Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы интегрального исчисления. Курс лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

2) Вычислить

sin x cos x
sin	4	x cos	4

При замене sin x на –sin x и cos x на –cos x подынтегральная функция не изменяется. Значит, ее можно выразить через t=tg x:

sin x cos x

tg x

;

sin

x cos

1 tg

1 t

							dx d( arctgt )																			dt					;
							dx d( arctgt )																	1 t						2	;
																								1 t

						x tg						x cos										tg				2	x						t	2
				sin	2						2					2	x					tg					x						t				;
					2						2					2
																					1 tg							2	x				1 t		2
																												2							2

							cos			2		x					1											1				;
										2
														1 tg					2	x					1 t						2
																			2												2

	sin x cos x					dx																			t														dt
	sin	4			4	dx															t	4											1						1 t	2
	sin		x cos			x						( 1 t2									t												1						1 t
												( 1 t2					)							2			2							2	2
																								2			2				( 1 t			2	2
																		( 1 t								)					( 1 t				)

																		t dt			.
																	t	4			.
																	t				1
Сделаем замену t2=u, тогда 2t dt=du, t dt=																							1			du,
Сделаем замену t2=u, тогда 2t dt=du, t dt=																							2			du,
																							2
			t dt		1			du					1		arctgu C															1		arctgt				2		C
																																				2
		t	4	1	2		u	2	1				2																	2
		t		1	2		u		1				2																	2

21 arctg( tg2 x ) C.

Таким образом, при вычислении данного интеграла мы использовали две замены переменных.

3.3.2. Интегралы вида

sin	m	x cos	n	x dx

Числа m и n считаются в дальнейшем целыми и положительными. 1) Пусть одно из этих чисел нечетное, например, n=2p+1. Тогда

sinm x cosn x

sinm


dx sin		m		x cos			2 p	x cos xdx

x( 1 sin	2		x )		p	d(sin x ).

Если после этого сделать замену sin x=t, то интеграл сводится к интегралу от степенных функций.


Пример. Вычислить								sin			4	x cos				3	x dx .
											4					3

sin			4	x cos					3	x dx sin									4	x cos				2	x cos x dx.
sin				x cos						x dx sin										x cos					x cos x dx.
		sin x=t, cos x dx=dt, cos2x=1–sin2x=1–t2, поэтому
sin	4	x cos				3	x dx t						4	( 1			t			2	)dt		t			4	dt t	6	dt
sin		x cos					x dx t							( 1			t				)dt		t				dt t		dt
				t	5		t	7	C				1						x			1				x C.
				t			t						1		sin			5				1			7
				5			7						5		sin							7	sin
				5			7						5									7

2) Пусть оба числа m и n – четные. рические формулы понижения степени:

sin	2	x	1 cos 2x	, cos	2	x	1

			2

Тогда будем использовать тригономет-

cos 2x		x	1
	, sin2 x cos2			sin2 2x .
2			4

Если перемножить выражения, полученные после понижения степени и привести подобные члены, то подынтегральная функция вновь содержит произведения функций sin2x и cos2x в различных степенях. Если либо sin2x, либо cos2x содержится в нечетной степени, то действуем в соответствии с предыдущим пунктом. Если же обе степени окажутся четными, то следует их вновь понизить, выразив через cos4x и sin4x. В конце концов, либо слагаемые интегрируются методом, описанным в предыдущем пункте, либо сводятся к интегралам

cos kx dx, sin kxdx , которые легко вычисляются.

Пример. Найти интеграл sin4 x dx.

		1		cos2x			2	1
sin	4	1		cos2x			dx	1	( 1		2 cos2x
sin		xdx					dx		( 1		2 cos2x
				2				4
cos	2	2x )dx	1	dx	1	cos2xdx				1		cos	2	2xdx.
	2												2
			4		2					4
			4		2					4

Первые два интеграла легко вычисляются, а последний требует еще одного понижения степени косинуса.

