Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Тамбовский государственный технический университет»

В. В. АЛЕКСЕЕВ, В. Е. ДИДРИХ, Ю. В. КУЛАКОВ

ОСНОВЫ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ

ЧАСТЬ 1

Утверждено Учёным советом университета в качестве учебного пособия для студентов направлений подготовки 09.03.02, 09.04.02 «Информационные системы и технологии»,

27.04.03«Системный анализ и управление» и специальности

10.05.03«Информационная безопасность автоматизированных систем» очной и заочной форм обучения

Учебное электронное издание

Тамбов Издательский центр ФГБОУ ВО «ТГТУ»

2019

1

УДК 62(075.8) ББК Á965я73

А47

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования и информационных

технологий ФГБОУ ВО «ТГУ им. Г. Р. Державина»

А. А. Арзамасцев

Кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Системы автоматизированной поддержки

принятия решений» ФГБОУ ВО «ТГТУ»

И. Л. Коробова

Алексеев, В. В.

А47 Основы интеллектуальных автоматизированных систем [Электронный ресурс] : учебное пособие / В. В. Алексеев, В. Е. Дидрих, Ю. В. Кулаков. – Тамбов : Издательский центр ФГБОУ ВО «ТГТУ», 2019.

ISBN 978-5-8265-2139-7.

Ч. 1. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – Системные требования :

ПК не ниже класса Pentium II ; CD-ROM-дисковод ; 23,5 Mb ; RAM ; Windows 95/98/XP ; мышь. – Загл. с экрана.

ISBN 978-5-8265-2140-3.

Содержит теоретический материал по основным понятиям и определениям теории нечётких множеств, нечётким отношениям и список рекомендуемой литературы.

Предназначено для студентов направлений 09.03.02, 09.04.02 «Информационные системы и технологии», 27.04.03 «Системный анализ и управление» и специальности 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем» очной и заочной форм обучения.

УДК 62(075.8) ББК Á965я73

Все права на размножение и распространение в любой форме остаются за разработчиком. Нелегальное копирование и использование данного продукта запрещено.

ISBN 978-5-8265-2139-7 (общ.) © Федеральное государственное бюджетное ISBN 978-5-8265-2140-3 (ч. 1) образовательноеучреждение высшего образования

«Тамбовский государственный технический университет» (ФГБОУ ВО «ТГТУ»), 2019

2

ВВЕДЕНИЕ

В первой части учебного пособия представлен материал, который ориентирован на изучение вопросов, связанных с основными понятиями и определениями теории нечётких множеств, а также нечёткими отношениями.

Среди вопросов, связанных с основными понятиями и определениями теории нечётких множеств, рассматриваются понятия: нечёткого множества; расстояния между нечёткими множествами; индекса нечёткости; оценки нечёткости через энтропию и принципа обобщения.

Материал по нечётким отношениям содержит определения: нечёткого отношения; операций над нечёткими отношениями; условного нечёткого множества; нечётких множеств, последовательно обусловливающих друг друга и нечётких бинарных отношений, заданных на квадрате некоторого универсального множества.

Новизна данного учебного пособия, в сравнении с ранее изданной литературой по основам интеллектуальных автоматизированных систем [1 – 7], заключается в рассмотрении примеров практически к каждому даваемому понятию и определению.

Применение данного пособия будет способствовать формированию у обучающихся следующих компетенций по направлениям подготовки и специальностям.

По направлению подготовки 09.03.02 «Информационные системы и технологии» – способности применять математические модели, методы и средства проектирования информационных и автоматизированных систем (ОПК-8).

По направлению подготовки 09.04.02 «Информационные системы и технологии» – способности разрабатывать оригинальные алгоритмы и программные средства, в том числе с использованием современных интеллектуальных технологий, для решения профессиональных задач (ОПК-2); способности использовать методы и средства системной инженерии в области получения, передачи, хранения, переработки и представления информации посредством информационных технологий (ОПК-6).

По направлению 27.04.03 «Системный анализ и управление» – способности выбирать методы и разрабатывать алгоритмы решения задач управления сложными управляемыми объектами в различных отраслях (ПК-5).

По специальности 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем» – способности осуществлять поиск, изучение, обобщение и систематизацию научно-технической информации, нормативных и методических материалов в сфере профессиональной деятельности, в том числе на иностранном языке (ПК-1); способности обеспечить эффективное применение ин- формационно-технологических ресурсов автоматизированной системы с учётом требований информационной безопасности (ПК-24).

3

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ НЕЧЁТКИХ МНОЖЕСТВ

1.1. НЕЧЁТКОЕ МНОЖЕСТВО

Нечёткое множество – это понятие, введённое американским математиком и логиком Лотфи Заде (1921 – 2017), являющееся расширением классического понятия множества. Понятие нечёткого множества является базовым понятием нечёткой логики.

Под нечётким множеством A понимается совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов x универсального множества X и соответст-

где μA(x) – функция принадлежности, указывающая, в какой степени (мере) элемент x принадлежит нечёткому множеству A. Функция μA (x) принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве M, которое называют множеством принадлежностей. В качестве множества M часто выбирают отрезок [0, 1].

