μR2′ ( y3) = x μR (x, y3) = max μR (x, y3) =

x

= max(μR (x1, y3); μR (x2, y3); μR (x3, y3)) = max(0,7; 0,5; 0,6) =0,7;

μR2′ ( y4 ) = x μR (x, y4 ) = max μR (x, y4 ) =

x

= max(μR (x1, y4 ); μR (x2, y4 ); μR (x3, y4 )) = max(0,3; 0,8; 0,2) =0,8;

μR2′ ( y5 ) = x μR (x, y5 ) = max μR (x, y5 ) =

x

= max(μR (x1, y5); μR (x2, y5); μR (x3, y5)) = max(0,6; 0,5; 0,3) =0,6;

глобальная проекция h (R) = 1:

h(R) = y μR1′ (x) = x μR2′ ( y) = max(0,7; 0,9; 0,6) = max(0,9; 0,2; 0,7; 0,8; 0,6) = 0,9.

Следовательно, нечёткое бинарное отношение, характеризуемое табл. 2.16, является субнормальным.

2.2.9. СЕПАРАБЕЛЬНОЕ ОТНОШЕНИЕ

Цилиндрическим продолжением первой проекции нечёткого бинарного

при любом y Y.

Например, для нечёткого бинарного отношения X R Y (см. табл. 2.15) цилиндрическим продолжением его первой проекции R1′ = {(x1; 1), (x2; 0,9), (x3; 1)}

является нечёткое отношение ˆ′, заданное на универсальном множестве X × Y =

R1

= {(x1; y1), (x1; y2), (x1; y3), (x1; y4), (x1; y5), (x2; y1), (x2; y2), (x2; y3), (x2; y4), (x2; y5), (x3; y1), (x3; y2), (x3; y3), (x3; y4), (x3; y5)} и характеризуемое функцией принадлеж-

52

Цилиндрическим продолжением второй проекции нечёткого бинарного

при любом x X.

Например, для нечёткого бинарного отношения X R Y (см. табл. 2.15) цилиндрическим продолжением его второй проекции R2′ = {(y1; 0,9), (y2; 0,2),

(y3; 1), (y4; 1), (y5; 0,9)} является нечёткое отношение ˆ2′ , заданное на универ-

R

сальном множестве X × Y = {(x1; y1), (x1; y2), (x1; y3), (x1; y4), (x1; y5), (x2; y1), (x2; y2), (x2; y3), (x2; y4), (x2; y5), (x3; y1), (x3; y2), (x3; y3), (x3; y4), (x3; y5)} и харак-

Нечёткое бинарное отношение X R Y называется сепарабельным, если оно является пересечением цилиндрических продолжений своих проекций

т.е. характеризуется функцией принадлежности

Вычислим элементы пересечения цилиндрических проекций (см. табл. 2.17, 2.18) нечёткого бинарного отношения X R Y, заданного табл. 2.15:

53

и результаты вычислений сведём в табл. 2.19.

и табл. 2.19, представляющая пересечение цилиндрических продолжений его

≠ ˆ′ ∩ ˆ′

проекций, не совпадают, следовательно R R1 R2 , т.е. нечёткое бинарное отношение, определяемое табл. 2.15, не является сепарабельным.

Заметим, что нечёткое бинарное отношение X R Y является сепарабельным, если оно является декартовым произведением своих проекций:

которое определяется функцией принадлежности

54

μR1′×R2′ (x1, y1) =μR1′ (x1) μR2′ ( y1) = min(μR1′ (x1), μR2′ ( y1)) = min(1; 0,9) = 0,9 ;

μR1′×R2′ (x1, y2 ) = μR1′ (x1) μR2′ ( y2 ) = min(μR1′ (x1), μR2′ ( y2 )) = min(1; 0,2) = 0,2 ;

μR1′×R2′ (x1, y3) = μR1′ (x1) μR2′ ( y3) = min(μR1′ (x1), μR2′ ( y3)) = min(1;1) =1;

μR1′×R2′ (x1, y4 ) = μR1′ (x1) μR2′ ( y4 ) = min(μR1′ (x1), μR2′ ( y4 )) = min(1;1) =1;

μR1′×R2′ (x1, y5 ) = μR1′ (x1) μR2′ ( y5 ) = min(μR1′ (x1), μR2′ ( y5 )) = min(1; 0,9) = 0,9 ;

μR1′×R2′ (x2, y1) = μR1′ (x2 ) μR2′ ( y1) = min(μR1′ (x2 ), μR2′ ( y1)) = min(0,9; 0,9) = 0,9 ;

μR1′×R2′ (x2, y2 ) = μR1′ (x2 ) μR2′ ( y2 ) = min(μR1′ (x2 ), μR2′ ( y2 )) = min(0,9; 0,2) = 0,2 ;

μR1′×R2′ (x2, y3) =μR1′ (x2 ) μR2′ ( y3) = min(μR1′ (x2 ), μR2′ ( y3)) = min(0,9;1) = 0,9 ;

μR1′×R2′ (x2, y4 ) =μR1′ (x2 ) μR2′ ( y4 ) = min(μR1′ (x2 ), μR2′ ( y4 )) = min(0,9;1) = 0,9 ;

μR1′×R2′ (x2, y5) =μR1′ (x2 ) μR2′ ( y5) = min(μR1′ (x2 ), μR2′ ( y5 )) = min(0,9; 0,9) = 0,9 ;

μR1′×R2′ (x3, y1) =μR1′ (x3) μR2′ ( y1) = min(μR1′ (x3), μR2′ ( y1)) = min(1; 0,9) = 0,9 ;

μR1′×R2′ (x3, y2 ) = μR1′ (x3) μR2′ ( y2 ) = min(μR1′ (x3), μR2′ ( y2 )) = min(1; 0,2) = 0,2 ;

μR1′×R2′ (x3, y3) = μR1′ (x3) μR2′ ( y3) = min(μR1′ (x3), μR2′ ( y3)) = min(1;1) =1;

μR1′×R2′ (x3, y4 ) = μR1′ (x3) μR2′ ( y4 ) = min(μR1′ (x3), μR2′ ( y4 )) = min(1;1) =1;

μR1′×R2′ (x3, y5 ) = μR1′ (x3) μR2′ ( y5 ) = min(μR1′ (x3), μR2′ ( y5 )) = min(1; 0,9) = 0,9.

Результаты вычислений сведём в табл. 2.20.

55

Пусть теперь некоторое нечёткое бинарное отношение X R Y характеризуется матрицей смежности, представленной табл. 2.20. Тогда его первая про-

екция R1′ = {(x1; 1), (x2; 0,9), (x3; 1)}, вторая проекция R2′ = {(y1; 0,9), (y2; 0,2), (y3; 1), (y4; 1) , (y5; 0,9)}, цилиндрическое продолжение его первой проекции представлено табл. 2.21 и цилиндрическое продолжение его второй проекции – табл. 2.22.

Вычислим элементы пересечения цилиндрических проекций (см. табл. 2.21, 2.22) и результаты вычислений сведём в табл. 2.23.

Таблица 2.20, характеризующая нечёткое бинарное отношение X R Y, и табл. 2.23, представляющая пересечение цилиндрических продолжений его

шение, определяемое табл. 2.20, является сепарабельным.

56