l (x1, z4) = max l ((x1, yk), (yk, z4)) = max (l ((x1, y1), (y1, z4)), l ((x1, y2), (y2, z4)),
k
l ((x1, y3), (y3, z4))) = max (0,1; 0,7; 0,4) = 0,7,
l (x2, z1) = max l ((x2, yk), (yk, z1)) = = max (l ((x2, y1), (y1, z1)), l ((x2, y2),
k
(y2, z1))) = max (0,9; 0,3) = 0,9,
l (x2, z2) = max l ((x2, yk), (yk, z2)) = max (l ((x2, y2), (y2, z2))) = max (0,5) = 0,5,
k
l (x2, z3) = max l ((x2, yk), (yk, z3)) = max (l ((x2, y1), (y1, z3))) = max (1) = 1,
k
l (x2, z4) = max l ((x2, yk), (yk, z4)) = max (l ((x2, y1), (y1, z4)), l ((x2, y2), (y2, z4))) =
k
= max (0,2; 0,5) = 0,5.
Изобразим на рис. 2.15 граф G, представляющий композицию R2 oR1. z1
|
0,3 |
|
|
0,9 |
z2 |
|
0,6 |
|
|
|
|
х1 |
0,5 |
|
|
0,1 |
z3 |
1 |
|
|
|
|
|
х2 |
|
|
0,5 |
0,7 |
|
|
z4 |
|
|
|
|
Рис. 2.15 |
|
|
2.2.12. СВОЙСТВА КОМПОЗИЦИИ ОТНОШЕНИЙ |
|
Операция (max-min)-композиции отношений обладает свойством: |
|
– ассоциативности: |
|
(R3 oR2)oR1 = R3 o(R2 oR1), |
(2.37) |
– дистрибутивности относительно операции объединения: |
|
(R2 R3)oR1= (R2 oR1) (R3 oR1), |
(2.38) |
– не дистрибутивности относительно операции пересечения: |
|
(R2 ∩R3)oR1 ≠(R2 oR1) ∩(R3 oR1), |
(2.39) |
62
– включения:
(R1 R2) → (R3 oR1) (R3 oR2). |
(2.40) |
Пусть, например, заданы универсальные множества X = {x1, x2}, Y = = {y1, y2}, Z = {z1, z2}, W = {w1, w2}. Пусть нечёткое бинарное отношение R1: X × Y → [0, 1] имеет функцию принадлежности, заданную табл. 2.27, нечёткое бинарное отношение R2: Y × Z → [0, 1] – функцию принадлежности, заданную табл. 2.28, и нечёткое бинарное отношение R3: Z × W → [0, 1] – функцию принадлежности, заданную табл. 2.29.
|
|
|
Таблица 2.27 |
|
|
|
|
|
y Y |
y1 |
y2 |
x X |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
0,7 |
0,4 |
|
|
|
|
x2 |
|
0,9 |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.28 |
|
|
|
|
|
z Z |
z1 |
z2 |
y Y |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
0 |
0,6 |
y2 |
|
0,7 |
0,1 |
|
|
|
Таблица 2.29 |
|
|
|
|
|
w W |
w1 |
w2 |
z Z |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
1 |
0,4 |
z2 |
|
0,2 |
0,3 |
|
|
|
|
Проверим для заданных нечётких бинарных отношений R1, R2 и R3 справедливость свойства ассоциативности (max-min)-композиции (2.37).
В левой части равенства (2.37) вычислим сначала композицию R3 oR2. На рисунке 2.16 представлен результат объединения графов отношений R2 и R3, а на рис. 2.17 – граф композиции R3 oR2.
63
y1 |
0 |
z1 |
1 |
w1 |
|
||||
|
0,6 |
|
0,4 |
|
|
0,7 |
z2 |
0,2 |
|
y2 |
0,1 |
|
0,3 |
w2 |
|
|
Рис. 2.16 |
|
|
|
y1 |
0,2 |
|
w1 |
|
|
0,3 |
|
|
|
|
0,7 |
|
|
|
y2 |
0,4 |
|
w2 |
Рис. 2.17
Затем вычислим собственно левую часть равенства (2.37) – композицию (R3 oR2)oR1. На рисунке 2.16 представлен результат объединения графов отношений R1 и R3 oR2, а на рис. 2.17 – граф композиции (R3 oR2)oR1.
