Если p = 2, то объединением нечётких множеств A = {(x1; 0,9), (x2; 1), (x3; 0,5), (x4; 0)} и B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 1), (x4; 0,3)} является нечёткое множество A B = {(x1; 1), (x2; 1), (x3; 1), (x4; 0,3)} (табл. 1.23).

В данном случае объединением нечётких множеств A = {(x1; 0,9), (x2; 1), (x3; 0,5), (x4; 0)} и B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 1), (x4; 0,3)} является нечёткое множество A B = {(x1; 0,98), (x2; 1), (x3; 1), (x4; 0,3)} (табл. 1.24).

Таблица 1.24

1.1.6. СВЯЗЬ С ТЕОРИЕЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теория нечётких множеств в определённом смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым, к теории вероятностей. Основная идея здесь состоит в том, что значение функции принадлежности μA(x) можно рассматривать как вероятность накрытия элемента x некоторым случайным множеством A.

16

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом аппарату теории вероятностей и прикладной статистики.

1.2. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ НЕЧЁТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ

Пусть A и B – нечёткие множества, составленные из элементов x универсального множества X и соответствующих степеней принадлежности μA(x)

и μB (x) . Введём понятие расстояния между нечёткими множествами A и B,

которое обозначим через d (A, B) . Числовая функция d (A, B) , которую также называют метрикой, обладает следующей совокупностью свойств:

1)d (A, B) = 0 A = B – тождество;

2)A, B d (A, B) = d (B, A) – симметричность;

3)A, B,C d (A, B) ≤ d (A,C) + d (C, B) – неравенство треугольника.

Заметим, что из этих свойств следует свойство неотрицательности функции расстояния:

A = {(x1; 0,3), (x2; 0), (x3; 0,5), (x4; 0,2)} и B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 0), (x4; 1)} равно 2 ( 0 ≤ 2 ≤ 4 ) (табл. 1.25).

Относительное расстояние Хемминга между такими же нечёткими множествами A и B равно 0,5 ( 0 ≤ 0,5 ≤1):

17

1.2.2. ЕВКЛИДОВО РАССТОЯНИЕ

Евклидово (квадратичное) расстояние определяется как

n

e(A, B) = ∑ (μA(xi ) −μB (xi ))2 , 0 ≤ e(A, B) ≤ n . (1.23)

i=1

Относительное евклидово расстояние определяется как

A = {(x1; 0,3), (x2; 0), (x3; 0,5), (x4; 0,2)} и B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 0), (x4; 1)} равно 1,122 (0 ≤1,122 ≤ 4) (табл. 1.26).

Относительное евклидово расстояние между такими же нечёткими множествами A и B равно 0,561 (0 ≤ 0,561 ≤1):

= 12 e (A, B) = 12 1,122 = 0,561.

18

1.2.3. РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНЫМИ СЧЁТНЫМИ НЕЧЁТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ

1.2.4. РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНЫМИ НЕСЧЁТНЫМИ НЕЧЁТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ

В случае бесконечных несчётных нечётких множеств A и B с ограниченным носителем [a, b] расстояние Хемминга и евклидово расстояние определяются следующим образом:

В случае бесконечных несчётных нечётких множеств A и B, носители которых неограничены (для вариантов (– ∞; a], [a; + ∞), (– ∞; + ∞)), расстояние Хемминга и евклидово расстояние определяются аналогично с условием сходимости соответствующих несобственных интегралов:

19