Современные подходы в математическом образовании и подготовке учителей математики

математике, например, в США. Так, в рекомендациях NCTM ([3], с. 52) содержится следующий

“Стандарт 4: средства для улучшения изложения.

Учитель математики, для улучшения изложения, должен поддерживать и принимать использование:

компьютеров, калькуляторов и другой технологии; конкретных материалов, используемых как модели; рисунков, диаграмм, таблиц и графиков; придуманных и общеизвестных терминов и символов; метафор, аналогий и рассказов; записанных гипотез, объяснений, рассуждений; устных выступлений и инсценировок”.

Как заметил Л. Мазель ([142], c. 163), множественное воздействие в искусстве проявляется на двух уровнях — содержательном и формообразовательном. На наш взгляд, это справедливо и для использования множественного воздействия в обучении математике.

Отметим значение формы в связи с теорией коннотации Р. Барта [27]. В коннотационной системе форма является означающим, и означаемое формы несет свою (поэтическую) функцию. Это можно использовать и в обучении. Например, при изучении математики многих студентов увлекают особенности математического жаргона, лаконичный, строгий стиль изложения в учебниках и лекциях и т. п. Здесь коннотированным означающим формы является: “Это — настоящая наука, настоящая математика”.

Таким образом, мы можем сформулировать следующее требование принципа концентрированного обучения:

9) воздействие на различные каналы восприятия материала студентами.

Итак, принцип концентрированного обучения связан с рядом методов (сквозных задач, сквозных тем, последовательных улучшений), с различными формами и средствами

91

обучения. На его основе можно строить учебники (как, например, вышеупомянутый учебник А. И. Кострикина), курсы лекций и практических занятий. Более того, проведению этого принципа способствует выполнение дипломных и курсовых работ, научно-исследовательская и учебно-ис- следовательская работа студентов, которые, безусловно, углубляют их знания. Важна умелая организация самостоятельной работы студентов с целью, например, последовательного улучшения овладения той или иной темой. Как подчеркивают западные исследователи, особенное полезно использовать в такой работе компьютеры, в частности, самостоятельную разработку студентами программ, позволяющих манипулировать с математическими объектами и понятиями [79].

Мы видим, что большинство требований принципа концентрированного обучения (подготовка, предвосхищение, повторение, усиление, совмещение функций, варьирование, контраст, множественное воздействие) имеют много общего с законами искусства, художественного творчества. В самом деле, многими высказывалось утверждение, что мастерство преподавания математики — это искусство, но редко предпринимались попытки исследовать преподавание именно как искусство с его законами.

§2. Содержание, программа и общие подходы к преподаванию фундаментальной математической дисциплины на примере курса «Алгебра и теория чисел»

2.1. Особенности содержания и программы курса

Курс алгебры и теории чисел, на наш взгляд, целесообразно начинать c теоретико-числового материала. Такой подход имеет целый ряд преимуществ. Во-первых, теория чисел с самого начала направлена на решение конкретных

92

ясно формулируемых задач: исследование вопросов делимости и поиск остатков, вычисление наибольших общих делителей и наименьших общих кратных; решение уравнений в целых числах, проверка арифметических действий; приближения чисел обыкновенными дробями. Более того, даже те задачи в теории чисел, которые не направлены непосредственно на решение практических задач (например, вычисление остатков, решение сравнений и т. п.), конкретностью формулировок, ясностью и привлекательностью вычислительных алгоритмов и способов решения могут увлечь студентов и обеспечить постепенный переход от приемов школьной работы к вузовской. Таким образом, обеспечивается опора на школьный опыт, преемственность обучения при переходе из школы в вуз. У студентов есть возможность интуитивного восприятия идей и понятий курса, что облегчает усвоение материала на первых порах обучения в вузе.

Еще важнее то, что теоретико-числовой материал содержит доступные для понимания примеры многих объектов, понятий, идей и конструкций абстрактной алгебры, которую поэтому целесообразно изучать после теории чисел. Кольцо целых чисел Z с отношением делимости и алгоритмом Евклида — прекрасный вводный пример евклидова кольца. Изучив основные идеи теории делимости в Z, студенты могут легче овладеть понятиями и результатами теории евклидовых колец, что позволит им успешнее разобраться в теории многочленов.

