Таким образом, оценка нечёткости нечёткого множества A = {(x1; 0,4), (x2; 0,8), (x3; 0), (x4; 1)} через энтропию равна 0,75. В то же время ранее вычисленные линейный и квадратичный индексы нечёткости этого множества равны 0,3 и 0,45 соответственно.

1.4.3. ОСОБЕННОСТЬ ОЦЕНКИ НЕЧЁТКОСТИ ЧЕРЕЗ ЭНТРОПИЮ

Заметим, что данный способ оценки размытости нечётких множеств через энтропию зависит не непосредственно от значений функций принадлежности, а от их относительных значений.

Так, например, нечёткие множества A = {(x1; 0,1), (x2; 0,1), (x3; 0,1), (x4; 0,1)}, B = {(x1; 0,8), (x2; 0,8), (x3; 0,8), (x4; 0,8)}, и обычное множество

C = {(x1; 1), (x2; 1), (x3; 1), (x4; 1)} имеют одну и ту же энтропию, равную 1:

H(πA(x1), πA(x2 ), πA(x3), πA(x4 )) = H (πB (x1), πB (x2 ), πB (x3), πB (x4 )) =

=H (πC (x1), πC (x2 ), πC (x3), πC (x4 )) =

=− 12 (0,25log2 0,25 +0,25log2 0,25 +0,25log2 0,25 +0,25log2 0,25) =

=− 12 (0,25 (−2) +0,25 (−2) +0,25 (−2) +0,25 (−2)) =

=− 12 (−0,5 +(−0,5) +(−0,5) +(−0,5)) = − 12 (−2) = 1.

Однако линейные и квадратичные индексы нечёткости этих же множеств A, B и C , например, использующие понятие обычного множества, ближайшего к нечёткому, существенно разнятся (табл. 1.34 – 1.39):

fl (A) = n2 d (A, A) = 24 0,4 = 12 0,4 = 0,2 , fl (B) = n2 d (B, B) = 24 0,8 = 12 0,8 = 0,4,

30

31

Для удобства сравнительного анализа полученных различных оценок не-

чёткости множеств A = {(x1; 0,1), (x2; 0,1), (x3; 0,1), (x4; 0,1)}, B = {(x1; 0,8), (x2; 0,8), (x3; 0,8), (x4; 0,8)} и C = {(x1; 1), (x2; 1), (x3; 1), (x4; 1)} сведём их в табл. 1.40.

Из данной таблицы видно, что использование энтропии является далеко не лучшим способом оценки нечёткости множеств.

32

Принцип обобщения является одной из основных идей теории нечётких множеств. Этот принцип носит эвристический характер и используется для расширения области применения нечётких множеств на отображения.

1.5.1. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Вспомним классическое определение отображения, которое в теории нечётких множеств называют чётким отображением.

Пусть X и Y являются двумя заданными универсальными множествами. Подмножество F декартова произведения X × Y называется функцией,

если для каждого элемента х X найдётся не более одного элемента у Y вида (х, у) F; при этом, если для каждого элемента х найдётся точно один элемент у вида (х, у) F, то функция называется всюду (полностью) определённой, в противном случае – частично определённой (недоопределённой). Множество X является областью определения функции F, а множество Y – областью значений функции F. Часто вместо записи (х, у) F используют запись у = F (х), и

элемент х называют аргументом или переменной, а у – значением функции F.

Функция y = F (x) называется сюръективной, если для каждого элемента у Y найдётся элемент х X вида (х, у) F.

Полностью определённая функция y = F (x) называется также отображением (из) X в Y, а в случае, если она сюръективна, – отображением (из) X на Y.

Имея дело с отображениями, вместо y = F (x) часто пишут y = xF, а об элементах области значений Y и области определения X функции говорят как об образах и прообразах соответственно. Так, элемент у Y называют образом элемента x при отображении F, а подмножество {x / x X}, для каждого из элементов которого существуют элементы (х, у) F, – прообразом элемента у.

Если X = {x1, x2, x3, x4} и Y = {у1, у2, у3}, то декартово произведение

X × Y = {(x1, у1), (x1, у2), (x1, у3), (x2, у1), (x2, у2), (x2, у3), (x3, у1), (x3, у2), (x3, у3),

33

(x4, у1), (x4, у2), (x4, у3)} и, например, подмножество F1 = {(x1, у1), (x2, у2), (x3, у2), (x4, у2)} этого произведения является отображением (из) X в Y. Образы элемен-

тов x X при отображении F1, и прообразы элементов у Y представлены в табл. 1.41, 1.42 соответственно.

Подмножество F2 = {(x1, у2), (x2, у1), (x3, у2), (x4, у3)} этого же произведе-

ния X × Y = {(x1, у1), (x1, у2), (x1, у3), (x2, у1), (x2, у2), (x2, у3), (x3, у1), (x3, у2), (x3, у3), (x4, у1), (x4, у2), (x4, у3)} является отображением (из) X на Y. Образы элементов

x X при отображении F2, и прообразы элементов у Y представлены аналогичными табл. 1.43, 1.44.

34