Современные подходы в математическом образовании и подготовке учителей математики

рии Бруссо, взаимоотношения и взаимная ответственность учителя и учащихся в дидактической ситуации регулируются дидактическим контрактом. В самой приблизительной форме контракт этот можно сформулировать тривиальным образом: «Учитель обязан учить, ученик обязан учиться». Как отмечает Бруссо, дидактический контракт зачастую не выражается в явной форме и не подлежит обсуждению [46]. Тем не менее, ему необходимо повиноваться во что бы то ни стало, иначе не будет образования. В то же время, хотя ему и необходимо повиноваться, он должен быть нарушен, ибо знания не могут передаваться в готовом виде и поэтому никто — ни учитель, ни ученик, реально не может повелевать. Как пишет Балашеф [24], “дидактический контракт чаще всего не формулируется явно, он есть результат социального взаимодействия в аудитории и его существование проявляется лишь когда он нарушается одним из участников”.

Как отмечают французские исследователи ([24], [270]), дидактический контракт может отрицательно воздействовать на процесс изучения учащимися математического содержания. И. Шеваллар приводит в качестве примера так называемую «проблему нуля»: учащиеся часто совершают ошибки типа «0 4=4» или же, решая уравнение вида «2х=0», дают ответы типа «х=2», «х= –2», «х=1/2» и т. п. Многие склонны объяснять такие ошибки сложностью понятия нуля. Однако Шеваллар считает, что дидактические проблемы такого рода, когда имеют место массовые неудачи учащихся в упражнениях определенного типа, не могут быть объяснены без учета всех обстоятельств и условий, в которых эти проблемы возникают. Поэтому следует привлечь для такого объяснения понятие дидактического контракта. В данном случае (в упражнениях с использованием нуля) такой контракт «предусматривает», что в результате решения упражнения в ответе присутствует что-то от первоначального выражения, или же ответ «подобен» первоначальному выражению (как, например, из 4х=12 следует х=3 или из 2х=12 следует х=6). В примерах же с нулем ответ «катастрофиче-

21

ски» отличается от первоначального выражения (ненулевые коэффициенты исчезают). И когда учитель предлагает верный ответ (например, х=0), учащиеся могут воспринять это как нарушение дидактического контракта. Еще один пример: Пиуэ [183] обнаружил, что старшеклассники, которые по меньшей мере в течение трех лет изучали функции, не видят интереса и экономии в функциональном мышлении. Для подавляющего большинства, оно остается лишь предметом дидактического контракта.

Серпинска с соавторами ([215], с. 123) различают два видадидактическогоконтракта(и, соответственно, двавида дидактических ситуаций): социальный дидактический контракт и когнитивный дидактический контракт. В социальном контракте, «договоренности» между учащимися и преподавателем — общественного и организационного характера для данного образовательного учреждения. Учащихся интересует, в какой форме представлять решения, делать ли проверку и т. п. В когнитивном же контракте, предмет «договоренностей» — интерпретация представлений, используемых при сообщении знаний, природа изучаемых математических объектов.

В чистом натаскивании нет дидактического контракта. Если и проблема, и информация для ее решения сообщаются учителем, это лишает ученика условий, необходимых для учения и понимания. Он будет способен лишь воспроизводить способы рассмотрения и решения проблемы, сообщенные ему учителем. С другой стороны, изолированная проблемная ситуация сама по себе не порождает способов для анализа и решения проблемы. Задача дидактики, на взгляд Бруссо и его последователей, состоит в том, чтобы, рассматривая как «переменные» проблемы, элементы математического содержания и методические приемы, попытаться проанализировать, априори, какие манипуляции с этими переменными возымеют желательный эффект (помогут учащимся в построении математических смыслов). Смысл математического понятия определяется совокупностью ситуа-

22

ций, в которых данное понятие появляется как оптимальное разрешение ситуации. Таким образом, изучая возможности овладения учащимися определенными пониманиями, концептуализациями или способами рассуждений, нужно исследовать и находить контексты, в которых эти понимания

ит. д. становятся необходимыми, разрабатывать соответствующие ситуации, экспериментировать с ними. Для этого нужно проводить глубокий эпистемологический1 анализ математического содержания. Такие исследования Бруссо и его последователи называют «дидактической инженерией».