В частности, такой подход осуществлен в учебнике «Конкретное введение в высшую алгебру» Чайлдса [262].

Заметим, что такой же подход — предварительное изучение элементов теории чисел, использование параллелей между теорией чисел и теорией многочленов — использовался в первых изданиях пединститутского учебника по высшей алгебре Л. Я. Окунева [169]. К сожалению, в последних изданиях почему-то произошел отказ от такого подхода, и

93

элементы теории чисел были удалены из учебника [170]. Возможно, это произошло из-за выделения теории чисел в отдельный предмет, изучавшийся в 50—60-е годы на старших курсах педвузов.

Отметим еще некоторые особенности наших общих подходов к составлению программы и преподаванию курса.

Важное значение в нашем варианте курса алгебры имеет проблемность. В лекциях и учебных пособиях это выражается как проблемное изложение. Вот как это осуществляется, например, на начальном этапе построения теории чисел. Вводится понятие отношения делимости на множестве целых чисел, однако выясняется, что не всякие два числа, даже если первое по абсолютной величине больше второго, а второе отлично от нуля, находятся в этом отношении (т. е. возможно, что первое не делится на второе). Возникает противоречие. Понимая, что деление имеет важные практические приложения, задаемся вопросом: чем заменить деление в случае его невозможности? Так возникает понятие деления с остатком (заметим, что одновременно мы опираемся на оставшиеся со школы и интуитивные представления студентов о делении с остатком). Между прочим, это одна из фундаментальных идей развития математических теорий — идея расширения: для того, чтобы лучше изучить тот или иной объект, надо его расширить. Например, чтобы лучше изучить возможности множества действительных чисел, в частности, научиться находить действительные корни кубических уравнений с действительными коэффициентами, необходимо работать с множеством комплексных чисел и т. п.

Эффективность проблемного изложения на лекциях может быть подкреплена некоторыми особенностями стиля лекций, поведения лектора, рекомендуемые опытными педагогами и методистами. Например, можно попытаться добиться, чтобы студенты сами вспоминали значительную часть прошлого материала, необходимого для изучения но-

94

вого; точно так же, можно у них самих постоянно спрашивать, что дано, что требуется доказать, где переменная, где постоянная и т. д. Это может стимулировать их активность, способствовать развитию самостоятельного мышления.

Мы считаем, что строгость в изложении материала, в изучении его студентами надо вводить постепенно и очень осторожно. Не увлекаться логикой с самого начала. В традиционной педвузовской программе в начале алгебраического курса идет короткий, но систематический курс математической логики, включающий основы логики предикатов (см., например, [125], [126]). В нашем же курсе на первых порах даются лишь самые элементарные понятия теории множеств (описание понятия множества, простейшие примеры, понятие пустого множества, подмножества, равенства множеств, способы задания множеств, операции объединения и пересечения), логические связки , , , и кванторы.

Внашем курсе далее на интуитивном уровне объясняется метод математической индукции, и на этой основе сразу начинает строиться теория делимости в Z . На наш взгляд, систематическое построение числовых систем также надо отложить на старшие курсы, когда студенты овладеют опытом абстрактных рассуждений и построений. В связи с этим надо отметить, что мы считали неправильным удаление курса “Числовые системы” из программ педагогических вузов после известного постановления бюро Отделения математики АН СССР 1989 года [36]. Этот курс, читавшийся на старших курсах (4 или 5-м), обеспечивал систематизацию и упорядочение интуитивно сформировавшихся за предыдущие годы представлений будущих учителей обо всех числовых множествах, изучаемых в школе.

Вчастности, курс “Числовых систем” преподавался нами после этого в качестве курса по выбору для пятикурсников. Курс неизменно выбирался более чем половиной студентов выпускного курса. Более того, когда в 1996 г.

95

нами была проведена среди пятикурсников анкета, среди вопросов которой был такой: “Считаете ли вы, что курс числовых систем не нужен пятикурсникам?”, то более 70 % респондентов выразили несогласие с этим утверждением.

