Современные подходы в математическом образовании и подготовке учителей математики

координат и проективные координаты точек, однородные и неоднородные координаты точек на расширенной аффинной плоскости. Принцип двойственности, теорема Дезарга. Двойное отношение точек на проективной прямой и прямых в пучке, их свойства. Гармонические свойства полного четырехвершинника.

Модуль 2. Проективные преобразования и кривые второгопорядканапроективнойплоскости. Проективные отображения прямых и пучков, их свойства. Проективные преобразования прямой. Инволюция и ее свойства. Проективные преобразования плоскости. Аналитическое выражение проективных преобразований. Линии второго порядка на проективной плоскости, их классификация. Касательные к линии второго порядка, полюсы и поляры. Линии второго порядка на расширенной аффинной плоскости. Свойства вещественной овальной линии второго порядка. Теоремы Штейнера, Паскаля, Брианшона.

Следуя пособиям [21] и [16], изложение материала ведется на основе аксиоматики Вейля проективного пространства, которое практически в самом начале позволяет ввести систему координат и использовать аналитические методы исследование свойств фигур на проективной плоскости. Приведем систему аксиом проективной плоскости.

Основные объекты будут состоять из ненулевых векторов трехмерного линейного векторного пространства V3 и элементов некоторого непустого множества P2. Само множество P2 мы будем называть проективной плоскостью, а его элементы - точками. Под основным отношением нами будет пониматься отображение κ: V3/{ 0 }®P2.

Основные объекты и основное отношение удовлетворяют следующим двум аксиомам (аксиомы Вейля проективной плоскости):

П1: Отображение κ ненулевых векторов пространства Vn+1 на точки пространства Pn. является сюръективным.

141

П2: Образы двух векторов совпадают тогда и только тогда, когда они коллинеарные.

Отображение κ называется в дальнейшем называть ба-

зисным отображением.

Понятие прямой на проективной плоскости, система координат и координаты точек определяется так же, как и в пособии [16]. Но понятие двойного отношение удобнее вводить по-другому.

Пусть дана упорядоченная четверка различных точек прямой А, В, С, D. Рассмотрим произвольные векторы, им соответствующие при базисном отображении: a κ А, b κ В, c κС и d κD. Так как точки лежат на одной прямой, то векторы a , b , c и d принадлежат одному двумерному векторному подпространству. Точки А и В — различные, поэтому векторы a и b образуют базис этого подпространства. Разложим векторы c и d по векторам a и b

Так как рассматриваемые точки не совпадают друг с другом, то числа α, β, α´ и β´ отличны от нуля. Доказывается следующее утверждение.

Число : не зависит от выбора векторов, соот-

ветствующих точкам А, В, С и D при базисном отображении.

После доказательства этого свойства вводится следующее определение.

Дана упорядоченная четверка А, В, С и D различных точек проективной прямой. Векторы a , b , c и d соот-

142

ным отношением точек А, В, С и D.

Такое определение двойного отношения позволяет достаточно просто без введения координат точек доказать все свойства двойного отношения и установить связь между двойным и простым отношением точек на расширенной плоскости.

Следует подчеркнуть, что изучение свойства проективных преобразований, линий второго порядка и их свойств на расширенной плоскости имеет большое значение для понимания студентами того факта, что проективная геометрия представляет собой ту обобщающую теорию, в схему которой вписываются остальные геометрии, в частности аффинная и евклидова. К сожалению, время на изучение проективных интерпретаций аффинной и евклидовой геометрий в базовом курсе геометрии не отводится. Изучение этих моделей, а также проективных интерпретаций неевклидовых и псевдоевклидовой геометрий переносится на дисциплины по выбору. Их изучают студенты, которые специализируются на кафедре геометрии.

Часть 7. Основания геометрия.

Модуль 1. Общие вопросы аксиоматики.

