Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы интегрального исчисления. Курс лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Таким образом,

6 x 2

2x 1

В высшей алгебре (которую мы с вами не изучаем) доказывается, что любой многочлен Q(х) с целыми степенями можно представить в виде:

Q(x)=A(x– )(x– )…(x– ),

(3.1.3)

где А — коэффициент при старшей степени многочлена Q(х);, , …, — корни уравнения Q(х)=0.

Множители (х– ), (х– ), …, (х– ) (всего их n штук) называются элементарными множителями. Если среди них есть совпадающие, то

Q(x)=A(x– )r(x– )s…(x– )t,

(3.1.4)

где r, s, …, t — кратности корней , , …, . При этом

r+s+ …+t=n.

(3.1.5)

Пример.

Q(х)=5(x–1)2(x+4)3.

Очевидно, Q(x) – многочлен 5 степени, он имеет корень =1 кратности 2 и корень =–4 кратности 3.

Среди корней представления (3.1.4) могут быть и комплексные, т.е. корни вида =a+bi. В высшей алгебре доказывается (мы это утверждение примем без доказательства), что, если в случае действительных коэффициентов многочлена Q(x) имеется комплексный корень =a+bi, то имеется и комплексносопряженный корень a bi . Отсюда следует, что если в разложение (3.1.4) входит множитель (х– )r, то оно содержит и множитель (х– )r. Перемножив эти сомножители, получим:

( x )r ( x )r [ x ( a bi )] [ x ( a bi )] r

[ x a bi ] [ x a bi ] r [( x a )2 ( bi )2 ]r

( x2 2ax a2 b2 )r ( x2 2 px q )r ,

где p=–a, q=a2+b2, p2–q<0.

Таким образом, квадратный трехчлен x2+2px+q, соответствующий комплексным корням, имеет отрицательный дискриминант.

Приведенные рассуждения приводят к выводу: Q(х) представляется в виде:

Q(x)=A(x– )r(x–p)s…(x2+2pх+q)t(x2+2ux+v)z… (3.1.6)

Таким образом, в разложение Q(х) входят только линейные множители вида (х– ) ( — действительный корень) и квадратные трехчлены вида x2+2px+q с действительными коэффициентами и отрицательными дискрими-

нантами.

Непосредственное отношение к теории интегрирования дробнорациональных функций имеет следующая теорема.

Теорема (без доказательства). Если рациональная дробь	R( x )	есть пра-
	Q( x )

	вильная дробь, а многочлен Q(x) представлен в виде (3.1.6), то функция	R( x )
		Q( x )
		Q( x )

единственным образом представляется стейших дробей:

R( x )	A	A	...
Q( x )	1	2	...
	1	2
	x	( x )
		2

	M x N			...
		2	2

( x	2		2
		2 px q )

в виде суммы конечного числа про-

A		...		M x N
r			x		1	1

( x )	r			2	2 px q

	M x N			...,	(3.1.7)
		t	t

( x	2		t
		2 px q )

где А1, А2, …, Аr, …, M1, N1, M2, N2, …, Mt, Nt, … – некоторые действительные числа.

Формула (3.1.7) называется разложением дробно-рациональной функции на элементарные дроби.

Чтобы определить числа А1, А2, ..., Ar, ..., M1, N1, M2, N2, ..., Mt, Nt, …, умно-

жим обе части на Q(х). В левой части равенства оказывается многочлен R(x), а в правой части — некоторый многочлен той же степени с неизвестными коэффициентами. Эти многочлены тождественно равны друг другу, поэтому можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного равенства, решить полученную систему уравнений и определить все коэффициенты. Этот метод носит название метода неопределенных коэффициентов.

Возможны некоторые модификации этого метода, которые будут рассмотрены на практических занятиях.

Пример 1. Разложить функцию		2х 1	на элементарные дроби.

	х2	5х 6
	х2	5х 6
	22

Найдем корни знаменателя:

х2–5х+6=0,

х1=2,

х	5	25 24	5
х
1,2		2
		2

х2=3; х2–5х+6=(х–2)(х–3).