Заметим, что в образовательном стандарте высшей школы начиная с 2000 года курс «Числовые системы» возвращен в программу.

На первом курсе мы опираемся на сформированные в школе интуитивные представления студентов о системах натуральных, целых, рациональных и действительных чисел.

2.2. Применения принципа концентрированного обучения в построении программы

Рассмотрим, как в разработанной нами программе курса «Алгебра и теория чисел» (см. Приложение) используются следующие элементы принципа концентрированного обучения: предвосхищение, повторение, фундаментальность, совмещение функций и зацепление.

Предвосхищение начинается с первых же часов курса. Уже на первой лекции делается краткий обзор всего курса. Даются понятия матрицы, системы линейных уравнений, определителей 2-го и 3-го порядка. Тем самым предвосхищаются основные темы раздела «Линейная алгебра». Кроме того, знакомствосопределителями2-гои3-гопорядканеоб- ходимо для изучения курса геометрии. На наш взгляд, важно не заходить здесь слишком далеко и ограничиться здесь основными формулами и правилами вычислений определителя (например, правилом Саррюса для определителей 3-го порядка), не выводя всех свойств, которые могли бы понадобиться, например, в курсе геометрии. При необходимости лектор курса геометрии может сам упомянуть необходимые свойства, предупредив, что в подходящее время они будут строго выведены в курсе алгебры. В пору увлечения, с одной стороны, строго логическим построением педвузов-

96

ских математических курсов и, с другой стороны, межпредметными связями в 70-е—80-е годы наметилась тенденция рассматривать алгебраический курс как вспомогательный для курсов геометрии и математического анализа. Именно этим, вероятно, было вызвано насыщение первых же разделов курса алгебры изложением массы сведений из теории множеств и функций, исчисления высказываний и предикатов, а также расположение линейной алгебры в начале алгебраического курса. В результате в первые недели изучения курса алгебры на первокурсников обрушивалась масса абстрактного материала, применимость которого была отнюдь не очевидна. Это отвращало многих, в том числе и способных, студентов от курса алгебры, представлявшегося им чересчур сложным и скучным. Страдала успеваемость по алгебре, уменьшилось количество студентов, выбирающих темы курсовых и дипломных работ по этому предмету.

В нашем курсе на первой лекции происходит первое знакомство студентов с понятием группы, что предвосхищает изучение ими алгебраических систем на протяжении почти всего курса.

Далее, во второй главе введения рассматриваются простейшие понятия теории множеств и логические обозначения. Этим предвосхищается более серьезное изучение как элементов теории множеств, так и математической логики в дальнейшем. Заметим, что изучение математической логики мы предлагаем оставить на 4 курс (при двухступенчатом построении математического образования будущих учителей изучение математической логики можно отнести на концовку первой ступени), когда студентами будут пройдены полные курсы алгебры и теории чисел, математического анализа, геометрии, в том числе неевклидовой, с тем чтобы у них достаточно созрело, на основе изучения содержательного математического материала, абстрактное мышление и, кроме того, накопились примеры важных понятий и аксиоматических теорий (таких, как теория

97

групп или геометрия Лобачевского), способных проиллюстрировать понятия и результаты математической логики. Во введении мы предлагаем не задерживаться на теории множеств сколько-нибудь долго, ограничиваясь лишь теми понятиями, без которых невозможно изучать математические объекты: множество, его элементы, способы его задания, равенство и включение, объединение и пересечение, отображение. Из логических обозначений даются простейшие связки («и», «или», «следует», «равносильно (тогда и только тогда)», «не») и кванторы. После этого мы немедленно переходим к содержательной математической теории делимости в множестве целых чисел. Элементы теории множеств вновь возникают в нашем курсе довольно скоро, сразу после окончания элементов теории чисел, в 7 главе. Здесь рассматриваются более тонкие свойства введенных в

начале понятий (например, свойства включения множеств, пустого множества), вводятся понятия булеана (множества всех подмножеств) данного множества, мощности конечного множества. Здесь же рассматривается парадокс Рассела (существует ли множество, состоящее из всех множеств, не являющихся элементами самих себя).