x1 |
0,7 |
y1 |
0,2 |
w1 |
|
||||
|
0,4 |
|
0,3 |
|
|
0,9 |
y2 |
0,7 |
|
x2 |
0,8 |
|
0,4 |
w2 |
|
|
Рис. 2.18 |
|
|
|
x1 |
0,4 |
|
w1 |
|
|
0,4 |
|
|
|
|
0,7 |
|
|
|
x2 |
0,4 |
|
w2 |
|
|
Рис. 2.19 |
|
|
В правой части равенства (2.37) |
вычислим сначала композицию R2 oR1. |
|||
На рисунке 2.20 представлен результат объединения графов отношений R1 и R2, |
||||
а на рис. 2.21 – граф композиции R2 oR1. |
|
|
||
x1 |
0,7 |
y1 |
0 |
z1 |
|
||||
|
0,4 |
|
0,6 |
|
|
0,9 |
y2 |
0,7 |
|
x2 |
0,8 |
|
0,1 |
z2 |
Рис. 2.20
64
x1 |
0,4 |
z1 |
|
0,6 |
|
|
0,7 |
|
x2 |
0,6 |
z2 |
|
Рис. 2.21 |
|
Затем вычислим собственно правую часть равенства (2.37) – композицию R3 o(R2 oR1). На рисунке 2.22 представлен результат объединения графов отношений R2 oR1 и R3, а на рис. 2.23 – граф композиции R3 o(R2 oR1).
x1 |
0,4 |
z1 |
1 |
w1 |
|
||||
|
0,6 |
|
0,4 |
|
|
0,7 |
z2 |
0,2 |
|
x2 |
0,6 |
|
0,3 |
w2 |
|
|
Рис. 2.22 |
|
|
|
x1 |
0,4 |
|
w1 |
|
|
0,4 |
|
|
|
|
0,7 |
|
|
|
x2 |
0,4 |
|
w2 |
|
|
Рис. 2.23 |
|
|
Заметим, что равенство графов композиции (R3 oR2)oR1 (см. рис. 2.17) и композиции R3 o(R2 oR1) (см. рис. 2.23) подтверждает справедливость свойства ассоциативности (max-min)-композиции (2.37).
Проверим далее справедливость свойства дистрибутивности (max-min)- композиции относительно операции объединения (2.38).
Поскольку в выражениях равенства (2.38) выполняется операция объединения отношений R2 и R3, а также отношений R2 oR1 и R3 oR1, для корректного выполнения этой операции нечёткие отношения R2 и R3 должны быть нечёткими подмножествами одного и того же множества, в нашем случае, Y × Z.
Поэтому пусть нечёткое бинарное отношение R1: X × Y → [0, 1] имеет функцию принадлежности, заданную табл. 2.27, нечёткое бинарное отношение R2: Y × Z → [0, 1] – функцию принадлежности, заданную табл. 2.28, и нечёткое бинарное отношение R3: Y × Z → [0, 1] – функцию принадлежности, заданную табл. 2.30.
65
|
|
|
Таблица 2.30 |
|
|
|
|
|
z Z |
z1 |
z2 |
y Y |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
1 |
0,4 |
y2 |
|
0,2 |
0,3 |
|
|
|
|
В левой части равенства (2.38) вычислим сначала объединение отношений R2 R3. На рисунке 2.24 представлен результат этого объединения.
y1 |
1 |
z1 |
|
0,6 |
|
|
0,7 |
|
y2 |
0,3 |
z2 |
|
Рис. 2.24 |
|
Затем вычислим собственно левую часть равенства (2.38) – композицию (R2 R3)oR1. На рисунке 2.25 представлен результат объединения графов отношений R1 и R2 R3, а на рис. 2.26 – граф композиции (R2 R3)oR1.
x1 |
0,7 |
y1 |
1 |
z1 |
|
||||
|
0,4 |
|
0,6 |
|
|
0,9 |
y2 |
0,7 |
|
x2 |
0,8 |
|
0,3 |
z2 |
|
|
Рис. 2.25 |
|
|
|
x1 |
0,7 |
|
z1 |
|
|
0,6 |
|
|
|
|
0,9 |
|
|
|
x2 |
0,6 |
|
z2 |
|
|
Рис. 2.26 |
|
|
В правой части равенства (2.38) композиция R2 oR1 была вычислена ранее (см. рис. 2.21). Поэтому вычислим композицию R3 oR1. На рисунке 2.27 представлен результат объединения графов отношений R1 и R3, а на рис. 2.28 – граф композиции R3 oR1.
66
x1 |
0,7 |
y1 |
1 |
z1 |
|
||||
|
0,4 |
|
0,4 |
|
|
0,9 |
y2 |
0,2 |
|
x2 |
0,8 |
|
0,3 |
z2 |
|
|
Рис. 2.27 |
|
|
|
x1 |
0,7 |
|
z1 |
|
|
0,4 |
|
|
|
|
0,9 |
|
|
|
x2 |
0,4 |
|
z2 |
|
|
Рис. 2.28 |
|
|
Затем вычислим собственно правую часть равенства (2.38) – объединение композиций R2 oR1 и R3 oR1. Результат объединения представлен на рис. 2.29.
x1 |
0,7 |
z1 |
|
0,6 |
|
|
0,9 |
|
x2 |
0,6 |
z2 |
|
Рис. 2.29 |
|
Заметим, что равенство графов композиции (R2 R3)oR1 |
(см. рис. 2.26) |
и объединения композиций (R2 oR1) (R3 oR1) (см. рис. 2.29) подтверждает спра- |
|
ведливость свойства дистрибутивности (max-min)-композиции |
относительно |
операции объединения (2.38).