Всвоей теории Бруссо опирался на идеи философа Г. Башляра, который считал, что новое знание всегда — ответ на какую-то проблему [29]. Поэтому учащийся развивает лишь те понятия, которые являются оптимальными решениями тех задач, над которыми ему приходится работать. Например, такие сложные понятия, как пределы, производные, интегралы, линейные преобразования, оказываются “избыточными” для тех задач, с которыми при обычном преподавании студентам приходится иметь дело: в математическом анализе упражнения требуют лишь алгебраических манипуляций в соответствии с определенными правилами;

врешении задач линейной алгебры часто вполне достаточно (и более экономично) использовать преобразования наборов переменных. Таким образом, глубокие понятия не оказываются “востребованными”, и студент не овладевает ими достаточно глубоко. История науки показывает, что такие общие понятия, как функция, векторное пространство, линейное преобразование, группа, возникли как способ организации обширных областей математического опыта,

ипроблемы такой организации не могут быть интересны и доступны учащимся (студентам) на достаточно ранних стадиях обучения. Это обстоятельство в определенной степени

1 Эпистемология — теория познания (в русскоязычной литературе употребительнее термин гносеология, использовавшийся В. И. Лениным).

23

объясняет известные сложности в преподавании таких абстрактных понятий [212].

Г. Башляром введено также понятие эпистемологического препятствия: новое понятие рассматривается как результат выхода за пределы некоего ограниченного взгляда, преодоления влияния какой-либо (возможно, неосознанно применяемой) схемы рассуждений, препятствующей познанию нового. Г. Бруссо с середины 70-х гг. включил понятие эпистемологического препятствия в свою теорию. Он писал: “...Если понятие работает хорошо и в течение достаточно длительного времени, оно приобретает ценность, твердость, важность, такую степень развития, которые делают его изменение, обобщение или отказ от него все более и более трудными; оно становится для дальнейшего обучения препятствием, однако в то же время и точкой опоры. ...Ошибки и неудачи следует понимать не так упрощенно, как это обычно делается. Ошибка не есть результат неведения, неопределенности, случайности, как обычно предполагается в некоторых эмпирицистских и бихевиористских теориях обучения, но скорее последствие прежнего знания, которое в свое время представляло интерес и имело успех, но оказывается теперь ошибочным или просто плохо приспособленным. Ошибки такого рода не являются случайными и непредсказуемыми: они оборачиваются препятствиями. В функционировании как учителя, так и учащегося, ошибки важны для установления значения приобретаемого знания” [43].

Последователями Бруссо как во Франции, так и за ее пределами (Например, Серпинска [212] проведена значительная работа по «дидактической инженерии», в том числе и с использованием концепции эпистемологического препятствия: проанализированы вопросы школьной алгебры, линейной алгебры, понятий расстояния, предела ([77], [114], [271]). И. Шеваллар [267] ввел термин «дидакти-

ческая транспозиция», знаменуя осознание французскими исследователями того, что, несмотря на сходную роль эпистемологических препятствий в историческом процессе

24

научного познания и в процессе учения, математика как наука и математика как учебный предмет — это не одно и то же. Шеваллар рассматривает дидактическую транспозицию в двух смыслах: 1) в широком смысле — дидактическая транспозиция от научного знания к знанию для преподава-

ния (т. е. отбор из научной дисциплины содержания, которое следует преподавать); 2) в узком смысле — дидактическая транспозиция от «знания для преподавания» к преподаваемому знанию (т. е. собственно методическая обработка отобранного для преподавания материала). Вот как в этой терминологии, например, интерпретируется элемент известной реформы по введению элементов «новой (бурбакистской)» математики в школу: решение ввести в школьное преподавание основы теории множеств — это дидактическая транспозиция в широком смысле; дидактическая же транспозиция в узком смысле здесь — это разработка приемов, которые позволили бы в определенном смысле эффективно преподавать отобранный материал — скажем, рекомендации по использованию диаграмм Эйлера — Венна и т. п. Сам Шеваллар использовал концепцию дидактической транспозиции в своем исследовании перехода от изучения арифметики к изучению алгебры в старших классах ([266], [268], [269]). В своем докладе на 8-м конгрессе по математическому образованию в Севилье М. Артиг подвела итоги вековой истории дидактической транспозиции элементов математического анализа в школьную математику [14].

Ряд исследователей, включая Ж. Вергно [51] и М. Артиг, используют подход, основанный на понятии «концептуальных полей», под которыми подразумеваются математические модели определенных областей школьной математики (например, «мультипликативные» и «аддитивные» структуры, элементы математического анализа). Этот подход отличается от подхода Г. Бруссо, где упор делается на дидактические ситуации, связанные с теми или иными математическими понятиями и процессами. Как отмечает Серпинска [213], хотя подход через «дидактические ситуации» пред-

25

ставляется более «антропологическим», оба подхода могут давать выглядящие одинаковыми «инженерные» результаты (т. е. разработки и рекомендации для процесса обучения).