;

		2x 1
x	2	5x	6

A		B		;
x	3	x	2

2x 1	A		B		;
( x 2 )( x 3 )	x	3	x	2

2х–1=А(х–2)+В(х–3); А и В находим из системы:

2 А В

	2А 3В,
1	2А 3В,

Таким образом,

В=2–А, –1=–2А–3(2–А), А=5, В=–3.

		2x 1		5	3	.
x	2	5x	6	x 3	x 2

Пример 2. Найти разложение функции


x	2		1
	2
x( x		2	1 )
x( x			1 )

на элементарные дроби.

Так как квадратный трехчлен х2+1 (с нулевым коэффициентом при первой степени х) не имеет действительных корней (имеет комплексные корни!), то в соответствии с общей формулой (3.1.6):

x	2		1	А	Вх С
								.
x( x		2	1)	х	х	2	1

Умножая обе части этого равенства на х(х2+1), получаем

х2–1=А(х2+1)+(Вх+С)х.

Система уравнений относительно А, В и С имеет вид:

1 А В0 С

1 А.

Отсюда А=–1, С=0, В=2, так что

x	2		1	1		2х
								.
x( x		2	1)	х	х	2	1

После рассмотренных примеров вернемся к проблеме интегрирования дробно-рациональных функций.

Итак,

P( x )

Q( x )

Здесь W(x) — многочлен, а

Очевидно

W( x

R( x ) Q( x )

) Q(R( xx )).

— правильная рациональная дробь.

P( x )	dx W( x )dx	R( x )	dx.
Q( x )		Q( x )

Интеграл

W( x )dx

легко вычисляется, т.к. сводится к сумме интегралов

от степенных функций вида

k	dx
x

x	k 1	C

k 1

. Поэтому главный вопрос:

как проинтегрировать правильную рациональную дробь?

С учетом разложения (3.1.7) вопрос сводится к вычислению интегралов четырех типов:

Aln x

II.

( x )

Сделаем замену х– =t, dx=dt, тогда

t r dt

t r 1

( x

)

( r 1)( x )

r 1

(r > 1).


III.		2	Ax B			dx.
	x	2	2 px q


IV.			2	Ax B			r	dx .
	( x		2		2 px q )		r

В интегралах III и IV квадратный трехчлен x2+2px+q не имеет действительных корней, т.е. p2–q<0.

Можно отметить, что интеграл типа IV самый сложный из приведенных четырех, и, хотя в общей теории показывается, как его вычислить, мы этот вопрос рассматривать не будем.

С интегралом же III надо разобраться. Выделим из трехчлена в знаменателе полный квадрат:

x2+2px+q=x2+2px+p2–p2+q=(x+p)2+q–p2.

Теперь сделаем подстановку х+р=t, x=t–p, dx=dt. Обозначим величину q– p2=h>0. Тогда

Ax B

A( t p ) B

t dt

2 px q

dt A

( B Ap )

Первый интеграл легко вычисляется:

t dt

2t dt

d( t

h )

h ) C

ln(t

ln( x2

2 px q ) C.

Второй интеграл и вовсе является табличным (см. формулу 13 таблицы ин-

тегралов):

arctg

x p

6 х 5

Пример. Вычислить интеграл

dx.

х2 4х 9

х2+4х+9=(х+2)2+5. Подстановка х+2=t, x=t–2, dx=dt.

				6 х 5						dx				6 x 5						dx				6( t 2 ) 5						dt
	х	2		4х				9		dx	( x 2 )					2	5			dx					t	2	5			dt
	х			4х				9			( x 2 )						5								t		5
					6t 7				dt 3			2t dt			7						dt		3ln( t2				5 )

					t	2	5					t	2	5				t	2			5
					t		5					t		5				t				5
7			arctg					t		C 3ln( x2					4x 9 )									7	arctg			x			2	C.

	5							5																5					5
	5							5																5					5

Несколько заключительных замечаний.

Класс дробно-рациональных функций имеет в математике очень важное значение. Во-первых, любой интеграл от дробно-рациональной функции вычисляется в элементарных функциях. Во-вторых, существуют другие классы функций, интегралы от которых с помощью различных замен переменных сводятся к интегралам от дробно-рациональных функций. Если такая замена переменных найдена, дело сводится к чисто техническим выкладкам.