Пусть, например, универсальное множество X = {x1, x2, x3, x4}. Множество принадлежностей M = [0, 1]. Функции μA (x) и μB (x) заданы табл. 1.1.

Тогда нечёткое множество A = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 0), (x4; 1)} и нечёт-

кое множество B = {(x1; 0,3), (x2; 0), (x3; 0), (x4; 0,2)}.

Заметим, что если M = {0, 1}, т.е. состоит только из двух элементов 0 и 1, то нечёткое множество может рассматриваться как обычное чёткое множество. Например, нечёткое множество A = {(x1; 0), (x2; 1), (x3; 1), (x4; 0)} можно рассматривать как обычное чёткое множество A = {x2, x3}.

4

1.1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Носителем (суппортом) нечёткого множества A называется множество supp A ={x | x X ; μA(x) > 0}.

Например, носителями нечётких множеств A = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 0), (x4; 1)} и B = {(x1; 0,3), (x2; 0), (x3; 0), (x4; 0,2)} являются supp A = {x1, x2, x4},

B = {(x1; 0,3), (x2; 0), (x3; 0), (x4; 0,2)} равна 1 и 0,3 соответственно.

Нечёткое множество называется нормальным, если его высота равна 1, иначе нечёткое множество называется субнормальным. Например, множество A = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 0), (x4; 1)} является нормальным, а множество

B = {(x1; 0,3), (x2; 0), (x3; 0), (x4; 0,2)} – субнормальным.

Нечёткое множество пусто, если x X : μA (x) = 0. Ни одно из мно-

жеств A = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 0), (x4; 1)} и B = {(x1; 0,3), (x2; 0), (x3; 0), (x4; 0,2)} не является пустым.

Непустое субнормальное нечёткое множество A можно нормализовать по формуле

Нормализуем непустое субнормальное нечёткое множество B = {(x1; 0,3), (x2; 0), (x3; 0), (x4; 0,2)}, для чего пересчитаем степени принадлежности элементов этого множества, поделив каждую из них на высоту множества B, равную 0,3. Функции принадлежностей субнормального нечёткого множества B и нормализованного нечёткого множества B представлены табл. 1.2.

5

Непустое субнормальное нечёткое множество B = {(x1; 0,3), (x2; 0), (x3; 0), (x4; 0,2)} в нормализованном виде будет выглядеть как: B = {(x1; 1), (x2; 0), (x3; 0), (x4; 0,(6))}.

Нечёткое множество A называется унимодальным, если μA (x) = 1 только на одном x из универсального множества X. Например, нечёткое множество

A= {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 0), (x4; 1)} и нормализованное нечёткое множество

B= {(x1; 1), (x2; 0), (x3; 0), (x4; 0,(6))} являются унимодальными, а множество

C= {(x1; 0,4), (x2; 1), (x3; 0), (x4; 1)} таковым не является.

Элементы x X , для которых μA (x) = 0,5 называются точками перехода нечёткого множества A. Например, нечёткие множества A = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 0), (x4; 1)}, B = {(x1; 0,3), (x2; 0), (x3; 0), (x4; 0,2)} и C = {(x1; 0,4), (x2; 1), (x3; 0), (x4; 1)} не имеют точек перехода, а в множестве D = {(x1; 0,7), (x2; 0,5), (x3; 0), (x4; 0,5)} точками перехода являются элементы x2 и x4.

1.1.2. СРАВНЕНИЕ НЕЧЁТКИХ МНОЖЕСТВ

Пусть нечёткие множества A и B заданы на универсальном множестве X. Нечёткое множество A содержится в нечётком множестве B, если для любого элемента x из X степень его принадлежности множеству A принимает

значение меньшее либо равное, чем степень принадлежности множеству B:

ного множества X. Степень включения множества A в множество B определяется следующим образом:

где T ={x | x X ; μA (x) ≤ μB (x); μA (x) > 0}.

Например, степень включения нечёткого множества A = {(x1; 0,3), (x2; 0), (x3; 0,5), (x4; 0,2)} в нечёткое множество B = {(x1; 0,4), (x2; 0,6), (x3; 0), (x4; 1)} равна min (μB (x1); μB (x4 )) = min (0,4; 1) = 0,4 (табл. 1.5).

6

Нечёткие множества A и B называются равными, если они содержатся друг в друге:

О степени равенства нечётких множеств A и B говорят, если функции принадлежности μA(x) и μB (x) почти равны между собой. Степень равенства множеств A и B определяется следующим образом:

Например, степень равенства множеств A = {(x1; 0,3), (x2; 0), (x3; 0,7), (x4; 0,2)} и B = {(x1; 0,4), (x2; 0), (x3; 0,5), (x4; 0,25)} равна (1 – max (0,1; 0,2; 0,05) ) = = 1 – 0,2 = 0,8 (табл. 1.7).

7