|
|
|
|
|
Таблица 2.5 |
x X |
y Y |
y1 |
|
y2 |
y3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
0,3 |
|
1 |
0,9 |
x2 |
|
0,4 |
|
0,1 |
0,2 |
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
х1 |
0,3 |
0,4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
y2 |
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
0,9 |
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.6 |
x X |
x X |
x1 |
x2 |
x3 |
|
||||
|
|
|
|
|
x1 |
|
0 |
0,1 |
0,8 |
x2 |
|
0,5 |
0 |
0,9 |
x3 |
|
0,3 |
1 |
0 |
|
|
|
х1 |
|
|
|
0,5 |
0,8 |
|
|
|
0,1 |
0,3 |
|
|
|
|
0,9 |
х3 |
|
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Рис. 2.2 |
|
2.1.5. НОСИТЕЛЬ НЕЧЁТКОГО БИНАРНОГО ОТНОШЕНИЯ |
||||
Носителем нечёткого отношения R называют обычное чёткое множество S (R) упорядоченных пар (x, y), характеризующихся ненулевым значением функции принадлежности:
39
S(R) ={(x, y) | μR (x, y) > 0}. |
(2.3) |
Например, носителем нечёткого отношения (см. табл. 2.1) является мно-
жество S (R) = {(x1, y3), (x1, y4), (x2, y2), (x2, y3), (x2, y4), (x3, y1), (x3, y2), (x3, y3), (x3, y4)}, носителем нечёткого отношения (см. табл. 2.5) – множество
S (R) = {(x1, y1), (x1, y2), (x1, y3), (x2, y1), (x2, y2), (x2, y3)}, носителем нечёткого отношения (см. табл. 2.6) – множество S (R) = {(x1, x2), (x1, x3), (x2, x1), (x2, x3), (x3, x1), (x3, x2)}.
2.1.6. ВКЛЮЧЕНИЕ НЕЧЁТКОГО БИНАРНОГО ОТНОШЕНИЯ
Пусть R1 и R2 – нечёткие отношения, являющиеся нечёткими подмножествами множества X × Y, такие что
(x, y) X ×Y : μR (x, y) ≤ μR |
2 |
(x, y) . |
(2.4) |
1 |
|
|
Тогда говорят, что нечёткое отношение R2 содержит нечёткое отношение R1, или нечёткое отношение R1 содержится в нечётком отношении R2 и пишут
R1 R2 .
Например, если нечёткие отношения R1 и R2, являющиеся отношениями типа y >> x (y намного больше, чем x), характеризуются функциями принадлежности:
|
|
0, |
|
если y |
< x; |
||
μR1(x, y) = |
−e |
−k (x−y)2 |
(2.5) |
||||
|
|
1 |
1 |
|
|
, если y ≥ x, |
|
μ |
|
0, |
|
если y |
< x; |
||
R2 |
(x, y) = |
|
|
2 |
|
(2.6) |
|
|
1−e−k2 (x−y) |
|
, если y ≥ x, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в которых k2 больше k1, то нечёткое отношение R2 содержит нечёткое отношение R1. Фрагменты соответствующих матриц смежности для k1 = 1 (табл. 2.7) и k2 = 2 (табл. 2.8) не противоречат этому заключению, поскольку значения функций принадлежности (2.5), (2.6) удовлетворяют условию (2.4).
|
|
|
|
|
Таблица 2.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y Y |
– 2 |
– 1 |
0 |
1 |
2 |
|
x X |
||||||
|
|
|
|
|
||
– 2 |
0 |
0,632121 |
0,981684 |
0,999877 |
1 |
|
– 1 |
0 |
0 |
0,632121 |
0,981684 |
0,999877 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0,632121 |
0,981684 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,632121 |
|
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
40
|
|
|
|
|
Таблица 2.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y Y |
– 2 |
– 1 |
0 |
1 |
2 |
|
x X |
||||||
|
|
|
|
|
||
– 2 |
0 |
0,864665 |
0,999665 |
1 |
1 |
|
– 1 |
0 |
0 |
0,864665 |
0,999665 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0,864665 |
0,999665 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,864665 |
|
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2.2.ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЁТКИМИ ОТНОШЕНИЯМИ
2.2.1.ОБЪЕДИНЕНИЕ НЕЧЁТКИХ ОТНОШЕНИЙ
Объединением нечётких отношений R1 и R2 называется нечёткое отноше-
ние R1 R2 , элементы которого характеризуются функцией принадлежности
|
|
|
μR R |
2 |
(x, y) = μR (x, y) μR (x, y) |
, |
(2.7) |
||||
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
где μR (x, y) μR |
2 |
(x, y) равносильно max(μR |
(x, y),μR |
2 |
(x, y)) . |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
Пусть, |
например, нечёткое |
бинарное |
отношение |
R1 задано |
табл. 2.9, |
||||||
а нечёткое бинарное отношение R2 – табл. 2.10. Тогда нечёткое отношение R1 R2 характеризуют табл. 2.11.
|
|
|
|
Таблица 2.9 |
x X |
y Y |
y1 |
y2 |
y3 |
|
||||
|
|
|
|
|
x1 |
|
0,1 |
0 |
0,8 |
x2 |
|
1 |
0,7 |
0 |
|
|
|
|
Таблица 2.10 |
x X |
y Y |
y1 |
y2 |
y3 |
|
||||
|
|
|
|
|
x1 |
|
0,7 |
0,9 |
1 |
x2 |
|
0,3 |
0,4 |
0,5 |
|
|
|
|
Таблица 2.11 |
x X |
y Y |
y1 |
y2 |
y3 |
|
||||
|
|
|
|
|
x1 |
|
0,7 |
0,9 |
1 |
x2 |
|
1 |
0,7 |
0,5 |
|
|
|
|
41 |
В другом примере пусть нечёткое бинарное отношение R1 на множестве действительных чисел является отношением «число x очень близко к числу y» и характеризуется функцией принадлежности
μR (x, y) = e−(x−y)2 |
, |
(2.8) |
1 |
|
|
а нечёткое бинарное отношение R2 на том же множестве действительных чисел является отношением «число x очень далеко от числа y» и характеризуется функцией принадлежности
μR2 (x, y) =1−e−(x−y)2 . |
(2.9) |
Тогда нечёткое бинарное отношение R3 = R1 R2 на множестве действительных чисел является отношением «число x очень близко к числу y или очень далеко от числа y» и характеризуется функцией принадлежности
|
μR |
(x, y) = μR |
(x, y) μR (x, y) |
= max(μR |
(x, y),μR |
2 |
(x, y)) = |
||||||||||||||||
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
μR (x, y), |
если |
|
|
|
x |
− y |
|
|
|
≤ α; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.10) |
|
|
|
|
μR2 (x, y), |
если |
|
x − y |
|
> α, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
где α ≈ 0,83 – такое значение |
|
x − y |
|
, при котором μR |
|
(x, y) = μR (x, y) = 0,5. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
На |
рисунке 2.3 |
представлены |
графики |
функций |
принадлежности |
||||||||||||||||||
μR (x, y) |
и |
μR |
2 |
(x, y) , |
а на рис. 2.4 |
– график |
|
функции |
принадлежности |
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μR (x, y) = μR R (x, y) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.3
42