на плоскости циркулем и линейкой (конструктивная геометрия).

Аксиомы циркуля и линейки. Задачи на построение, этапы их решения. Основные задачи на построение. Конструктивные множества, метод конструктивных множеств решения задач на построение. Метод геоме-

136

трических преобразований. Применение инверсии при решении задачи Аполлония. Алгебраический метод решения задач на построение. Построение правильных многоугольников. Разрешимость задачи на построение циркулем и линейкой. Классические задачи, неразрешимые циркулем и линейкой. Применение инструментов, отличных от циркуля и линейки, для решения задач на построение.

Судьба этой части единого курса геометрии в ряде педагогических вузов на наш взгляд складывается достаточно безрадостно. Этот раздел изымался из курса геометрии и передавался на кафедру элементарной математики и методики преподавания математики. Затем очень быстро теоретическая часть переставала преподаваться. В результате на Государственной итоговой аттестации студент не может привести пример задачи, неразрешимой циркулем и линейкой. Все части единого курса геометрии взаимосвязаны и взаимозависимы, поэтому безболезненно изымать что-либо из него невозможно.

Несколько слов о последних разделах, теорема о разрешимости задачи на построение и использовании инструментов, отличных от циркуля и линейки. Основная теорема о критерии построения отрезка циркулем и линейкой студентам приводится без доказательства (см [15] и [20]). Также о теоремах Мора-Маскерони и Штейнера студенты только информируются. Доказательства этих утверждений переносятся на дисциплины по выбору и в курсовые работы. Подробно рассматривается пример деления угла на три части с помощью циркуля и линейки с отмеченным на ней отрезком.

Часть 4. Многомерная аффинная и евклидова геометрия.

Модуль 1. Векторное и евклидовое векторное n-мерные пространства. Векторное пространство, его аксиоматика. Линейная зависимость векторов, размерность векторного пространства. Подпространства

137

n-мерного векторного пространства и их свойства. Билинейныеформывекторныхпространств, матрицабилинейной формы, ее свойства. Симметрические и положительно определенные билинейные формы. Сопряженные векторы относительно билинейной формы. Теорема о существовании базиса n-мерного векторного пространства, состоящего из попарно сопряженных векторов симметрической билинейной формы. Линейные отображения векторных пространств и их свойства. Линейные преобразования векторных пространств.

Евклидовы векторные пространства. Свойства скалярного произведения векторов. Длина вектора и угол между векторами. Ортонормированный базис и матрица скалярного произведения в этом базисе. Длина вектора и угол между векторами в координатах в ортонормированном базисе. Матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому, ортогональные матрицы и их свойства. Ортогональные преобразования евклидовых векторных пространств.

Модуль 2. Квадратичные формы векторных и евклидовых векторных пространств. Квадратичные формы векторного пространства. Взаимно однозначное соответствие квадратичной и билинейной симметрической формы. Канонический вид квадратичной формы. Ее приведение к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Положительно определенные квадратичные формы.

Квадрики в евклидовых векторных пространствах. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Его характеристическое уравнение. Собственные подпространства линейного оператора, соответствующие его собственному значению. Симметрические линейные операторы и их свойства. Свойства собственных векторов симметрического линейного оператора. Теорема о существовании в n-мерном евклидовом пространстве ортонормированного базиса,

138

состоящего из собственных векторов симметрического оператора. Теорема о существовании в n-мерном евклидовом пространстве ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.

Модуль 3. Многомерные аффинные и евклидовы про-

странства. Аксиоматика многомерных аффинных пространств и их свойства. Аффинная система координат в многомерном аффинном пространстве и простейшие задачи в координатах. K-мерные плоскости многомерных аффинных пространств. Их свойства, параметрические и общие уравнения. Взаимное расположение многомерных плоскостей. Аффинные преобразования и их свойства.

Евклидовы многомерные пространства. Прямоугольная декартова система координат в этих пространствах, длина отрезка и угол между векторами в декартовых координатах. Преобразования прямоугольных декартовых координат и движения в многомерных евклидовых пространствах.

Квадрики в многомерных аффинных пространствах, пересечениеквадрикиипрямой. Асимптотическиенаправления, центрыикасательныекквадрике. Цилиндрические и конические квадрики в n-мерных аффинных пространствах. Классификация центральных и не центральных квадрик многомерных аффинных пространств. Полная классификация квадрик в трехмерном аффинном пространстве. Квадрики в n-мерном евклидовом пространстве. Их классификация в трехмерном евклидовом пространстве.

Рассматриваемая часть курса геометрии во многом носит алгебраический характер Геометрические вопросы рассматриваются только в модуле 3. Но вся часть имеет большое значение для логического построения курса геометрии. Во-первых, по сути изучается обобщение аналитической геометрии трехмерного пространства на пространство произвольной размерности. Во-вторых, вводится и строится геометрия многомерного пространства на основе аксиома-

139

тики Вейля, которая будет в дальнейшем использоваться при изучении проективного и неевклидовых пространств. И, в-третьих, изучается теория квадратичных форм и доказывается теорема об одновременном приведении двух квадратичных форм к каноническому виду. Материал достаточно сложный и трудно усваивается студентами. Для их эффективного обучения необходима хорошая алгебраическая подготовка.

Часть 5. Методы изображений.

Параллельное проектирование и его свойства, изображение плоских фигур, многогранников и круглых тел при параллельном проектировании. Аксонометрия и ее свойства, аффинные и метрические задачи аксонометрии. Понятие о методе Монжа.

Важность этого этой части единого курса геометрии для подготовки будущего учителя математики трудно переоценить. В ней объясняются методы изображений пространственных тел на плоском чертеже. Сейчас многие учителя для этого используют графические редакторы. В последнее время особенно часто используется Geogebra. И при этом особенно не задумываются о правилах изображения фигур, за них это делает компьютер. Ясно, что компьютер компьютером, но учителю иметь знания о законах изображения фигур при параллельном проектировании и уметь их использовать просто необходимо. Особенно следует отметить раздел, посвященный методу Монжа. Во многих школах сейчас, к сожалению, не преподается дисциплина «Черчение». Поэтому не только школьники, но и учителя не имеют представления об эпюрах Монжа. А ведь этот метод Монжа составляет основу технического черчения.

Часть 6. Проективная геометрия.

Модуль 1. Основные свойства фигур на проективной плоскости. Аксиомы проективного пространства. Модели проективной плоскости. Прямые и их свойства. Система

140