2.2.5. ДОПОЛНЕНИЕ НЕЧЁТКОГО ОТНОШЕНИЯ
Дополнением нечёткого отношения R называется нечёткое отношение R ,
элементы которого характеризуются функцией принадлежности
μ |
|
(x, y) =1−μR (x, y) . |
(2.22) |
R |
Например, рассмотренное ранее нечёткое бинарное отношение «число x очень далеко от числа y» на множестве действительных чисел с характеристической функцией принадлежности (2.9), является дополнением нечёткого отношения «число x очень близко к числу y» с характеристической функцией принадлежности (2.8).
2.2.6. ДИЗЪЮНКТИВНАЯ СУММА НЕЧЁТКИХ ОТНОШЕНИЙ
Дизъюнктивной суммой нечётких отношений R1 и R2 называется нечёткое отношение R1 R2 , определяемое через операции пересечения, объединения и дополнения следующим образом:
R1 R2 = (R1 ∩ |
|
|
|
|
(2.23) |
R2 ) (R1 ∩ R2 ) . |
|||||
Например, пусть нечёткое бинарное отношение R1 на множестве действительных чисел является отношением «число |x – y| очень близко к числу α» или, другими словами, «число x удалено от числа y на величину α» и характеризуется функцией принадлежности (2.12) при α = 1, а нечёткое бинарное отношение R2 на том же множестве действительных чисел является отношением «число |x – y| очень близко к числу β» или, другими словами, «число x удалено от числа y на величину β» и характеризуется функцией принадлежности (2.13) при β = 2.
Тогда график функции принадлежности μR3 (x, y) = μR1 R2 (x, y) будет выглядеть так, как на рис. 2.9.
Рис. 2.9
47
|
2.2.7. ОБЫЧНОЕ ОТНОШЕНИЕ, |
|
||
|
БЛИЖАЙШЕЕ К НЕЧЁТКОМУ |
|
||
Обычным отношением, ближайшим к нечёткому бинарному отношению R, |
||||
называется отношение R , которое характеризуется функцией принадлежности |
||||
|
0, |
еслиμR (x, y) < 0,5; |
|
|
|
|
еслиμR (x, y) > 0,5; |
(2.24) |
|
|
μR (x, y) = 1, |
|||
|
|
|
еслиμR (x, y) = 0,5. |
|
|
0 или1, |
|
||
Традиционно значение μR (x, y) при μR (x, y) = 0,5 считают равным нулю. |
||||
Например, обычное отношение, ближайшее к нечёткому бинарному |
||||
отношению, заданному матрицей смежности (см. табл. 2.5), может быть пред- |
||||
ставлено матрицей смежности (табл. 2.13) и обычным графом, изображённым |
||||
на рис. 2.10. |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.13 |
|
y Y |
y1 |
|
y2 |
y3 |
x X |
|
|||
|
|
|
|
|
x1 |
0 |
|
1 |
1 |
x2 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
y1 |
|
|
х1 |
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
х2 |
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
Рис. 2.10 |
|
|
В другом примере обычное отношение, ближайшее к нечёткому бинар- |
||||
ному отношению с совпадающими множествами X и Y, заданному матрицей |
||||
смежности (см. |
табл. 2.6), может быть представлено матрицей |
смежности |
||
(табл. 2.14) и обычным графом, изображённым на рис. 2.11. |
|
|||
48
|
|
|
|
Таблица 2.14 |
|
x X |
x1 |
x2 |
x3 |
x X |
|
|||
|
|
|
|
|
x1 |
|
0 |
0 |
1 |
x2 |
|
0 |
0 |
1 |
x3 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
х1 |
|
х2 
х3
Рис. 2.11
2.2.8. НОРМАЛЬНОЕ И СУБНОРМАЛЬНОЕ ОТНОШЕНИЯ
Первой проекцией нечёткого бинарного отношения X R Y (проекцией на X)
называется нечёткое множество R1′, заданное на универсальном множестве X и характеризуемое функцией принадлежности
μR′ |
(x) = μR (x, y) . |
(2.25) |
1 |
y |
|
Второй проекцией нечёткого бинарного отношения X R Y (проекцией на Y)
называется нечёткое множество R2′ , заданное на универсальном множестве Y и характеризуемое функцией принадлежности
μR′ |
( y) = μR (x, y) . |
(2.26) |
2 |
x |
|
Глобальной проекцией нечёткого бинарного отношения X R Y называется величина h (R), определяемая как вторая проекция первой проекции нечёткого отношения X R Y или, что одно и то же, как первая проекция второй проекции нечёткого отношения X R Y:
h(R) = μR′ |
(x) = μR′ ( y) . |
(2.27) |
||
y |
1 |
x |
2 |
|
Нечёткое бинарное отношение X R Y называется нормальным, если его глобальная проекция h (R) равна 1. В противном случае нечёткое бинарное отношение X R Y называется субнормальным.
49
Пусть, например, некоторое нечёткое бинарное отношение X R Y характеризуется матрицей смежности, представленной табл. 2.15.
