1.1.3. СВОЙСТВА НЕЧЁТКИХ МНОЖЕСТВ

Чёткое множество Aα называется α-срезом нечёткого множества A:

Проверим истинность этого высказывания на примере α-срезов нечёткого множества A = {(x1; 0,3), (x2; 0), (x3; 0,7), (x4; 0,2)} при α1 = 0,3 и α2 = 0,7 (табл. 1.9).

8

min (μA(x1), μA(x2 )) .

Например, нечёткое множество A = {(1; 0,3), (2; 0,8), (3; 0,7), (4; 0,2)}

не противоречит условию выпуклости (1.10) при x1 = 1, x2 = 3 и γ = 0,5:

μA[γx1 +(1− γ)x2 ] ≥ (μA(x1) μA(x2 )) ,

μA[0,5 1+(1−0,5) 3] ≥ (μA(1) μA(3)) ,

μA[0,5 +0,5 3] ≥ (0,3 0,7) ,

μA[2] ≥ (0,3 0,7) , 0,8 ≥ min(0,3; 0,7) , (0,8 ≥ 0,3) = ИСТИНА.

Другое нечёткое множество A = {(1; 0,3), (2; 0,8), (3; 0,1), (4; 0,2)} выпуклым не является, поскольку при x1 = 2, x2 = 4 и γ = 0,5 высказывание (1.10) ложно:

μA[γx1 +(1− γ)x2 ] ≥ (μA(x1) μA(x2 )) ,

μA[0,5 2 +(1−0,5) 4] ≥ (μA (2) μA (4)) ,

μA[1+0,5 4] ≥ (0,8 0,2) ,

μA[3] ≥ (0,8 0,2) , 0,1 ≥ min(0,8; 0,2) ,

(0,1 ≥ 0,2) = ЛОЖЬ.

9

max (μA(x1), μA(x2 )) .

Например, нечёткое множество A = {(1; 0,8), (2; 0,3), (3; 0,2), (4; 0,7)}

не противоречит условию вогнутости (1.11) при x1 = 1, x2 = 3 и γ = 0,5:

μA[γx1 + (1 − γ)x2 ] ≤ (μA(x1) μA(x2 )) ,

μA[0,5 1 + (1 −0,5) 3] ≤ (μA(1) μA(3)),

μA[0,5 + 0,5 3] ≤ (0,8 0,2) ,

μA[2] ≤ (0,8 0,2) ,

0,3 ≤ max (0,8; 0,2) ,

(0,3 ≤ 0,8) = ИСТИНА.

Другое нечёткое множество A = {(1; 0,8), (2; 0,3), (3; 0,9), (4; 0,7)} вогнутым не является, поскольку при x1 = 2, x2 = 4 и γ = 0,5 высказывание (1.11) ложно:

μA[γ x1 +(1−γ)x2 ] ≤ (μA(x1) μA(x2 )) ,

μA[0,5 2 +(1−0,5) 4] ≤ (μA(2) μA(4)) ,

μA[1+0,5 4] ≤ (0,3 0,7) ,

μA[3] ≤ (0,3 0,7) ,

0,9 ≤ max (0,3; 0,7) ,

(0,9 ≤ 0,7) = ЛОЖЬ.

1.1.4. ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЁТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ

Пересечением A ∩ B нечётких множеств A и B называется нечёткое множество с функцией принадлежности, являющейся минимумом функций принадлежности множеств A и B:

μA∩B (x) = min(μA(x), μB (x)) . (1.12)

Например, пересечением нечётких множеств A = {(x1; 0,3), (x2; 0), (x3; 0,5), (x4; 0,2)} и B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 0), (x4; 1)} является нечёткое множество A ∩ B = {(x1; 0,3), (x2; 0), (x3; 0), (x4; 0,2)} (табл. 1.10).

10

Произведением A B нечётких множеств A и B называется нечёткое мно-

Например, произведением нечётких множеств A = {(x1; 0,3), (x2; 0), (x3; 0,5), (x4; 0,2)} и B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 0), (x4; 1)} является нечёткое множество A B = {(x1; 0,12), (x2; 0), (x3; 0), (x4; 0,2)} (табл. 1.11).

Объединением A B нечётких множеств A и B называется нечёткое множество с функцией принадлежности, являющейся максимумом функций принадлежности множеств A и B:

Например, объединением множеств A = {(x1; 0,3), (x2; 0), (x3; 0,5), (x4; 0,2)} и B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 0), (x4; 1)} является A B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 0,5), (x4; 1)} (табл. 1.12).

11