3.2. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Рассмотрим интегралы вида:

R( x,x n ,...,x s )dx,

где R – рациональная функция, а числа

m n

, …,

r s

– рациональные (m, n, …, r, s

N).

Пусть k – общий знаменатель всех этих дробей. Сделаем подстановку x=tk, dx=ktk–1dt.

Тогда каждая дробная степень х выражается через целую степень t, т.е. подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию t.

		1
	x dx
		3
Пример. J		2
Пример. J	x		1	.
	x	4	1
		4

Общий знаменатель дробей

x=t4, dx=4t3dt и получаем:

1 2

и3 равен 4. Делаем замену переменных

J				t		2	4t		3	dt	4					t		5							4			t	5		t				2	t			2
				t			4t			dt						t				dt								t			t					t				dt
						t	3	1						t		3	1			dt											t	3		1						dt
						t		1						t			1														t			1
				t		2					4 t					dt 4						t		2		dt					4							4
			3	t																		t				dt					4		t					4		lnt
4 t	2		3					dt							2								3										t		3					lnt
	2														2																				3
		t			1																	t				1					3							3
																																					1
Чтобы перейти к старой переменной, учтем, что t x																																					4				4
Чтобы перейти к старой переменной, учтем, что t x
								J			4	4	x	3				4	ln		4	x			3		1			C.
												4		3							4				3
											3							3
											3							3
Интегралы вида													dx							.
												2	bx c

										ax
										ax

3	1	C.

x , тогда

В таких интегралах надо выделить полный квадрат под знаком радикала; после этого путем соответствующей замены переменных они сводятся к табличным интегралам (12 или 14).

Примеры.

1) Найти интеграл			dx		.


			x2 2x 5
			x2 2x 5
			dx			dx
		2					2
	x	2	2x	5		( x 1)	2
	x		2x	5		( x 1)

Сделаем замену t=x+1, x=t–1, dx=dt, получим

x2 2x 5

( x 1)2 4

t 2 4

lnt t 2 4 C ln x 1 x2 2x 5 C.

2) Найти интеграл		dx
			.
			.
	3x	2 4x 1

				2
				dx							1								dx
					4x							3								4				1
		3x			4x				1			3			x		2			4		x		1
															x					3		x		3
																				3				3
1			dx								1										dx
1			dx								1										dx
3				4				1			3									4			4			4	1
3		2		4		x		1			3					2				4	x		4			4	1
	x			3		x								x						3	x		9			9	3
				3				3												3			9			9	3
																			d				2
									2										d	x						2
	1						dx		2				1										3			2
	1						dx						1										3
	3													3
	3							2		1				3				1							2
				x				3		9								9			x				3
								3		9								9							3

		x	2
1			3	C	1		2 ) C.
	arcsin					arcsin(3x
3		1			3

		3

3.3. Интегрирование тригонометрических функций

3.3.1. Интегралы вида

R(sin x,cos x )dx

Интегралы указанного вида приводят к интегралам от функций с помощью универсальной тригонометрической

tg 2x t . При этом

	2tg	x				1 tg		2	x
	2tg	2	2t			1 tg			2	1
sin x		2	2t	,	cos x				2	1
sin x	1 tg	2 x	1 t 2	,	cos x			2	x	1
						1 tg
		2				1 tg			2
		2							2
		x 2arctgt ,			dx	2dt	.
		x 2arctgt ,			dx		.
						1 t 2

рациональных

подстановки

t
2
t	,
2

Примеры.

1)Найти интеграл

dx sin x

	dx
	sin x
	sin x
	2dt
1 t		2
		2
	2t
1 t		2
		2

	t
	dt

ln t	C ln tg	x
		2

Иногда этот простой интеграл включают в число табличных.