Общим для французских исследователей является взгляд на математику как науку, как деятельность профессиональных математиков. С этим связано и внимание к роли учителя в процессе обучения. Так, инновационную деятельность учителей они не относят к научно-исследовательской. Бруссо [45] писал: «Цель обучения — сообщить бережно накопленное культурное знание... Тексты науки уже написаны в другом месте, и представляется нелегитимным для учителя позволять себе изменить их хотя бы на йоту в момент преподавания». Учителю позволяется лишь готовить известную математику для преподавания, находя, какие она позволяет ставить и решать задачи, как лучше «подать» ее: все это — задачи дидактической транспозиции. Бруссо сопоставляет математика-исследователя с автором пьесы, а учителя — с актером. Бруссо подчеркивает, что со времен Шекспира, Мольера и особенно Дидро с его «Парадоксом об актере» доли ответственности автора и актера регулируются таким образом, что актер должен именно «исполнять» написанное автором, а не импровизировать и творить свое содержание, как это было в эпоху итальянской коммедиа дель арте. Более того, по аналогии с рассуждениями Дидро об актерском искусстве в «Парадоксе об актере», Бруссо считает, что более эффективной деятельность учителя будет в том случае, если он будет не «жить нутром в образе», не «творить математику» в аудитории, а, тщательно подготовившись, хладнокровно «исполнять» математику, уже написанную математиками-исследователями (и подвергнутую «дидактической транспозиции» специалистами по дидактике математики). Эти идеи Бруссо — обобщение его концепции дидактического контракта, регулирующее взаимную ответственность участников процесса обучения уже не в аудитории, а в системе математического образования в целом. Бруссо не отказывает учителям в праве на инновации, он

26

лишь считает, что не следует смешивать их с исследованиями: на его взгляд, учитель может на свою ответственность применять инновации, помогать прогрессу дидактической науки привлечением внимания к определенным проблемам, однако не следует смешивать роли — нельзя одновременно и исследовать, и преподавать.

Труды французских специалистов в «дидактике математики», особенно Г. Бруссо, оказали и продолжают оказывать значительное влияние на развитие теории математического образования, в большей степени — в европейских странах. Главные особенности этого направления (отличающие его, например, от американского конструктивизма): взгляд на математику как на науку, создаваемую учеными-математи- ками, четкое разделение между теорией (разрабатываемой исследователями) и практикой (осуществляемой учителями) математического образования, упор на разработки «дидактических ситуаций» [213]. Как отметила А. Серпинска в своем пленарном докладе на 8 Конгрессе по математическому образованию в Севилье, «Теория ситуаций заставляет разработчика дидактических действий думать о сути математических понятий: какого рода задачи помогают они решать, в каких контекстах они приложимы, каков был их исторический генезис? Эпистемологический анализ такого рода необходим для изобретения так называемого «искусственного генезиса математических понятий в учащихся» [214].

Вто же время французским специалистам принадлежат

иочень значительные достижения в практике преподавания. Так, ими разработан программный пакет по динами-

ческой геометрической среде Cabri-Geometre [141] (о при-

менении новых технологий в математическом образовании за рубежом речь пойдет несколько дальше).

Таким образом, основные разработки «французской дидактики» — следующие:

• обучение ведется с помощью а-дидактических или дидактических ситуаций;

27

•а-дидактическая ситуация — это ситуация обуче-

ния без учителя, когда ребенок вовлекается в игру в умело подобранной «учебной среде» (milieu), и «вынужден» использовать математические понятия, если только он решил участвовать в игре;

•дидактические ситуации строятся с помощью учи-

теля;

•при этом взаимоотношения и взаимная ответственность учителя и учащихся в дидактической ситуации регу-

лируются дидактическим контрактом;

•один из простейших видов дидактической ситуации — деволюция: учитель может поставить проблему перед учениками и сам незаметно удалиться со сцены, как бы делегируя учащимся ответственность за разрешение проблемы. Знания, самостоятельно «построенные» учащимися

всовместной классной работе, должны быть затем синтезированы и «легализованы» учителем. Это действие называ-

ется институционализацией;

