1.5.2. ОБРАЗ НЕЧЁТКОГО МНОЖЕСТВА
Пусть F X × Y – заданное отображение и A – нечёткое множество,
заданное в X. Тогда образ нечёткого множества A при отображении F есть нечёткое множество B, заданное в Y с функцией принадлежности:
μB ( y) = sup μA(x) . |
(1.48) |
x F −1( y) |
|
Например, если X = {x1, x2, x3, x4}, Y = {у1, у2, у3}, F = {(x1, у2), (x2, у1), |
|
(x3, у2), (x4, у3)} и в X = {x1, x2, x3, x4} задано нечёткое множество A = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 0), (x4; 1)}, то его образ при отображении F – нечёткое множество B определяется так:
μB ( y1) = |
sup |
μA(x) = |
sup μA(x) = sup(μA(x2 )) = sup(0,6) = 0,6; |
|
|
x F −1( y1) |
|
x {x2} |
|
μB ( y2 ) = |
sup |
μA(x) = |
sup |
μA(x) = sup(μA(x1),μA(x3)) = |
|
x F −1( y2 ) |
x {x1, x3} |
||
= sup(0,4; 0) = 0,4; |
|
|
||
μB ( y3) = |
sup |
μA(x) = |
sup |
μA(x) = sup(μA(x4 )) = sup(1) = 1; |
|
x F −1( y3 ) |
x {x4} |
|
|
B = {(y1; 0,6), (y2; 0,4), (y3; 1)}.
35
2.НЕЧЁТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
2.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЧЁТКОГО ОТНОШЕНИЯ
Пусть E = E1 × E2 × … × En является декартовым произведением универсальных множеств E1, E2, … , En, а M – множеством принадлежностей. Тогда нечётким n-арным отношением R называется нечёткое подмножество множества E. Степени принадлежности элементов (e1, e2, … , en) E нечёткому n-арному отношению R принимают свои значения из M.
2.1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЧЁТКОГО БИНАРНОГО ОТНОШЕНИЯ
В случае, когда n = 2 нечёткое n-арное отношению R становится нечёт-
ким бинарным отношением. Если X = E1, Y = E2 и M = [0, 1], то нечёткое бинарное отношение X R Y между множествами X и Y является двухместной функцией F: X × Y → [0, 1] с областью определения X × Y и множеством значений [0, 1]. При этом функция F каждому элементу (x, y) X × Y ставит в соответствие степень принадлежности этого элемента μR (x, y) [0, 1] нечёткому бинарному отношению R.
Пусть, например, X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3, y4} и M = [0, 1]. Тогда нечёткое бинарное отношение X R Y может быть представлено следующей матрицей смежности (табл. 2.1), заполненной некоторыми значениями степеней принадлежности μR (x, y) .
|
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
y Y |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
x X |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
0 |
0 |
0,1 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
0 |
0,8 |
1 |
0,7 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
1 |
0,5 |
0,6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Соответствующая этому отношению двухместная функция F: X × Y → [0, 1] представлена табл. 2.2 с такими же значениями степеней принадлежности
μR (x, y) .
36
|
|
|
|
|
Таблица 2.2 |
|
|
|
|
|
|
x X |
y Y |
F (x, y) |
x X |
y Y |
F (x, y) |
x1 |
y1 |
0 |
x2 |
y3 |
1 |
x1 |
y2 |
0 |
x2 |
y4 |
0,7 |
x1 |
y3 |
0,1 |
x3 |
y1 |
1 |
x1 |
y4 |
0,3 |
x3 |
y2 |
0,5 |
x2 |
y1 |
0 |
x3 |
y3 |
0,6 |
x2 |
y2 |
0,8 |
x3 |
y4 |
1 |
2.1.2. НЕЧЁТКОЕ БИНАРНОЕ ОТНОШЕНИЕ «НАМНОГО БОЛЬШЕ»
Пусть X = Y = (– ∞, + ∞), т.е. как X, так и Y, являются множеством всех действительных чисел, и M = [0, 1]. Пусть степень принадлежности μR (x, y) элемента (x, y) нечёткому бинарному отношению X R Y определяется функцией принадлежности:
0, |
если x ≤ y; |
|
|||
|
|
1 |
, если x > y. |
|
|
μR (x, y) = |
|
|
|
(2.1) |
|
|
|
1 |
|||
1 |
+ |
|
|
||
(x − y)2 |
|
|
|||
|
|
|
|
||
Тогда нечёткое бинарное отношение X R Y может быть названо «x намного больше, чем y» и обозначено как x >> y. Данное предположение подтвердим фрагментом матрицы смежности (табл. 2.3).