Проверим для тех же нечётких бинарных отношений R1, R2 и R3 (см. табл. 2.27, 2.28, 2.30) справедливость свойства дистрибутивности (max-min)- композиции относительно операции пересечения (2.39).
В левой части равенства (2.39) вычислим сначала пересечение отношений R2 ∩R3. На рисунке 2.30 представлен результат этого пересечения.
y1 |
0 |
z1 |
|
0,4 |
|
|
0,2 |
|
y2 |
0,1 |
z2 |
|
Рис. 2.30 |
|
67
Затем вычислим собственно левую часть равенства (2.39) – композицию (R2 ∩R3)oR1. На рисунке 2.31 представлен результат объединения графов отношений R1 и R2 ∩R3, а на рис. 2.32 – граф композиции (R2 ∩R3)oR1.
x1 |
0,7 |
y1 |
0 |
z1 |
|
||||
|
0,4 |
|
0,4 |
|
|
0,9 |
y2 |
0,2 |
|
x2 |
0,8 |
|
0,1 |
z2 |
|
|
Рис. 2.31 |
|
|
|
x1 |
0,2 |
|
z1 |
|
|
0,4 |
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
x2 |
0,4 |
|
z2 |
|
|
Рис. 2.32 |
|
|
В правой части равенства (2.39) композиции R2 oR1 и R3 oR1 были вычислены ранее (см. рис. 2.21, 2.28). Поэтому вычислим собственно правую часть равенства (2.39) – пересечение композиций R2 oR1 и R3 oR1. Результат пересечения представлен на рис. 2.33.
x1 |
0,4 |
z1 |
|
0,4 |
|
|
0,7 |
|
x2 |
0,4 |
z2 |
|
Рис. 2.33 |
|
Заметим, что в графах композиции (R2 ∩R3)oR1 (см. рис. 2.32) и пересечения композиций (R2 oR1) ∩(R3 oR1) (см. рис. 2.33) имеют различные веса дуги (x1, z1) и (x2, z1), что подтверждает справедливость свойства недистрибутивности (max-min)-композиции относительно операции пересечения (2.39).
Проверим, обладает ли (max-min)-композиция свойством включения (2.40). Поскольку заданные ранее нечёткие бинарные отношения R1 и R2 (см. табл. 2.27, 2.28) не являются нечёткими подмножествами одного и того же чёткого множества, изменим их соответствующим образом, причём так, чтобы они удовлетворяли условию R1 R2, а нечёткое бинарное отношение R3 оставим, например, прежним (см. табл. 2.30).
68
Пусть нечёткое бинарное отношение R1: X × Y → [0, 1] имеет функцию принадлежности, заданную табл. 2.31, нечёткое бинарное отношение R2: X × Y → [0, 1] – функцию принадлежности, заданную табл. 2.32 и остающееся прежним, нечёткое бинарное отношение R3: Y × Z → [0, 1] – функцию принадлежности, заданную табл. 2.30.
|
|
|
Таблица 2.31 |
|
|
|
|
|
y Y |
y1 |
y2 |
x X |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
0 |
0,4 |
x2 |
|
0,7 |
0,1 |
|
|
|
Таблица 2.32 |
|
|
|
|
|
y Y |
y1 |
y2 |
x X |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
0,7 |
0,6 |
x2 |
|
0,9 |
0,8 |
Вычислим сначала композицию R3 oR1. На рисунке 2.34 представлен результат объединения графов отношений R1 и R3, а на рис. 2.35 – граф композиции R3 oR1.
x1 |
0 |
y1 |
1 |
z1 |
|
||||
|
0,4 |
|
0,4 |
|
|
0,7 |
y2 |
0,2 |
|
x2 |
0,1 |
|
0,3 |
z2 |
|
|
Рис. 2.34 |
|
|
|
x1 |
0,2 |
|
z1 |
|
|
0,3 |
|
|
|
|
0,7 |
|
|
|
x2 |
0,4 |
|
z2 |
|
|
Рис. 2.35 |
|
|
Затем вычислим композицию R3 oR2. На рисунке 2.36 представлен результат объединения графов отношений R2 и R3, а на рис. 2.37 – граф композиции
R3 oR2.
69