При задании несчётных нечётких множеств с неограниченными носителями относительные оценки δ(A, B) и ε(A, B) в качестве меры расстояния между нечёткими множествами не используются. Однако, если это необходимо, то относительную меру расстояния можно ввести, используя другое определение или другое понятие сходимости.

1.2.5. ВЫБОР МЕРЫ РАССТОЯНИЯ

Выбор того или иного расстояния – абсолютного или относительного, Хемминга или евклидова зависит от природы рассматриваемой проблемы. Каждое из этих расстояний обладает определенными преимуществами и недостатками, которые становятся очевидными при практическом решении той или иной технической задачи. В зависимости от специфики рассматриваемой проблемы для нечётких множеств можно ввести и другие понятия меры расстояния.

1.3. ИНДЕКСЫ НЕЧЁТКОСТИ

Если функция принадлежности μA(x) нечёткого множества A принимает значения из множества принадлежностей [0, 1], то можно считать, что объект x обладает некоторым свойством R, порождающим нечёткое множество A лишь

вчастной мере. Внутренняя неопределённость или двусмысленность объекта x

вотношении свойства R проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу A объектов, обла-

дающих свойством R, и классу A объектов, не обладающих свойством R. Заметим, что эта двусмысленность максимальна, когда степени принадлежности объекта x обоим классам равны, т.е. μA(x) = μA (x) = 0,5, и минимальна, когда

объект x принадлежит только одному классу, т.е. либо μA(x) = 1 и μA (x) = 0,

либо μA(x) = 0 и μA (x) = 1.

1.3.1. ПОНЯТИЕ ИНДЕКСА НЕЧЁТКОСТИ

Введём характеристику двусмысленности объекта x в отношении свойст-

ва R и назовём её индексом нечёткости (показателем размытости) нечёткого множества A. В общем случае показатель размытости нечёткого множества A можно определить в виде функционала f (A), удовлетворяющего следующим условиям:

20

1)f (A) = 0 тогда и только тогда, когда A – обычное чёткое множество,

т.е. μA(x) {0,1};

2)f (A) максимально тогда и только тогда, когда μA(x) = 0,5 для всех

xX ;

3)f (A) ≤ f (B), если нечёткое множество A является заострением нечёткого множества B, т.е. выполняется

4)f (A) = f ( A ) – симметричность по отношению к 0,5;

5)f (A B) + f (A ∩ B) = f (A) + f (B).

Заметим, что приведённая система аксиом при введении конкретных индексов нечёткости нередко используется частично, т.е., например, ограничиваются свойствами 1 – 3, либо некоторые свойства усиливаются или ослабляются в зависимости от решаемой задачи.

1.3.2. ОБЫЧНОЕ МНОЖЕСТВО, БЛИЖАЙШЕЕ К НЕЧЁТКОМУ

Обычное чёткое множество A называется ближайшим к нечёткому множеству A, если его характеристическая функция μA(x) определяется следующим образом:

Для определённости будем считать, что μA(x) = 0, если μA(x) = 0,5.

Например, ближайшим к нечёткому множеству A = {(x1; 0,5), (x2; 0,8), (x3; 0), (x4; 1)} является обычное чёткое множество A = {(x1; 0), (x2; 1), (x3; 0),

(x4; 1)} = {x2, x4}.

Обычное чёткое множество, ближайшее к пересечению нечётких множеств A и B, равно пересечению обычных множеств A и B , ближайших к этим

Так, с одной стороны, обычным чётким множеством, ближайшим к пере-

сечению нечётких множеств A = {(x1; 0,7), (x2; 0,3), (x3; 0,5), (x4; 0,8)} и B = {(x1; 0,6), (x2; 0,9), (x3; 0), (x4; 1)}, является множество A ∩ B = {(x1; 1), (x2; 0), (x3; 0), (x4; 1)} = {x1, x4} (табл. 1.27).

21

С другой стороны, пересечением множеств, ближайших к нечётким мно-

жествам A = {(x1; 0,7), (x2; 0,3), (x3; 0,5), (x4; 0,8)} и B = {(x1; 0,6), (x2; 0,9), (x3; 0), (x4; 1)}, является множество A ∩ B = {(x1; 1), (x2; 0), (x3; 0), (x4; 1)} = {x1, x4} (табл. 1.28).

Используя понятие обычного множества, ближайшего к нечёткому, введём следующие показатели размытости нечёткого множества A.

где d (A, A) – расстояние Хемминга (линейное расстояние) между нечётким

22

1.3.4. КВАДРАТИЧНЫЙ ИНДЕКС НЕЧЁТКОСТИ

Квадратичный индекс нечёткости нечёткого множества A:

23

1.3.5. ЛИНЕЙНЫЙ И КВАДРАТИЧНЫЙ ИНДЕКСЫ НЕЧЁТКОСТИ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ОПЕРАЦИЮ ДОПОЛНЕНИЯ

НЕЧЁТКОГО МНОЖЕСТВА

Линейный и квадратичный показатели размытости нечёткого множества можно ввести и другим способом, например, используя не понятие обычного множества, ближайшего к нечёткому, а операцию дополнения нечёткого множества.

Линейный индекс нечёткости нечёткого множества A:

24