			1	dx			1	cos 2xdx							1	x		1					1
																							1
			4				2								4			4	sin 2x C .
			4				2								4			4
1	cos	2	2x dx				1	1 cos4x						dx			1	dx			1	cos4x dx
		2
4							4			2							8				8
4							4			2							8				8
								1	x			1	sin4x C							.
									x				sin4x C							.
								8				32							2
								8				32
Окончательно
		sin			4	xdx		1		3	x sin 2x							1					C.
		sin				xdx					x sin 2x								sin4x				C.
								4		2								8

3.3.3. Интегралы вида sin mx cosnxdx, cosmx cosnxdx,sin mx sin nxdx

Эти интегралы легко вычисляются, если применить формулы преобразования произведений синусов и косинусов в суммы тригонометрических функций:

sin cos 21 [sin( ) sin( )],

cos cos 21 [cos( ) cos( )],

sin sin	1	[cos( ) cos( )].
	2

Пример. Вычислить интеграл						sin5x		sin3x dx.

sin5x sin3x dx			1	(cos2x cos8x )dx							1	cos2x dx
			2								2

	1	cos8x dx			1		sin 2x		1	sin8x C.
	2				4				16

4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определенный интеграл — одно из основных понятий математического анализа. К вычислению определенного интеграла сводятся многие задачи: вычисление площадей, ограниченных кривыми линиями (например, площадь круга), определение длин дуг (к примеру, длина окружности), объемов тел (пирамиды, конуса и т.д.), вычисление работы, координат центров тяжести различных фигур и т.д. и т.п.

4.1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы; основные свойства определенного интеграла

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x) (см. рис.4.1).

Рис. 4.1

Разобьем отрезок [a,b] на n частей точками х0=а, х1, х2, …, хn–1, xn=b и обозначим х1–х0= х1, х2–х1= х2, …, xn–xn–1= xn. Теперь в каждом из отрезков [x0,x1], [x1,x2], …, [xn–1,xn] произвольно выберем по одной точке: x0 1 x1, x1 2 x2, …, xn–

1 n xn, вычислим в каждой из них значение функции f( i) (i=1, …, n) и составим сумму

Sn f ( 1 ) x1 f ( 2 ) x2 ... f ( n ) xn f ( i ) xi . (4.1.1)

i 1

Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке

[a,b].

Интегральная сумма Sn зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на отрезки [xi–1,xi] и от выбора точек i [xi–1,xi]. Обозначим через ( хi)max наибольшую из длин этих отрезков и потребуем, чтобы n и ( xi)max 0. Если оказывается, что при любых разбиениях, при которых ( xi)max 0, n эта сумма стремится к некоторому пределу J, то говорят, что функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], а предел J называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b]. Обозначают этот предел так:

	b				n		i	i
J		f ( x )dx				f (	i	i
J		f ( x )dx	lim			f (		) x .
	a		n		i 1
			( x )	0	i 1
			( x )	0
			i max

(4.1.2)

Числа a и b — нижний и верхний пределы интегрирования, х — переменная интегрирования.

Теорема (без доказательства). Если f(x) — непрерывная на [a,b] функция, то она интегрируема на этом отрезке.

Если f(x)>0 при x [a,b], то можно дать наглядную геометрическую интер-

претацию для определенного интеграла f ( x )dx (см. рис. 4.2):

Рис. 4.2

Если построить график функции у=f(x), то

b f ( x )dx

— это площадь за-

штрихованной фигуры, которую называют криволинейной трапецией. Замечание 1. Переменную интегрирования можно обозначить любой бук-

вой, т.е.

a	b	b
f ( x )dx f ( t )dt
b	a	a

f ( z )dz

и т.д.

Замечание 2. При введении понятия определенного интеграла мы считали b>a. Если b<a, то примем по определению

b
	f
a

а если а=b, то будем считать,

		a
( x )dx f
		b
	a
что		f ( x )dx
что		f ( x )dx
	a

( x )dx,

0 .

Еще одно замечание. На практике определенный интеграл как предел интегральной суммы вычисляется редко (только в учебных целях). Позднее мы обсудим практически удобный метод вычисления определенных интегралов, открытый Ньютоном и Лейбницем.

Основные свойства определенного интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: если A=const, то

b	b

	A f ( x )dx A	f ( x )dx.
a	a

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

b	b	b
[ f1( x ) f2	( x )]dx f1	( x )dx f2 ( x ).
a	a	a

Это свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых. Замечание. Свойства 1 и 2 справедливы как для a<b, так и для a>b и легко

доказываются на основании определения интеграла и свойств пределов. Рекомендуется доказать эти свойства самостоятельно.

3. Если на отрезке [a,b], где a<b, функции f(x) и g(x) удовлетворяют неравенству f(x) g(x), то

b	b
f ( x )dx g( x )dx.
a	a

4. Если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на [a,b] и a<b, то

	b
m( b a )		f ( x )dx M( b a ).
	a
5. (Теорема о среднем).
Если функция f(x) непрерывна на [a,b], то на этом отрезке найдется такая
точка , что
	b
	f ( x )dx ( b a ) f ( ).
	a
6. Для любых трех чисел a, b, c справедливо равенство
b	c	b
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx,
a	a	c

если все три интеграла существуют (без доказательства).

