2.2.10. КОМПОЗИЦИЯ ОТНОШЕНИЙ

Если R1: X × Y → [0, 1] – нечёткое бинарное отношение между множествами X и Y и R2: Y × Z → [0, 1] – нечёткое бинарное отношение между множествами Y и Z, то нечёткое бинарное отношение R2 oR1: X × Z → [0, 1] между

или операцией (max-min)-композиции отношений R1 и R2.

Пусть, например, нечёткое бинарное отношение R1: X × Y → [0, 1] имеет функцию принадлежности, заданную табл. 2.24, а нечёткое бинарное отношение R2: Y × Z → [0, 1] – функцию принадлежности, заданную табл. 2.25.

Вычислим значения функции принадлежности композиции отношений R1

и R2:

μR2 oR1 (x1, z1) = y (μR1 (x1, y) μR2 ( y, z1)) = (μR1 (x1, y1) μR2 ( y1, z1))

(μR1 (x1, y2 ) μR2 ( y2, z1)) (μR1 (x1, y3) μR2 ( y3, z1)) =

=(0,1 0,9) (0,7 0,3) (0,4 0,1) = 0,1 0,3 0,1 = 0,3;

μR2 oR1 (x1, z2 ) = y (μR1 (x1, y) μR2 ( y, z2 )) = (μR1 (x1, y1) μR2 ( y1, z2 ))

(μR1 (x1, y2 ) μR2 ( y2 , z2 )) (μR1 (x1, y3) μR2 ( y3, z2 )) =

=(0,1 0) (0,7 0,6) (0,4 1) = 0 0,6 0,4 = 0,6;

57

μR2 oR1 (x1, z3) = y (μR1 (x1, y) μR2 ( y, z3)) = (μR1 (x1, y1) μR2 ( y1, z3))

(μR1 (x1, y2 ) μR2 ( y2 , z3)) (μR1 (x1, y3) μR2 ( y3, z3)) =

=(0,1 1) (0,7 0) (0,4 0) = 0,1 0 0 = 0,1;

μR2 oR1 (x1, z4 ) = y (μR1 (x1, y) μR2 ( y, z4 )) = (μR1 (x1, y1) μR2 ( y1, z4 ))

(μR1 (x1, y2 ) μR2 ( y2 , z4 )) (μR1 (x1, y3) μR2 ( y3, z4 )) =

=(0,1 0,2) (0,7 0,9) (0,4 0,5) = 0,1 0,7 0,4 = 0,7;

μR2 oR1 (x2, z1) = y (μR1 (x2 , y) μR2 ( y, z1)) = (μR1 (x2, y1) μR2 ( y1, z1))

(μR1 (x2 , y2 ) μR2 ( y2 , z1)) (μR1 (x2 , y3) μR2 ( y3, z1)) =

=(1 0,9) (0,5 0,3) (0 0,1) = 0,9 0,3 0 = 0,9;

μR2 oR1 (x2, z2 ) = y (μR1 (x2 , y) μR2 ( y, z2 )) = (μR1 (x2, y1) μR2 ( y1, z2 ))

(μR1 (x2 , y2 ) μR2 ( y2, z2 )) (μR1 (x2, y3) μR2 ( y3, z2 )) =

=(1 0) (0,5 0,6) (0 1) = 0 0,5 0 = 0,5;

μR2 oR1 (x2, z3) = y (μR1 (x2, y) μR2 ( y, z3)) = (μR1 (x2, y1) μR2 ( y1, z3))

(μR1 (x2, y2 ) μR2 ( y2 , z3)) (μR1 (x2 , y3) μR2 ( y3, z3)) =

=(1 1) (0,5 0) (0 0) = 1 0 0 = 1;

μR2 oR1 (x2, z4 ) = y (μR1 (x2, y) μR2 ( y, z4 )) = (μR1 (x2, y1) μR2 ( y1, z4 ))

(μR1 (x2, y2 ) μR2 ( y2, z4 )) (μR1 (x2, y3) μR2 ( y3, z4 )) =

=(1 0,2) (0,5 0,9) (0 0,5) = 0,2 0,5 0 = 0,5.

Результаты вычислений сведём в табл. 2.26.

Заметим, что при вычислении значения функции принадлежности композиции μR2 oR1 (xi , z j ) (см. табл. 2.26) был использован алгебраический подход,

58

в соответствии с которым i-я строка табл. 2.24, представляющей нечёткое бинарное отношение R1, поэлементно перемножалась с помощью операции « » с j-м столбцом табл. 2.25, представляющей нечёткое бинарное отношение R2, и полученные произведения складывались с помощью операции « ».

2.2.11. ГРАФОВЫЙ ПОДХОД К КОМПОЗИЦИИ ОТНОШЕНИЙ

Для вычисления значений функции принадлежности композиции

μR2 oR1 (x, z) можно использовать и графовый подход.

Всоответствии с ним сначала строится граф G1 G2, являющийся объединением графов G1 и G2, представляющих нечёткие бинарные отношения R1

иR2, а затем строится граф G, представляющий композицию R2 oR1.