Понятие о математической структуре и системе аксиом, непротиворечивость, независимость и полнота системы аксиом. Исследование системы аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и построение начал геометрии на основе аксиоматики Вейля. Аксиоматика Гильберта трехмерного евклидова пространства (обзор), основные следствия из этой системы аксиом и ее исследование. Эквивалентность аксиоматик Вейля и

143

Гильберта. Непротиворечивость, полнота и независимость аксиоматики Гильберта.

Модуль 2. Аксиома параллельности и элементы геометрии Лобачевского.

Проблема пятого постулата Евклида, теоремы Лежандра, утверждения, равносильные аксиоме параллельности евклидовой геометрии. Аксиома параллельности Лобачевского, параллельные прямые на плоскости Лобачевского и их свойства. Свойства треугольников и четырехугольников на плоскости Лобачевского. Угол параллельности и его свойства. Свойства параллельных и расходящихся прямых. Свойства окружности, эквидистанты и орицикла. Непротиворечивость геометрии Лобачевского, независимость аксиомы параллельности от остальных аксиом Гильберта.

Модуль 3. Теория измерений (обзор).

Длина, площадь и объем, теоремы существования и единственности, равновеликие и равносоставленные фигуры. Теоремы Бояи — Гервина и Дене — Кагана.

Рассматриваемая часть единого курса геометрии имеет исключительно большое значение при подготовке учителя математики. Невозможно представить себе учителя математики, который не знает требований, предъявляемых к системе аксиом, не понимает роль и место аксиомы параллельности в логическом построении элементарной геометрии. Эта часть единого курса геометрии необходима для логического обоснования школьного материала, который студенты будут преподавать во время педагогической практики. Он крайне важен при изучении курса «История математики», а также служит основой для ряда дисциплин по выбору студентов.

Вклассических университетах материал, относящиеся

кэтой части единого курса геометрии, студенты не изучают. Поэтому при анализе уроков в седьмом классе, которые

144

провел учитель, выпускник классического университета, сразу видны недочеты, объясняемые недостаточным усвоением им этой части курса.

Отметим, что, как видно из программы, порядок изучения материала отличается от предложенного в [16]. В этом пособии принят традиционный способ изложения (см., например, [61], [90], [116]), в котором сначала рассматриваются свойства фигур на плоскости Лобачевского, а затем изучаются общие вопросы аксиоматики. Нам представляется, что к моменту изучения оснований геометрии студенты уже познакомились с понятием структуры системы аксиом при изучении многомерной и проективной геометрий, поэтому можно начинать изучение с общих вопросов аксиоматики.

Начинается изучение оснований геометрии с интереснейшего исторического материала, с истории попыток доказательства пятого постулата Евклида, который имеет исключительное методологическое значение. Как известно, в этих доказательствах использовались утверждения, эквивалентные аксиоме параллельности и их исследование привело к открытию гиперболической геометрии, или геометрии Лобачевского. История открытия математических понятий, практические потребности, приведшие к изучению их свойств, крайне важны при их преподавании. Особенность открытия неевклидовой геометрии состоит в том, что исследования проблемы пятого постулата Евклида никакой практической значимости не имели. Эта проблема возникла как чисто логическая задача, исследования которой привели не только к открытию неевклидовой геометрии, но и к обоснованию использования аксиоматического метода в математических исследованиях. Изучение утверждений, эквивалентных аксиоме параллельности оказывает существенное влияние на понимание логической структуры школьного курса геометрии, на осознание роли и места аксиомы параллельности в доказательстве геометрических теорем и изучении свойств фигур.

145

При преподавании рассматриваемой части необходимо использовать максимально возможное количество ссылок на курс элементарной геометрии, на свойство фигур евклидовой плоскости. Как правило, непротиворечивость геометрии Лобачевского, т. е. независимость аксиомы параллельности от остальных аксиом Гильберта, доказывается с помощью модель Кэли-Клейна, построенной на множестве внутренних точек вещественной овальной квадрики проективной плоскости. При нашем построении курса такой подход потребует достаточно большого количества лекционных занятий. Но аналогичную модель можно построить на евклидовой плоскости с помощью внутренних точек окружности. Такое доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского изложен в пособии [15] и достаточно подробно в [21]. Можно также использовать модель Пуанкаре планиметрии Лобачевского.

