Рис. 2.4
2.2.2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ НЕЧЁТКИХ ОТНОШЕНИЙ
Пересечением нечётких отношений R1 и R2 называется нечёткое отноше-
ние R1 ∩R2 , элементы которого характеризуются функцией принадлежности
|
|
μR ∩R |
2 |
(x, y) = μR (x, y) μR |
2 |
(x, y) , |
(2.11) |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
||
где μR (x, y) μR |
2 |
(x, y) равносильно min(μR |
(x, y), μR (x, y)) . |
|
||||
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
Пусть, например, нечёткое бинарное отношение R1 задано ранее табл. 2.9, а нечёткое бинарное отношение R2 – ранее табл. 2.10. Тогда нечёткое отношение R1 ∩R2 характеризуют табл. 2.12.
|
|
|
|
Таблица 2.12 |
x X |
y Y |
y1 |
y2 |
y3 |
|
||||
|
|
|
|
|
x1 |
|
0,1 |
0 |
0,8 |
x2 |
|
0,3 |
0,4 |
0 |
В другом примере пусть нечёткое бинарное отношение R1 на множестве действительных чисел является отношением «число |x – y| очень близко к числу α» или, другими словами «число x удалено от числа y на величину α» и характеризуется функцией принадлежности
μR (x, y) =e−( |
|
x−y |
|
−α)2 |
(2.12) |
|
|
||||
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
при α = 1, а нечёткое бинарное отношение R2 на том же множестве действительных чисел является отношением «число |x – y| очень близко к числу β» или,
43
другими словами, «число x удалено от числа y на величину β» и характеризуется функцией принадлежности
μR2 (x, y) = e−( |
|
x−y |
|
−β)2 |
(2.13) |
|
|
||||
|
|
||||
при β = 2. |
|
||||
Тогда нечёткое бинарное отношение R3 = R1 ∩R2 |
является отношением |
||||
«число |x – y| очень близко к числу α и очень близко к числу β» или, другими словами, «число x удалено от числа y на величину α и на величину β».
На рисунке 2.5 представлены графики функций принадлежности
μR1 (x, y) и μR2 (x, y) , а на рис. 2.6 – график функции принадлежности μR3 (x, y) =
=μR1∩R2 (x, y) .
Заметим, что функция принадлежности μR3 (x, y) = μR1∩R2 (x, y) достига-
ет своего максимума при |x – y| = (α + β) / 2 = (1 + 2) / 2 = 1,5.
Рис. 2.5
Рис. 2.6
44
2.2.3. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕЧЁТКИХ ОТНОШЕНИЙ
Алгебраическим произведением нечётких отношений R1 и R2 называется нечёткое отношение R1 R2, элементы которого характеризуются функцией при-
надлежности |
|
|
|
|
|
μR R |
2 |
(x, y) = μR (x, y) μR |
2 |
(x, y) . |
(2.14) |
1 |
1 |
|
|
Например, пусть нечёткое бинарное отношение R1 на множестве действительных чисел является отношением «число |x – y| очень близко к числу α» или, другими словами, «число x удалено от числа y на величину α» и характеризуется функцией принадлежности (2.12) при α = 1, а нечёткое бинарное отношение R2 на том же множестве действительных чисел является отношением «число |x – y| очень близко к числу β» или, другими словами, «число x удалено от числа y на величину β» и характеризуется функцией принадлежности (2.13) при β = 2.
Тогда график функции принадлежности μR3 (x, y) = μR1 R2 (x, y) будет выглядеть так, как на рис. 2.7.
Рис. 2.7
2.2.4. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СУММА НЕЧЁТКИХ ОТНОШЕНИЙ
Алгебраической суммой нечётких отношений R1 и R2 называется нечёткое отношение R1 +ˆ R2, элементы которого характеризуются функцией принадлежности
μR |
+ˆ R |
(x, y) = μR (x, y) +μR |
2 |
(x, y) −μR (x, y)μR |
2 |
(x, y) . |
(2.15) |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
45
Например, пусть нечёткое бинарное отношение R1 на множестве действительных чисел является отношением «число |x – y| очень близко к числу α» или, другими словами «число x удалено от числа y на величину α» и характеризуется функцией принадлежности (2.12) при α = 1, а нечёткое бинарное отношение R2 на том же множестве действительных чисел является отношением «число |x – y| очень близко к числу β» или, другими словами «число x удалено от числа y на величину β» и характеризуется функцией принадлежности (2.13) при β = 2.
Тогда график функции принадлежности μR3 (x, y) = μR1 +ˆ R2 (x, y) будет выглядеть так, как на рис. 2.8.
Рис. 2.8
Для введённых операций объединения, пересечения, алгебраического произведения и алгебраической суммы нечётких отношений справедливы следующие законы дистрибутивности:
R1 ∩(R2 R3) = (R1 ∩ R2 ) (R1 ∩ R3), |
(2.16) |
R1 (R2 ∩R3) = (R1 R2 ) ∩(R1 R3) , |
(2.17) |
||||||
R1(R2 R3) = (R1R2 ) (R1R3) , |
(2.18) |
||||||
R1(R2 ∩ R3) = (R1R2 ) ∩(R1R3) , |
(2.19) |
||||||
R +ˆ |
(R R ) = (R +ˆ |
R ) (R +ˆ |
R ) , |
(2.20) |
|||
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
(2.21) |
R1 +(R2 ∩ R3) = (R1 + R2) ∩(R1 + R3) . |
|||||||
46