Суммой A + B нечётких множеств A и B называется нечёткое множество

(x4; 0,2)} и B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 0), (x4; 1)} является нечёткое множество A + B = {(x1; 0,58), (x2; 0,6), (x3; 0,5), (x4; 1)} (табл. 1.13).

Дополнением A нечёткого множества A называется нечёткое множество

1.1.5. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ НАД НЕЧЁТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ

Пересечение. В общем виде операция пересечения нечётких множеств определяется следующим образом:

где T – это так называемая T-норма.

12

Ниже рассмотрим частные случаи реализации T-нормы:

1)μA∩B (x) = μA(x) μB (x)) = min(μA(x), μB (x)) .

Вданном случае пересечением нечётких множеств A = {(x1; 0,9), (x2; 1),

(x3; 0,5), (x4; 0)} и B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 1), (x4; 0,3)} является нечёткое множество A ∩ B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 0,5), (x4; 0)} (табл. 1.15).

2)μA∩B (x) = μA(x)μB (x) .

Вданном случае пересечением нечётких множеств A = {(x1; 0,9), (x2; 1),

(x3; 0,5), (x4; 0)} и B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 1), (x4; 0,3)} является нечёткое множество A ∩ B = {(x1; 0,36), (x2; 0,6), (x3; 0,5), (x4; 0)} (табл. 1.16).

3) μA∩B (x) = max (0, μA(x) + μB (x) −1) .

В данном случае пересечением нечётких множеств A = {(x1; 0,9), (x2; 1), (x3; 0,5), (x4; 0)} и B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 1), (x4; 0,3)} является нечёткое множество A ∩ B = {(x1; 0,3), (x2; 0,6), (x3; 0,5), (x4; 0)} (табл. 1.17).

13

0, если μA(x) <1, μB (x) <1.

В данном случае пересечением нечётких множеств A = {(x1; 0,9), (x2; 1), (x3; 0,5), (x4; 0)} и B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 1), (x4; 0,3)} является нечёткое множество A ∩ B = {(x1; 0), (x2; 0,6), (x3; 0,5), (x4; 0)} (табл. 1.18).

5) μA∩B (x) =1− min (1, [(1 −μA(x)) p + (1−μB (x)) p ] p ) для p ≥1.

Если p = 2, то пересечением нечётких множеств A = {(x1; 0,9), (x2; 1), (x3; 0,5), (x4; 0)} и B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 1), (x4; 0,3)} является нечёткое множество A ∩ B = {(x1; 0,39), (x2; 0,6), (x3; 0,5), (x4; 0)} (табл. 1.19).

Таблица 1.19

Объединение. В общем виде операция объединения нечётких множеств определяется следующим образом:

где S – это так называемая S-норма или, что одно и то же, T-конорма. Ниже рассмотрим частные случаи реализации S-нормы:

1) μA B (x) = μA(x) μB (x)) = max(μA(x), μB (x)).

14

В данном случае объединением нечётких множеств A = {(x1; 0,9), (x2; 1), (x3; 0,5), (x4; 0)} и B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 1), (x4; 0,3)} является нечёткое множество A B = {(x1; 0,9), (x2; 1), (x3; 1), (x4; 0,3)} (табл. 1.20).

2) μA B (x) = μA(x) +μB (x) −μA(x) μB (x) .

В данном случае объединением нечётких множеств A = {(x1; 0,9), (x2; 1), (x3; 0,5), (x4; 0)} и B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 1), (x4; 0,3)} является нечёткое множество A B = {(x1; 0,94), (x2; 1), (x3; 1), (x4; 0,3)} (табл. 1.21).

3) μA B (x) = min (1, μA(x) + μB (x)) .

В данном случае объединением нечётких множеств A = {(x1; 0,9), (x2; 1), (x3; 0,5), (x4; 0)} и B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 1), (x4; 0,3)} является нечёткое множество A B = {(x1; 1), (x2; 1), (x3; 1), (x4; 0,3)} (табл. 1.22).

15