Основная роль в нашем изложении начал геометрии Лобачевского отводится утверждениям, равносильным аксиоме параллельности. В пособии [21] им уделяется достаточно большое внимание. К сожалению, приходится констатировать, что некоторые учителя, не смотря на то, что они изучали курс основание геометрии в педвузе, не понимают, что утверждения Фаркаша Бояи, Валлиса, Поседония и Лежандра (их формулировки будут приведены ниже) справедливы только на евклидовой плоскости и не могут быть доказаны без аксиомы параллельности и, по сути, равносильны аксиоме параллельности Плейфера.

Рассмотрим эти утверждения более подробно. Для их обоснования потребуются следующие теоремы абсолютной геометрии.

Первая теорема о внешнем угле треугольника:

внешний угол треугольника больше любого внутреннего, не смежного с ним.

Первая теорема Лежандра: сумма углов любого тре-

угольника на плоскости не может превышать суммы двух прямых углов.

146

Вторая теорема Лежандра: если на плоскости суще-

ствует хотя бы один треугольник, сумма углов которого равна развернутому углу, то сумма углов любого другого треугольник также равна сумме двух прямых углов.

Отсюда следует, что утверждение: на плоскости суще-

ствует хотя бы один треугольник, сумма углов которого равна развернутому углу, равносильно утверждению акси-

омы Плейфера: через точку, не принадлежащую прямой, в этой плоскости проходит не более одной прямой, не пересекающей данную.

В конце 18 и начале 19 веков известный венгерский математик Фаркаш Бояи, отец одного из первооткрывателей геометрии Лобачевского Яноша Бояи, предпринимал попытки доказательства пятого постулата Евклида. При этом он привел доказательство пятого постулата, но при неявном допущении, что вокруг любого треугольника на плоскости можноописатьокружность. Можнопоказать, чтоэтоутверждение равносильно аксиоме параллельности Плейфера.

Прежде всего, напомним известный факт из школьного курса геометрии: если вокруг треугольника можно описать окружности, то ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров. Наоборот, если два серединных перпендикуляра треугольника пересекаются, то их общая точка служит центром описанной окружности этого треугольника и через эту точку проходит серединный перпендикуляр к третьей стороне. Доказательство утверждения: на евклидовой плоскости вокруг любого треугольника можно описать окружность, не отличается от изложенного в школьных учебниках. Здесь только следует добавить доказательство того факта, что на евклидовой плоскости любые два серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются. Рассмотрим обратное утверждение

Если вокруг любого треугольника на плоскости можно описать окружность, то выполнено условие аксиомы параллельности евклидовой геометрии.

147

Пусть дана произвольная прямая а и точка В, которая ей не принадлежит. Опустим из точки В перпендикуляр с на прямую а (рис 8). Так как два перпендикуляра к одной прямой не пересекаются, то достаточно доказать, что любая прямая b, проходящая через точку В и неперпендикулярная прямой с, пересекается с прямой а. Выберем на отрезке АВ произвольную точку М (см.

рис. 8). Отразим ее симметрично относительно прямых a и b. Получим, соответственно, точки P и N. Точка Р принадлежит прямой с. Так как прямые с и

b не перпендикулярны друг другу, то точка N не лежит на прямой с. Точки P, M и N образуют вершины треугольника, а прямые a и b служат его серединными перпендикулярами. Поэтому они пересекаются в центре окружности, описанной вокруг треугольника PMN. Утверждение доказано. Таким образом, утверждение, что вокруг любого треугольника можно описать окружность, равносильно утверждению аксиомы Плейфера.

