Основы интегрального исчисления. Курс лекций

3

1.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1.1.Алгебраическая форма комплексного числа. Комплексная плоскость.

Алгебраические действия с комплексными числами

Мы привыкли считать, что уравнение х2+1=0 не имеет решений. При этом мы имеем в виду, что не существует действительных чисел х, удовлетворяющих этому уравнению. Точно так же мы знаем, что квадратное уравнение ах2+bх+с=0 не имеет действительных корней, если D=b2–4ас<0.

Однако в математике кроме действительных имеется еще один класс чисел, которые называются комплексными. В классе комплексных чисел приведенные выше уравнения решения имеют.

Определение. Комплексным числом называется выражение z=a+bi, где а, b

– действительные числа, i – так называемая мнимая единица, определяемая равенствами:

Числа a и b называются действительной и мнимой частями комплексного числа; обычно используют обозначения: а=Rez, b=Imz (от слов: real — действительный; imaginary – мнимый). Числа a+bi и a–bi называют комплексно сопряженными. Если а=0, то число bi называется чисто мнимым; если же b=0, то а+0 i=а – действительное число.

Таким образом, действительные числа являются частным случаем комплексных чисел.

Принимаются следующие два соглашения:

1) Два комплексных числа равны: a1+b1i=a2+b2i в том и только в том слу-

чае, если a1=a2; b1=b2.

2) a+bi=0 только в том случае, если а=0, b=0.

Комплексные числа принято изображать на плоскости. Эта плоскость называется плоскостью комплексной переменной (плоскостью Z; плоскостью

Оху):

a+bi M(a;b)

Любому комплексному числу соответствует единственная точка на плоскости Z; любой точке плоскости Z соответствует единственное комплексное число.

5

Мнимые числа располагаются на оси Оу, а действительные – на оси Ох, соответственно ось Оу называется мнимой осью, а ось Ох – действительной.

Форма z=a+bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Алгебраические операции над комплексными числами определяются так: 1) сложение и вычитание:

Таким образом, при умножении и делении комплексных чисел надо действовать с ними, как с алгебраическими выражениями; при этом i2=–1, i3=i2 i=– i, i4=(i2)2=(–1)2=1, i5=i4 i=i и т.д. Например, i15=i12 i3=1 (–i)=–i.

Замечание. Если правила действий над комплексными числами перенести на частный случай действительных чисел, то получатся обычные правила действий, известные из арифметики и алгебры.

1.2. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Формулы Эйлера и Муавра

Кроме алгебраической формы существует также тригонометрическая форма комплексного числа.

6

Пусть и r (r 0) — полярные координаты точки М (полярной осью выбрана ось Ох, полюсом — точка О). Тогда

При этом из геометрических соображений ясно, что аргумент определен неоднозначно: вместо можно взять угол +2 n, где n Z.

Умножение и деление комплексных чисел легко выполняется, если использовать тригонометрическую форму. В самом деле, пусть z1 = a1 + i b1 = r1

(cos 1+i sin 1) и

z2=a2+i b2=r2(cos 2+i sin 2).

Тогда

z1 z2 = r1 r2(cos 1+i sin 1) (cos 2+i sin 2) = = r1 r2 [cos( 1 + 2) + i sin( 1 + 2)],

z1 r1 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]. z2 r2

(Вывести формулы самостоятельно).

Таким образом, модуль произведения двух чисел равен произведению модулей сомножителей; аргумент равен сумме аргументов сомножителей.

Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя. Аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

7

Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.

Из формулы умножения чисел в тригонометрической форме следует, что если n N, то

Это формула Муавра, с помощью которой любое комплексное число возводится в натуральную степень n.

Определение. Корнем n-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу:

r(cos i sin ) n (cosn i sin n ).

Отсюда:

n=r, 2 k . n

Полагая k=0, 1, 2, …, n–1, получим n различных значений корня. Если k=n, n+1 и т.д., то будем получать повторяющиеся значения.

Таким образом: корень n-й степени из комплексного числа имеет n значений. Это относится и к корню n-й степени из любого действительного числа.

Пример 1. Найти все значения корня кубического из 1.

1 = cos 0 + i sin 0;

Геометрическая интерпретация:

Пример 2. Решить уравнение х4=1 в области комплексных чисел.

Показательная форма комплексного числа

Показательная форма основана на следующем определении функции еz (z – комплексное число):

Это соотношение доказывается в теории функций комплексного переменного и нам придется его принять без особых комментариев.

Если в (*) положить х=0, то

Это известная формула Эйлера, которая позволяет легко перейти от тригонометрической формы комплексного числа к показательной форме:

z = r ei .

9

Примеры:

Отметим, что формулы умножения и деления комплексных чисел легко выводятся на основании показательной формы комплексного числа:

2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1. Первообразная и ее свойства

Напомню основную задачу дифференциального исчисления: дана некоторая функция F(х); требуется найти ее производную, т.е. новую функцию f(x), такую, что F'(x)=f(x). Процедура отыскания этой функции называется дифференцированием. Мы выяснили, что эта операция может быть определена на языке пределов, а затем вывели целый ряд основных свойств производной и составили таблицу производных основных элементарных функций.

Сейчас мы будем заниматься обратной задачей: требуется найти неизвестную функцию F(x), производная которой известна и равна f(x). Такая задача возникает во многих прикладных дисциплинах. По-прежнему выполняется равенство F'(x)=f(x), но наша задача состоит в том, чтобы по заданной функции f(x) найти функцию F(x), производная от которой и равна f(x).

Определение. Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a;b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство

F'(x)=f(x).

10