•для разработки дидактических ситуаций необходимо проводить глубокий эпистемологический анализ содержания. Деятельность по такому анализу называется дидакти-

ческой инженерией;

•в частности, дидактическая инженерия призвана анализировать эпистемологические препятствия (привыч-

ные понятия, непригодные для объяснения нового содержания, но мешающие овладению новым знанием), важные для установления значения приобретаемого знания;

•одно из направлений дидактической инженерии —

«дидактическая транспозиция», рассматриваемая в двух смыслах: дидактическая транспозиция от научного знания

к знанию для преподавания (т. е. отбор из научной дис-

циплины содержания, которое следует преподавать); 2) дидактическая транспозиция от «знания для преподавания» к преподаваемому знанию (т. е. собственно методическая обработка отобранного для преподавания материала).

28

Направления исследований в немецкоязычных странах, прежде всего в Германии, близки по духу к работам французских специалистов. Так, в Германии популярна идея организации учебных программ вокруг «фундаментальных понятий» математики [235], которая перекликается с французской идеей «концептуальных полей». Много работ в Германии связано с так называемой «интеракционистской» программой, в какой-то мере опирающейся на философские идеи символи-

ческого интеракционизма Дж. Мида ([35], [279]), когда фе-

номены учения в обычной школьной обстановке интерпретируются в терминах «конструирования действий посредством формирования значений в социальном контексте» и меньше внимания уделяется построению теорий, разработке дидактических действий. В центре внимания при интеракционистском подходе находится отдельный индивид, обладающий личностным «я» и формирующий значения; «...индивидуальное действие есть его конструирование, а не просто совершение, оно осуществляется индивидом при помощи оценивания и интерпретации ситуации, в которой он действует; групповое или коллективное действие состоит из выравнивания индивидуальных действий, при помощи интерпретации и принятиемвовниманиедействийдругдруга» (Блумер, 1984). Поэтому довольно близки к интеракционистскому подходу и концепция «дидактического контракта» Бруссо, и идеи конструктивизма в математическом образовании (о котором речь пойдет несколько позднее).

Немецкий ученый Х. Бауэрсфельд и его последователи ведут в русле интеракционизма «микроэтнографические» исследования взаимодействия между учителем и учащимися [102], “форматов” аргументации, общения на уроке

[120].

Кроме «французской дидактики», другим важнейшим направлением в изучении проблем математического образования не только в Европе, но и в других частях света (в США, Японии, Австралии) было исследование решения задач. Это направление, заложенное выдающимся матема-

29

тиком-педагогом Д. Пойа ([184], [185]), развивалось под влиянием его идей и стало особенно популярно с конца 70-х годов, когда неудача реформы по введению «новой математики» в школьные программы по всему миру стала очевидной. Интенсификации исследований по решению задач стимулировалась также вниманием к решению задач в работах по «искусственному интеллекту». Представителями направления по исследованию решения задач являются авторы ряда книг и статей Дэйвис и Херш [84], Шенфельд (1985), Мэйсон, Стэйси и Бертон [160], Нохда [167]. И если европейские и американские авторы развивают стратегии решения задач в духе Пойа, японские специалисты эффективно используют метод «открытых задач».

Э. Пехконен в своем обзоре [174] отмечал, что в 60-е и 70-е годы исследования по решению задач концентрировались на изучении способов решения задач различных типов и особенно на обучении учащихся различным эвристическим стратегиям для решения. Как известно, первую схему такой стратегии дал Д. Пойа в своей книге [184]: 1) понимание задачи; 2) составление плана; 3) осуществление плана; 4) проверка полученного решения. На рубеже 70—80-х годов последователями Пойа предпринимались попытки усовершенствовать или изменить эту схему. Так, Шенфельд [274] предложил эвристическую стратегию для уровня колледжа, состоящую из 3 этапов: 1) Анализ (вычерчивание диаграммы решения, разбор частных случаев, попытки упрощения с помощью соображений симметрии и рассуждений типа «не теряя общности...»); 2) Исследование (рассмотрение равносильныхзадачспомощьювсевозможныхпереформулировок, изменение некоторых условий); 3) Проверка (удовлетворяет ли решение определенным эвристическим требованиям). Как видим, в этой схеме отсутствует момент получения решения (т. е. этот момент Шенфельд не относит к эвристике).

Мэйсон, Стэйси и Бертон [160] также предлагают трехзвенную схему, причем второй этап у них напоминает “объединенные» второй и третий этапы в схеме Пойа (см. рис. 1).

30