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x X |
y Y |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
|
y5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
0,1 |
0,2 |
1 |
0,3 |
|
0,9 |
x2 |
|
0,9 |
0,1 |
0,5 |
0,8 |
|
0,5 |
x3 |
|
0,4 |
0 |
0,6 |
1 |
|
0,3 |
Тогда его первая проекция R1′ = {(x1; 1), (x2; 0,9), (x3; 1)}:
μR1′ (x1) = y μR (x1, y) = max μR (x1, y) =
y
= max(μR (x1, y1); μR (x1, y2 ); μR (x1, y3); μR (x1, y4 ); μR (x1, y5)) = = max(0,1; 0,2;1; 0,3; 0,9) =1;
μR1′ (x2 ) = y μR (x2 , y) = maxμR (x2 , y) =
y
= max(μR (x2, y1); μR (x2, y2 ); μR (x2, y3); μR (x2, y4 ); μR (x2, y5)) = = max(0,9; 0,1; 0,5; 0,8; 0,5) =0,9;
μR1′ (x3) = y μR (x3, y) = max μR (x3, y) =
y
=max(μR (x3, y1); μR (x3, y2 ); μR (x3, y3); μR (x3, y4 ); μR (x3, y5)) =
=max(0,4; 0; 0,6;1; 0,3) =1;
вторая проекция R2′ = {(y1; 0,9), (y2; 0,2), (y3; 1), (y4; 1) , (y5; 0,9)}:
μR2′ ( y1) = x μR (x, y1) = max μR (x, y1) =
x
= max(μR (x1, y1); μR (x2, y1); μR (x3, y1)) = max(0,1; 0,9; 0,4) =0,9;
μR2′ ( y2 ) = x μR (x, y2 ) = maxμR (x, y2 ) =
x
= max(μR (x1, y2 ); μR (x2, y2 ); μR (x3, y2 )) = max(0,2; 0,1; 0) =0,2;
μR2′ ( y3) = x μR (x, y3) = max μR (x, y3) =
x
= max(μR (x1, y3); μR (x2, y3); μR (x3, y3)) = max(1; 0,5; 0,6) =1;
μR2′ ( y4 ) = x μR (x, y4 ) = max μR (x, y4 ) =
x
= max(μR (x1, y4 ); μR (x2, y4 ); μR (x3, y4 )) = max(0,3; 0,8;1) =1;
50
μR2′ ( y5 ) = x μR (x, y5 ) = max μR (x, y5 ) =
x
= max(μR (x1, y5); μR (x2, y5); μR (x3, y5)) = max(0,9; 0,5; 0,3) =0,9;
глобальная проекция h (R) = 1:
h(R) = y μR1′ (x) = x μR2′ ( y) = max(1; 0,9; 1) = max(0,9; 0,2;1;1; 0,9) = 1.
Следовательно, нечёткое бинарное отношение, характеризуемое табл. 2.15, является нормальным.
Пусть в другом примере некоторое нечёткое бинарное отношение X R Y характеризуется матрицей смежности, представленной табл. 2.16.
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x X |
y Y |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
|
y5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
0,1 |
0,2 |
0,7 |
0,3 |
|
0,6 |
x2 |
|
0,9 |
0,1 |
0,5 |
0,8 |
|
0,5 |
x3 |
|
0,4 |
0 |
0,6 |
0,2 |
|
0,3 |
Тогда его первая проекция R1′ = {(x1; 0,7), (x2; 0,9), (x3; 0,6)}:
μR1′ (x1) = y μR (x1, y) = max μR (x1, y) =
y
= max(μR (x1, y1); μR (x1, y2 ); μR (x1, y3); μR (x1, y4 ); μR (x1, y5)) = = max(0,1; 0,2; 0,7; 0,3; 0,6) =0,7;
μR1′ (x2 ) = y μR (x2 , y) = maxμR (x2, y) =
y
= max(μR (x2, y1); μR (x2, y2 ); μR (x2, y3); μR (x2, y4 ); μR (x2, y5)) = = max(0,9; 0,1; 0,5; 0,8; 0,5) =0,9;
μR1′ (x3) = y μR (x3, y) = max μR (x3, y) =
y
=max(μR (x3, y1); μR (x3, y2 ); μR (x3, y3); μR (x3, y4 ); μR (x3, y5)) =
=max(0,4; 0; 0,6; 0,2; 0,3) =0,6;
вторая проекция R2′ = {(y1; 0,9), (y2; 0,2), (y3; 0,7) , (y4; 0,8), (y5; 0,6)}:
μR2′ ( y1) = x μR (x, y1) = max μR (x, y1) =
x
= max(μR (x1, y1); μR (x2, y1); μR (x3, y1)) = max(0,1; 0,9; 0,4) =0,9;
μR2′ ( y2 ) = x μR (x, y2 ) = max μR (x, y2 ) =
x
= max(μR (x1, y2 ); μR (x2, y2 ); μR (x3, y2 )) = max(0,2; 0,1; 0) =0,2;
51