|
|
|
|
|
Таблица 2.43 |
|
|
|
|
|
|
x X |
y Y |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
x2 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
x3 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
2.3. УСЛОВНЫЕ НЕЧЁТКИЕ МНОЖЕСТВА
Пусть X и Y являются универсальными множествами, взаимосвязь между которыми задана нечётким отношением R: X × Y → [0, 1], т.е. для каждой упорядоченной пары (x, y) X × Y задано значение функции принадлежности
μR (x, y) [0, 1].
Пусть A является некоторым нечётким множеством, заданном на X, т.е. определена функция принадлежности μA(x) для всех x X.
Тогда заданное на Y нечёткое множество B с функцией принадлежности
μB ( y) = max min(μA(x),μR (x, y)) = |
[μA(x) μR (x, y)], |
(2.44) |
x X |
x X |
|
индуцированное нечётким множеством A посредством нечёткого отношения R, называют условным на X нечётким множеством, поскольку его функция принадлежности μB ( y) зависит от x X как от параметра.
Пусть, например, X = {x1, x2, x3}, Y = {у1, у2, у3, у4, у5}, а также заданы нечёткое отношение R с функцией принадлежности, представленной табл. 2.44,
и нечёткое множество A = {(x1; 0,3), (x2; 0,7), (x3; 1)}.
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y Y |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
|
y5 |
x X |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
0,8 |
1 |
0 |
0,3 |
|
0,7 |
x2 |
|
0,8 |
0,3 |
0,8 |
0,4 |
|
0,7 |
x3 |
|
0,2 |
0,3 |
0 |
0,2 |
|
1 |
Выполним операцию «min» для элементов нечёткого множества A и столбца y1 (см. табл. 2.44), характеризующей нечёткое отношение R:
μA(x1) μR (x1, y1)= 0,3 0,8 = 0,3,
μA(x2 ) μR (x2, y1) = 0,7 0,8 = 0,7,
μA(x3) μR (x3, y1) = 1 0,2 = 0,2.
75
В результате выполнения операции «max» над вычисленными выше значениями получим μB ( y1) :
μB ( y1) = 0,3 0,7 0,2 = 0,7.
Проделав то же самое между элементами нечёткого множества A и столбцами у2, у3, у4, у5 табл. 2.44, получим остальные значения функции принадлежности нечёткого множества B:
μB ( y2 ) = 0,3;
μB ( y3) = 0,7;
μB ( y4 ) = 0,4;
μB ( y5 ) = 1.
Таким образом, нечёткое множество A индуцировало условное нечёткое множество B = {(y1; 0,7), (y2; 0,3), (y3; 0,7), (y4; 0,4), (y5; 1)} посредством нечёт-
кого отношения R.
2.4. НЕЧЁТКИЕ МНОЖЕСТВА, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО ОБУСЛОВЛИВАЮЩИЕ ДРУГ ДРУГА
Если нечёткое множество A1 индуцирует нечёткое множество A2 посредством нечёткого отношения R1, нечёткое множество A2 индуцирует нечёткое множество A3 посредством нечёткого отношения R2, и т.д., нечёткое множество An – 1 индуцирует нечёткое множество An посредством нечёткого отношения Rn – 1, то нечёткие множества A1, A2, A3, …, An последовательно обусловливают друг друга, или множество A1 индуцирует множество An посредством компози-
ции Rn–1 oRn–2 o…o R1.
Пусть, например, n = 3, X = {x1, x2}, Y = {y1, y2, y3}, Z = {z1, z2, z3} задано на X нечёткое множество A1 = {(x1; 0,8), (x2; 0,3)}, а также заданы нечёткие отношения R1: X × Y → [0, 1] и R2: Y × Z → [0, 1], имеющие функции принадлежности, представленные табл. 2.45 и 2.46 соответственно.
|
|
|
|
Таблица 2.45 |
|
y Y |
y1 |
y2 |
y3 |
x X |
|
|||
|
|
|
|
|
x1 |
|
0,3 |
1 |
0 |
x2 |
|
0,8 |
0 |
0,7 |
76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.46 |
|
z Z |
z1 |
z2 |
z3 |
y Y |
|
|||
|
|
|
|
|
y1 |
|
0,7 |
0,4 |
1 |
y2 |
|
0,2 |
0 |
0,8 |
y3 |
|
0 |
0,3 |
0,9 |
Тогда, с одной стороны, нечёткое множество A1 = {(x1; 0,8), (x2; 0,3)} посредством нечёткого отношения R1 индуцирует нечёткое множество A2 = {(y1; 0,3), (y2; 0,8), (y3; 0,3)}, которое в свою очередь посредством нечёткого отношения R2 индуцирует нечёткое множество A3 = {(z1; 0,3), (z2; 0,3), (z3; 0,8)}.
С другой стороны, нечёткое множество A1 = {(x1; 0,8), (x2; 0,3)} посредством композиции отношений R2 oR1, имеющей функцию принадлежности, представленную табл. 2.47, индуцирует такое же нечёткое множество A3 = {(z1; 0,3), (z2; 0,3), (z3; 0,8)}.
Таблица 2.47
x X |
z Z |
z1 |
z2 |
z3 |
|
||||
|
|
|
|
|
x1 |
|
0,3 |
0,3 |
0,8 |
x2 |
|
0,7 |
0,4 |
0,8 |
2.5. НЕЧЁТКИЕ БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ ВИДА X R X
Рассмотрим случай бинарного нечёткого отношения X R Y, когда множества X и Y совпадают и равны X. Примером такого нечёткого отношения X R X может случить рассмотренное ранее отношение, заданное матрицей смежности (см. табл. 2.6) и нечётким графом (см. рис. 2.2). Нечёткое бинарное отношение вида X R X может быть использовано для исследования свойств нечётких бинарных отношений в X × X, таких как, например, рефлексивность, симметричность и транзитивность. Нечёткие бинарные отношения могут обладать определённым набором свойств. Таковыми являются, например, нечёткие отношения предпорядка, подобия, порядка, различия, сходства и др.
Заметим, что нечёткие бинарные отношения вида X R X заслуживают отдельного подробного рассмотрения.
77
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Первая часть учебного пособия по основам интеллектуальных автоматизированных систем посвящена изучению вопросов, связанных с основными понятиями и определениями теории нечётких множеств, а также нечётким отношениям.
Надеемся, что изучение подробных примеров практически к каждому даваемому определению и понятию позволит студентам досконально разобраться с учебным материалом пособия и подготовиться к применению полученных знаний в профессиональной деятельности при решении различных прикладных задач.
Авторы планируют подготовку и издание других частей данного пособия, посвящённых нечётким бинарным отношениям вида X R X, нечётким и лингвистическим переменным, нечётким высказываниям, нечётким моделям систем, алгоритмам нечёткого вывода, нечётким реляционным моделям, системам нечётких моделей, области применения нечётких моделей, способам представления и обработки знаний в интеллектуальных системах и другим вопросам создания интеллектуальных автоматизированных систем.
78