|
|
|
|
|
Таблица 2.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y Y |
– 2 |
– 1 |
0 |
1 |
2 |
|
x X |
||||||
|
|
|
|
|
||
– 2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
– 1 |
0,5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0,8 |
0,5 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0,9 |
0,8 |
0,5 |
0 |
0 |
|
2 |
0,941176 |
0,9 |
0,8 |
0,5 |
0 |
2.1.3. НЕЧЁТКОЕ БИНАРНОЕ ОТНОШЕНИЕ «ДОСТАТОЧНО БЛИЗКО»
Пусть как и в предыдущем примере X = Y = (– ∞, + ∞), т.е. как X, так и Y являются множеством всех действительных чисел, и M = [0, 1]. Но пусть степень принадлежности μR (x, y) элемента (x, y) нечёткому бинарному отношению X R Y определяются функцией принадлежности:
37
μR (x, y) = e−k(x−y)2 , |
(2.2) |
где k – достаточно большое число.
Тогда нечёткое бинарное отношение X R Y может быть названо «число x достаточно близко к числу y» и обозначено как x ≈ y. Данное предположение подтвердим фрагментом матрицы смежности при k, равном, например, 2 (табл. 2.4).
|
|
|
|
|
Таблица 2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y Y |
– 2 |
– 1 |
0 |
1 |
2 |
|
x X |
||||||
|
|
|
|
|
||
– 2 |
1 |
0,135335 |
0,000335 |
1,52E-08 |
1,27E-14 |
|
– 1 |
0,135335 |
1 |
0,135335 |
0,000335 |
1,52E-08 |
|
0 |
0,000335 |
0,135335 |
1 |
0,135335 |
0,000335 |
|
1 |
1,52E-08 |
0,000335 |
0,135335 |
1 |
0,135335 |
|
2 |
1,27E-14 |
1,52E-08 |
0,000335 |
0,135335 |
1 |
2.1.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕЧЁТКОГО БИНАРНОГО ОТНОШЕНИЯ НЕЧЁТКИМ ГРАФОМ
В случае конечных или счётных универсальных множеств, нечёткое бинарное отношение X R Y может быть представлено нечётким графом, в котором каждый элемент вида (x, y) R представляется дугой (x, y) с весом μR (x, y) . Например, нечёткое бинарное отношение, заданное матрицей смежности (2.5), может быть представлено нечётким графом, изображённым на рис. 2.1.
Если в нечётком бинарном отношении X R Y множества X и Y совпадают, то тогда получаем нечёткое бинарное отношение X R X, которое может быть представлено нечётким графом с множеством вершин X, и в котором каждая пара вершин (xi, xj) R соединяется дугой (xi, xj) с весом μR (xi , x j ) . Например,
нечёткое бинарное отношение R: X × X → [0, 1], заданное матрицей смежности (табл. 2.6), может быть представлено нечётким графом, изображённым на рис. 2.2.
В общем случае нечёткий граф определён на некотором множестве G упорядоченных пар (x, y), таком, что G X ×Y , G ∩G = и G G = X ×Y .
В примере (рис. 2.1) множество G = {(x1, y1), (x1, y2), (x1, y3), (x2, y1), (x2, y2), (x2, y3)} = X ×Y и G = , а в примере (рис. 2.2) множество G = {(x1, x2), (x1, x3), (x2, x1), (x2, x3), (x3, x1), (x3, x2)} X × X и G ={(x1, x1), (x2, x2), (x3, x3)}.
38