2) Найти интеграл								dx								.
						4 sin x 3cos x 5


			dx															2dt
			dx															1 t
	4 sin x 3cos x 5																					2
															2t							1 t			2
													4					3							2	5

														1	t		2					1	t		2
														1	t							1	t

2				dt								2						dt								dt
2	8t	3( 1 t		2		) 5( 1 t			2		)	2			2t	2	8t			8						( t 2 )	2
	8t	3( 1 t				) 5( 1 t					)				2t		8t			8						( t 2 )
			d( t 2 )						1				C						1					C.
			( t		2 )		2	t			2		C						x					C.
			( t		2 )			t			2							tg	x		2
																		tg	2		2
																			2
Универсальная подстановка								tg		x		t		во многих случаях приводит к до-
Универсальная подстановка								tg		2		t		во многих случаях приводит к до-
										2

вольно громоздким вычислениям. В некоторых частных случаях нахождение интегралов вида R(sin x,cos x )dx может быть упрощено.

1. Если интеграл имеет вид R(sin x ) cos xdx, то после замены sin x=t,

cos x dx=dt	R(sin x ) cos xdx R( t )dt , т.е.	довольно легко сводится к
интегралу	от рациональной функции. Если	интеграл имеет вид

R(cos x ) sin xdx, то к цели ведет замена cos x=t.

Пример. Найти интеграл

sin	3	x

2 cos x

	sin	3	x	dx	sin	2	x sin xdx

2	cos x				2		cos x


1 cos		2	x
1 cos			x
2	cos x
2	cos x

sin

xdx

Очевидна замена cos x=t, sin xdx=–dt, после чего

sin

1 t

4 3

cos x

2 t

t 2

dt tdt 2 dt 3

t 2

3lnt 2 C

cos

x 2 cos x 2ln( 2 cos x ) C.

2. Если функция R(sin x, sin x, –cos x) = R(sin x, cos x),

если интеграл имеет вид		R(
если интеграл имеет вид		R(
Примеры.
1) Найти интеграл	2
1) Найти интеграл

cos x) — четная относительно sin x и cos x, т.е. R(– то следует делать замену tgx=t. В частном случае,

tg x )dx, то к цели ведет эта же замена.

dx			.
sin	2	x	.
	2

Функция зависит только от sin x,

x=arctg t, dx

sin

x tg

2 sin2 x

t 2

1 t 2

причем четным образом. Пусть tg x=t,

cos

x tg 2 x

. Тогда

t 2

1 tg 2 x 1

arctg

t 2 2

1	tg x		C.
	arctg


2		2

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

				2
				dx							1								dx
					4x							3								4				1
		3x			4x				1			3			x		2			4		x		1
															x					3		x		3
																				3				3
1			dx								1										dx
1			dx								1										dx
3				4				1			3									4			4			4	1
3		2		4		x		1			3					2				4	x		4			4	1
	x			3		x								x						3	x		9			9	3
				3				3												3			9			9	3
																			d				2
									2										d	x						2
	1						dx		2				1										3			2
	1						dx						1										3
	3													3
	3							2		1				3				1							2
				x				3		9								9			x				3
								3		9								9							3

				2
				dx							1								dx
					4x							3								4				1
		3x			4x				1			3			x		2			4		x		1
															x					3		x		3
																				3				3
1			dx								1										dx
1			dx								1										dx
3				4				1			3									4			4			4	1
3		2		4		x		1			3					2				4	x		4			4	1
	x			3		x								x						3	x		9			9	3
				3				3												3			9			9	3
																			d				2
									2										d	x						2
	1						dx		2				1										3			2
	1						dx						1										3
	3													3
	3							2		1				3				1							2
				x				3		9								9			x				3
								3		9								9							3

				2
				dx							1								dx
					4x							3								4				1
		3x			4x				1			3			x		2			4		x		1
															x					3		x		3
																				3				3
1			dx								1										dx
1			dx								1										dx
3				4				1			3									4			4			4	1
3		2		4		x		1			3					2				4	x		4			4	1
	x			3		x								x						3	x		9			9	3
				3				3												3			9			9	3
																			d				2
									2										d	x						2
	1						dx		2				1										3			2
	1						dx						1										3
	3													3
	3							2		1				3				1							2
				x				3		9								9			x				3
								3		9								9							3