4.2. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Теорема (без доказательства).

Если F(x) – какая-либо первообразная функции f(x), то

b	b
f ( x )dx F( x )		F( b ) F( a ).
	a
a

Эта формула носит имя двух выдающихся математиков – Ньютона и Лейбница.

Она позволяет перекинуть мостик от определенного интеграла к интегралу неопределенному, методы вычисления которого мы уже хорошо изучили.

Прежде, чем вычислить определенный интеграл, сначала необходимо найти соответствующий неопределенный интеграл, т.е. первообразную. Затем делаем двойную подстановку: сначала вместо х подставляем верхний предел, затем нижний и из первого числа вычитаем второе.

Таким образом, между неопределенным и определенным интегралами существует глубокая связь.

Примеры.

	b					b						x	2	b		k
		kxdx k					xdx k							b				2	a	2
1.																	( b				);

												2				2
	a					a						2		a		2
	a					a
	b						b
			x	dx e		x	b	e	b	e		a
2.			x			x			b			a	;
2.		e											;
	a						a
	a
	2										2
											2
3.			sin xdx cos x									cos 2 cos0 1 1 0;
3.			sin xdx cos x									cos 2 cos0 1 1 0;
	0										0
	0
	1			xdx							1
				xdx				1 x			1				2 1.
4.											2
											2
			1 x		2
					2						0
	0										0

Для вычисления определенных интегралов используются все методы вычисления неопределенного интеграла. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Вычислить интеграл

r	r		x
	r	2	x	2
		2		2
0

Прежде, чем вычислять этот интеграл, дадим геометрическую трактовку.

Подынтегральная функция

f ( x )	r	2

. График этой функции –

часть дуги окружности, соответствующая первой координатной четверти: в самом деле, y2=r2–x2, x2+y2=r2 – это уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат. График имеет вид:

Поэтому

r
	r	2	x	2	dx
	r		x		dx
0

– это площадь заштрихованной области, т.е. чет-

верти круга.
Сделаем замену: x = r sin t, 0 t		. Заметим, что предел t=0 соответствует
	2

нижнему пределу х=0 (т.к. при t=0 х=r sin t 0). Верхнему пределу, т.е. x=r соот-

ветствует предел t=							. Осталось учесть, что dx=r cos t dt и интеграл приводится к
ветствует предел t=					2
					2
виду:

				r										2
					r	2	x			2	dx						r		2	r		2	sin			2	t r cost dt
					r		x				dx						r			r			sin				t r cost dt
				0										0
																														1 cos 2t
		2																		2									2	1 cos 2t
r	2			1 sin				2	t cost dt r									2		cos			2	tdt			r	2					dt
r				1 sin					t cost dt r											cos				tdt			r				2		dt
		0																		0									0		2
		0																		0									0
																					sin											r
		r	2			sin 2t						2		r	2						sin								sin0			r	2
				t								2													0								.
		2		t				2						2								2			0					2		4	.
		2						2			0			2			2					2								2		4
Таким образом, мы доказали формулу для площади круга:
																S r					2	.
																					2
Если u и v — дифференцируемые функции от х, то
													(uv)' = u'v + v'u.
Проинтегрируем это равенство по х от а до b:
								b									b								b
								( uv )' dx u' vdx uv' dx.
								a									a								a
														b													b
Но ( uv )' dx uv C, а ( uv )' dx uv , поэтому
														a													a
														a
										uv b				b							b
										uv b			vdu								udv, или
												a		a							a
														a							a
																			39

Это формула вычисления определенного интеграла по частям.

Пример 2.

1. Вычислить ln xdx.

dv=dx; du=

Пусть u=lnx,

b udv uv

	dx	, v=x.
	x	, v=x.
	x

b

a

vdu

e	e	e	dx	e	e
ln xdx x ln x		x
			x	x ln x	x
1	1	1		1	1

е – 0 – е + 1 = 1.

elne ln1 ( e 1)

2. Вычислить

arctg x

u=arctg x, dv=dx;

du=

dx 1 x2

, v=x.

1	1	1	xdx				1
arctg x dx x arctg x						x arctg x

	0		1	x	2		0
0		0

1			1
	ln( x	2	1)
2	ln( x		1)
2			0

arctg1 0 arctg0	1	ln2	1	ln1		ln 2.
	2		2		4

5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Рассмотрим простейшие геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей и длин дуг плоских кривых в прямоугольной системе координат.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]