Рассмотрим теперь утверждение Валлиса: на плоскости существуют два треугольника с равными углами, но не равными сторонам. Нетрудно показать, что оно равносильно утверждению аксиомы Плейфера. Действительно, во всех школьных учебниках доказывается, что на евклидовой плоскости существуют подобные, но не равные треугольники. Рассмотрим обратное: на плоскости даны два треугольника с соответственно равными углами, но не равными сторонами. Покажем, что при этом выполняется условие аксиомы Плейфера.

Пусть даны два треугольника АВС и А1В1С1, такие, что

A A1, B B1, C C1 ,и AB A1B1 . Будем для

148

определенности считать, что AB A1B1 . Отложим от точки А на луче АВ отрезок АВ´, равный отрезку А1В1,а также на луче В´А угол B A,h , равный углу A1B1C1 (рис. 9). Так как прямая h пересекает сторону АВ треугольника АВС в точке В´, то в соответствии с аксиомой Паша она пересекает вторую сторону этого треугольника. Предположим, что она пересекает прямую ВС в точке М (см. рис. 9 а). Тогда для треугольника В´МВ угол AB M — внешний и по построению он равен B BM . Мы пришли к противоречию с теоремой о внешнем угле треугольника. Таким образом, прямая h пересекает отрезок АС в некоторой точке С´ (см. рис. 9 б).

Рис. 9

В силу условия (1) и равенства отрезков АВ´ и А1В1, треугольники А1В1С1 и АВ´С´ равны между собой по второму признаку равенства треугольников. Рассмотрим четырехугольник В´С´СВ. Он является выпуклым, и из равенства треугольников А1В1С1 и АВ´С´ следует, что сумма углов этого четырехугольника удовлетворяют равна 4d, где d прямой угол. Отсюда легко получить, что сумма углов треугольника B CB равна 2d. Как было показано выше отсюда следует, что выполнено условие аксиомы Плейфера.

Следующее предложение носит имя Лежандра. Он использовал это утверждение, пытаясь построить пример треугольника, сумма углов которого равна двум прямым.

Перпендикуляр, проведенный к стороне острого угла в любой точке этой стороны, пересекает вторую сторону угла. Предложение Лежандра эквивалентно аксиоме параллельности евклидовой геометрии. Мы не будем останавли-

149

ваться на подробном доказательстве этого утверждения. С ним можно познакомиться в пособиях [16] и [21].

Следующее утверждение носит имя античного матема-

тика Посидония. На плоскости существуют, по крайней мере, три коллинеарные точки, расположенные в одной полуплоскости от данной прямой и равноудаленные от нее. Предложение Посидония эквивалентно утверждению аксиомы параллельности евклидовой геометрии.

На евклидовой плоскости, как следует из школьного курса геометрии, точки, расположенные на прямой, параллельной данной, равноудалены от нее. Обратное утверждение следует из свойств четырехугольника Саккери.

Как известно, углы, прилежащие к верхнему основанию четырехугольника Саккери, равны между собой. Предположим, что существует такая прямая а и такие три точки В, С и М, что перпендикуляры АВ, CD и MN, опущенные изнихнапрямуюа, равнымеждусобой(рис. 10). ТогдачетырехугольникиABCD, DCMN иABMN являютсячетырехугольниками Саккери. Поэтому BCD ABC (так как ABCD–четырех- угольник Саккери), BMN ABC (так как ABMN — четырехугольник Саккери), DCM BMN (так как DCMN — четырехугольник Саккери). Следовательно, ABC BCD DCM . Но углы BCD и DCM — смежные, поэтому они равны прямому углу. Отсюда следует, что все рассматриваемые четырехугольники прямоугольники. Тогда на плоскости существует треугольник, сумма углов которого равна развер-

нутому углу, т. е. выполнена аксиома Плейфера.

Список рассмотренных утверждений, эквивалентных аксиоме параллельности евклидовой геометрии не является полным. Существуют и другие утверждения, также эквива-

150