Основы интегрального исчисления. Курс лекций

Пример. Найти первообразную от функции f(x)=x2.

Решение. Нашу задачу можно сформулировать другими словами: какая функция, будучи продифференцированной, даст в результате х2? Если мы пом-

нако заметим: первообразная функция не является единственной, а находится с точностью до постоянного слагаемого:

Таким образом, если F(x) — первообразная, то любая другая первообразная имеет вид F(x)+С.

Если функция F(x) — первообразная для функции f(x), то множество функций F(x)+C, где С — произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом

Таким образом, неопределенный интеграл в математике отождествляется с первообразной.

При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(х)dx — подынтегральным выражением, х называется переменной интегрирования, а знак

f(x). Сама операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием функции f(x). Чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, необходимо просто продифференцировать первообразную и убедиться, что ее производная равна подынтегральной функции f(x).

Примеры.

1. cos xdx sin x C , т.к. (sin x C )' cos x;

Из определения неопределенного интеграла (первообразной) вытекают следующие его свойства.

1)Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

f ( x )dx ' f ( x ), d f ( x )dx f ( x )dx.

2)Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

dF( x ) F( x ) C.

3)Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла:

k f ( x )dx k f ( x )dx.

4)Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx.

Это свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых. Поскольку операция интегрирования обратна операции дифференцирова-

ния, то любая строчка из таблицы производных непосредственно (или после небольших преобразований) дает некоторую формулу интегрирования:

В таблицу неопределенных интегралов можно также добавить несложные формулы, которые проверяются непосредственным дифференцированием.

12

Вот эта таблица:

6. ex dx ex C;

Интегралы, входящие в эту таблицу, называются табличными интегралами. Ее, так же, как и таблицу производных, надо знать наизусть.

2.2. Основные методы интегрирования

1) Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с помо-

щью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Примеры.

14

1 arctg x C; x

Как видно из примеров 3 5, иногда следует проявить некоторую сообразительность и изобретательность, чтобы свести интегралы к табличным.

2) Метод подстановки (метод замены переменной). Введение новой пере-

менной часто позволяет свести интеграл к табличному.

ственно подобрать первообразную F(x) затруднительно. Сделаем замену:

f [ ( t )] ' ( t )dt оказывается более простым, чем исходный, то это озна-

чает, что мы сделали удачную замену переменных. Интеграл может в результате замены переменных и стать более сложным — такая замена неудачная. Вопрос о том, какие замены переменных являются удачными, а какие нет — весьма творческий. Необходимо больше практиковаться и правильные приемы замены переменных становятся привычными.

Примеры.

1. sin x cos x dx ? Сделаем подстановку t = sin x, тогда dt = cos x

15

Отметим: если при вычислении интеграла сделана замена переменных и интеграл вычислен, необходимо вернуться к старой переменной.

arcsinax C.

Метод замены переменных является одним из основных методов интегрирования, поэтому его надо кропотливо осваивать.

3) Интегрирование по частям. Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции от х. Тогда, т.к. d(uv)=udv+vdu, то, интегрируя это равенство, получим:

16

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Естественно, что этой формулой пользуются, когда интеграл в правой части проще, чем в левой. При этом в исходном интеграле какую-то часть подынтегрального вы-

Замечание. Если в формулу (*) подставить вместо v v+С, то легко заметить, что от константы С правая часть не зависит. Поэтому при вычислении функции v по ее дифференциалу dv обычно считают С=0.

Тогда xex dx xex ex dx xex ex C1 и окончательно получа-

ем:

17

где обозначено –2С1=С.

Заметим, что метод интегрирования по частям представляет собой известную трудность для начинающих. Если в формуле (*) выбрать u и dv произвольно, то вместо упрощения интеграл может и усложниться. Например, надо вы-

Видно, что получился более сложный интеграл.

Некоторые рекомендации при интегрировании по частям.

1) В интегралах вида

где Р(х) – многочлен, в качестве u(x) надо выбирать логарифм или обратную тригонометрическую функцию, а dv=P(x)dx.

2)В интегралах вида

P( x )ekxdx , P( x )sin kx dx, P( x )coskxdx

18

следует полагать u=P(x) (см. предыдущую серию примеров, примеры 1 и 3).

3) Интегралы вида

где , – некоторые числа, вычисляются двукратным интегрированием по частям.

u=ex, dv=sin x dx, du=exdx, v=–cos x,

Подставим полученное выражение (***) в (**):

ex cos xdx ex sin x ( ex cos x ex cos xdx ).

ex cos x dx 21 ex (sin x cos x ) C.

19

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ

И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

3.1. Интегрирование дробно-рациональных функций

Мы переходим к рассмотрению важного класса функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции. Это дробнорациональные функции вида:

где Р(х) и Q(х) — многочлены с целыми степенями.

Коэффициенты многочленов в дальнейшем будем считать действитель-

ными числами.

Пусть m и n — максимальные степени многочленов Р(х) и Q(х). Если m n, то дробь (3.1.1) называется неправильной; выполнив деление (например, "уголком"), получим:

–2х2+6х–2

20