На наш взгляд, наиболее интересные элементы более трудных разделов теории множеств (мощности бесконечных множеств, канторовские множества, теорема КантораБернштейна, проблема континуума, континуум-гипотеза, различные парадоксы) нужно знать будущим учителям математики, по крайней мере более способным из них. Эти разделы мы включаем в спецкурс «Множества. Графы. Комбинаторика», преподаваемый обычно на 4 курсе (в случае двухступенчатого обучения этот спецкурс целесообразно преподавать в начале 2-й ступени).

Также в 7 главе изучаются дальнейшие и более сложные операции над множествами: разность, дополнение, объединение и пересечение индексированного семейства множеств, свойства этих операций. Вводятся декартовы (прямые) произведения множеств, соответствия между множе-

98

ствами, отношения на множествах, бинарные отношения, в том числе отношения эквивалентности и порядка. Вводятся такие трудные понятия, как классы эквивалентности, разбиения, фактор-множества. Однако к этому моменту студенты уже в какой-то мере подготовлены к восприятию этих абстрактных конструкций, потому что на интуитивном уровне они уже работали с такими конструкциями, изучая классы вычетов (наиболее простой содержательный пример классов эквивалентности). Кроме того, теперь у них есть примеры нелинейных отношений порядка (отношения делимости целых чисел, включения множеств).

Восьмая глава полностью посвящена отображениям. Рассматриваются композиция отображений, понятия биективных, обратных и обратимых отображений. В результате возникает второй важнейший (после аддитивной группы классов вычетов) отличный от аддитивной группы целых чисел пример группы — группа биекций некоторого множества в себя. Это позволяет вновь вернуться к определению группы (впервые оно — в упрощенном виде — дается во вводной лекции, а строгое определение вводится после изучения свойств сложения классов вычетов) и обогатить представление студентов об этом фундаментальном понятии.

Наконец, отображения конечных множеств позволяют перейти к элементам комбинаторики и к теории перестановок. Перестановки, в свою очередь, многократно используются в дальнейшем — и для построения теории определителей, и как один из основных примеров групп.

Алгебраические системы — группоиды, полугруппы, моноиды, группы — рассматриваются как множества с операциями. На первом курсе происходит знакомство с основными алгебраическими системами: после групп идут кольца и поля. Как пример поля строится система комплексных чисел, изучаются ее свойства. Таким образом, на протяжении всего первого курса разворачиваются — постепенно и экономно, по мере необходимости — элементы теории множеств. На каждом шаге то, что следует ввести и изучить,

99

тщательно отбирается — в этом проявляется требование

фундаментальности.

Вернемся к элементам теории чисел. Разрабатываемая в первой главе теория делимости предвосхищает и общую теорию делимости в областях целостности, и теорию делимости в кольцах многочленов (в частности, в кольце многочленов над полем). Теорема о делении с остатком предвосхищает идею евклидовых колец. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное в дальнейшем изучаются как в областях целостности, так и в кольцах многочленов над полями. Понятие простых чисел далее обобщается до понятия простых элементов области целостности, а в теории многочленов над полями им соответствуют неприводимые над данным полем многочлены.

Теорема о разложении отличного от единицы числа на простые множители приводит к идее факториальных ко-

лец.

Вначале второй главы, перед изучением числовых функций, вводятся правила сложения и умножения, а так-

же сокращенная запись суммирования. Эти общематемати-

ческие приемы в дальнейшем будут неоднократно использоваться в других разделах, таким образом повторяться и лучше осознаваться студентами.

Впятой главе начинается теория сравнений, в которой

вконцентрированном виде содержатся или предвосхищаются многие идеи современной алгебры. Во-первых, отношение сравнимости по натуральному модулю — плодотворный пример отношения эквивалентности. Классы вычетов хорошо иллюстрируют понятие класса эквивалентности и предвосхищают понятия смежных классов по (нормальной) подгруппе и идеалу (в кольце). Группы и кольца классов вычетов являются хорошими примерами конечных абелевых групп и колец и предвосхищают понятия фактор-группы и фактор-кольца. Группа классов вычетов, взаимно простых с модулем, дает естественный пример конечной мультипликативной группы.

100