Вграфе G1 G2 рассматриваются пути, ведущие из некоторой вершины xi в некоторую вершину zj и проходящие через все возможные вершины yk вида

((xi, yk), (yk, zj)).

Длина l ((xi, yk), (yk, zj)) каждого такого пути устанавливается равной минимальной величине из весов l (xi, yk) и l (yk, zj) составляющих его дуг (xi, yk)

и (yk, zj):

В графе G, представляющем композицию R2 oR1, строится дуга (xi, zj) с весом l (xi, zj), равным максимальной длине из всех путей вида ((xi, yk), (yk, zj)):

Применим графовый подход к определению композиции нечёткого бинарного отношения R1: X × Y → [0, 1] (см. табл. 2.24) и нечёткого бинарного отношения R2: Y × Z → [0, 1] (см. табл. 2.25).

Графы G1 и G2, представляющие нечёткие бинарные отношения R1 и R2,

Рис. 2.12

59

Вграфе G1 G2 рассмотрим пути, ведущие из некоторой вершины xi

внекоторую вершину zj и проходящие через все возможные вершины yk вида

((xi, yk), (yk, zj)).

Пути из вершины x1 в вершину z1: ((x1, y1), (y1, z1)), ((x1, y2), (y2, z1)), ((x1, y3), (y3, z1)).

Пути из вершины x1 в вершину z2: ((x1, y2), (y2, z2)), ((x1, y3), (y3, z2)). Путь из вершины x1 в вершину z3: ((x1, y1), (y1, z3)).

Пути из вершины x1 в вершину z4: ((x1, y1), (y1, z4)), ((x1, y2), (y2, z4)), ((x1, y3), (y3, z4)).

60

Пути из вершины x2 в вершину z1: ((x2, y1), (y1, z1)), ((x2, y2), (y2, z1)). Путь из вершины x2 в вершину z2: ((x2, y2), (y2, z2)).

Путь из вершины x2 в вершину z3: ((x2, y1), (y1, z3)).

Пути из вершины x2 в вершину z4: ((x2, y1), (y1, z4)), ((x2, y2), (y2, z4)). Длину l ((xi, yk), (yk, zj)) каждого из этих путей установим равной мини-

мальной величине из весов l (xi, yk) и l (yk, zj) составляющих его дуг (xi, yk) и (yk, zj) в соответствии с выражением (2.35):

l ((x1, y1), (y1, z1)) = min (l (x1, y1), l (y1, z1)) = min (0,1; 0,9) = 0,1, l ((x1, y2), (y2, z1)) = min (l (x1, y2), l (y2, z1)) = min (0,7; 0,3) = 0,3, l ((x1, y3), (y3, z1)) = min (l (x1, y3), l (y3, z1)) = min (0,4; 0,1) = 0,1, l ((x1, y2), (y2, z2)) = min (l (x1, y2), l (y2, z2)) = min (0,7; 0,6) = 0,6, l ((x1, y3), (y3, z2)) = min (l (x1, y3), l (y3, z2)) = min (0,4; 1) = 0,4, l ((x1, y1), (y1, z3)) = min (l (x1, y1), l (y1, z3)) = min (0,1; 1) = 0,1, l ((x1, y1), (y1, z4)) = min (l (x1, y1), l (y1, z4)) = min (0,1; 0,2) = 0,1, l ((x1, y2), (y2, z4)) = min (l (x1, y2), l (y2, z4)) = min (0,7; 0,9) = 0,7, l ((x1, y3), (y3, z4)) = min (l (x1, y3), l (y3, z4)) = min (0,4; 0,5) = 0,4, l ((x2, y1), (y1, z1)) = min (l (x2, y1), l (y1, z1)) = min (1; 0,9) = 0,9, l ((x2, y2), (y2, z1)) = min (l (x2, y2), l (y2, z1)) = min (0,5; 0,3) = 0,3, l ((x2, y2), (y2, z2)) = min (l (x2, y2), l (y2, z2)) = min (0,5; 0,6) = 0,5, l ((x2, y1), (y1, z3)) = min (l (x2, y1), l (y1, z3)) = min (1; 1) = 1,

l ((x2, y1), (y1, z4)) = min (l (x2, y1), l (y1, z4)) = min (1; 0,2) = 0,2, l ((x2, y2), (y2, z4)) = min (l (x2, y2), l (y2, z4)) = min (0,5; 0,9) = 0,5.

В графе G, представляющем композицию R2 oR1, дуга (xi, zj) будет иметь вес l (xi, zj), равный максимальной длине из всех путей вида ((xi, yk), (yk, zj)):

l (x1, z1) = max l ((x1, yk), (yk, z1)) = max (l ((x1, y1), (y1, z1)), l ((x1, y2),

k

(y2, z1)), l ((x1, y3), (y3, z1))) = max (0,1; 0,3; 0,1) = 0,3,

l (x1, z2) = max l ((x1, yk), (yk, z2)) = max (l ((x1, y2), (y2, z2)), l ((x1, y3), (y3, z2))) =

k

= max (0,6; 0,4) = 0,6,

l (x1, z3) = max l ((x1, yk), (yk, z3)) = max (l ((x1, y1), (y1, z3))) = max (0,1) = 0,1,

k

61