Как видно из графов композиции R3 oR1 (см. рис. 2.35) и композиции R3 oR2 (см. рис. 2.37), каждое из отношений:

μR3 oR1 (x1, z1) ≤μR3 oR2 (x1, z1)= 0,2 ≤ 0,7;

μR3 oR1 (x1, z2 ) ≤μR3 oR2 (x1, z2 ) = 0,3 ≤ 0,4;

μR3 oR1 (x2, z1) ≤μR3 oR2 (x2, z1) = 0,7 ≤ 0,9;

μR3 oR1 (x2, z2 ) ≤μR3 oR2 (x2, z2 ) = 0,4 ≤ 0,4.

истинно, поэтому свойство включения (2.40) подтверждается.

2.2.13. (MAX-*)-КОМПОЗИЦИЯ

композиции операцию « » можно заменить любой другой операцией «*», удовлетворяющей свойству ассоциативности. Тогда это выражение приобретает следующий вид:

Если операцию « » заменить операцией алгебраического умножения (1.13), то полученную при этом композицию R2 R1 называют (max-prod)-

композицией отношений R1 и R2.

Вычислим (max-prod)-композицию, например, заданных выше бинарных отношений R1 и R2 с соответствующими функциями принадлежности (см. табл.

70

2.27, 2.28). Используя результат объединения графов этих отношений (см. рис. 2.20), вычислим значения функции принадлежности (max-prod)-композиции

R2 R1:

μR2 R1 (x1, z1) = y (μR1 (x1, y) μR2 ( y, z1)) =

=(μR1 (x1, y1) μR2 ( y1, z1)) (μR1 (x1, y2 ) μR2 ( y2, z1)) =

=(0,7 0) (0,4 0,7) = 0 0,28 = 0,28;

μR2 R1 (x1, z2 ) = y (μR1 (x1, y) μR2 ( y, z2 )) =

=(μR1 (x1, y1) μR2 ( y1, z2 )) (μR1 (x1, y2 ) μR2 ( y2, z2 )) =

=(0,7 0,6) (0,4 0,1) = 0,42 0,04 = 0,42;

μR2 R1 (x2, z1) = y (μR1 (x2, y) μR2 ( y, z1)) =

=(μR1 (x2, y1) μR2 ( y1, z1)) (μR1 (x2 , y2 ) μR2 ( y2, z1)) =

=(0,9 0) (0,8 0,7) = 0 0,56 = 0,56;

μR2 R1 (x2, z2 ) = y (μR1 (x2, y) μR2 ( y, z1)) =

=(μR1 (x2, y1) μR2 ( y1, z2 )) (μR1 (x2 , y2 ) μR2 ( y2, z2 )) =

=(0,9 0,6) (0,8 0,1) = 0,54 0,08 = 0,54.

Граф (max-prod)-композиции R2 R1 представлен на рис. 2.38.

2.2.14. ОБЫЧНОЕ ПОДМНОЖЕСТВО НЕЧЁТКОГО ОТНОШЕНИЯ Α-УРОВНЯ

Обычное (чётное) отношение Rα называется обычным подмножеством α-уровня нечёткого отношения R, если его функция принадлежности определя-

71

2.2.15. ТЕОРЕМА О ДЕКОМПОЗИЦИИ НЕЧЁТКОГО ОТНОШЕНИЯ

Любое нечёткое отношение R представимо в виде объединения произведений α, равных ненулевым элементам его функции принадлежности, и соответствующих обычных подмножеств α-уровней:

Здесь произведение α Rα обозначает то, что каждый элемент обычного отношения Rα умножается на α.

Если, например, нечёткое бинарное отношение R: X × Y → [0, 1] имеет функцию принадлежности μR (x, y) , заданную табл. 2.35, то оно может быть декомпозировано следующим образом:

R= α1 Rα1 α1 Rα2 α3 Rα3 α4 Rα4

α5 Rα5 α6 Rα6 α7 Rα7 α8 Rα8 ,

где α1 = 0,2, α2 = 0,3, α3 = 0,5, α4 = 0,6, α5 = 0,7, α6 = 0,8, α7 = 0,9, α8 = 1.

72

В данном разложении обычные отношения Rα1 , …, Rα8 имеют функции принадлежности μRα1 (x, y) , …, ,μRα8 (x, y) , представленные табл. 2.36 – 2.43,

азначения функции принадлежности μR (x, y) вычисляются следующим образом:

μR (x1, y1) =

=α1 μRα1 (x1, y1) α2 μRα2 (x1, y1) α3 μRα3 (x1, y1) α4 μRα4 (x1, y1)

α5 μRα5 (x1, y1) α6 μRα6 (x1, y1) α7 μRα7 (x1, y1) α8 μRα8 (x1, y1) =

= 0,2 · 1 0,3 · 1 0,5 · 0 0,6 · 0 0,7 · 0 0,8 · 0 0,9 · 0 1 · 0 =

=0,2 0,3 0 0 0 0 0 0 = max(0,2; 0,3; 0; 0; 0; 0; 0; 0) = 0,3;

μR (x1, y2 ) =

=α1 μRα1 (x1, y2 ) α2 μRα2 (x1, y2 ) α3 μRα3 (x1, y2 ) α4 μRα4 (x1, y2 )

α5 μRα5 (x1, y2 ) α6 μRα6 (x1, y2 ) α7 μRα7 (x1, y2 ) α8 μRα8 (x1, y2 ) =

= 0,2 · 1 0,3 · 1 0,5 · 1 0,6 · 1 0,7 · 1 0,8 · 1 0,9 · 0 1 · 0 =

= 0,2 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 0 0 = max(0,2; 0,3; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0; 0) = 0,8;

……………………………………………………………………..

μR (x3, y4 ) =

73

74