Как мы определили выше в (1.38), линейный индекс нечёткости нечёткого множества A, использующий операцию дополнения нечёткого множества, имеет вид

Из последнего представления становится очевидным свойство симметричности по отношению к 0,5 линейного индекса нечёткости нечёткого множества A:

1.3.6. ВЕКТОРНЫЙ ИНДИКАТОР НЕЧЁТКОСТИ

Заметим, что нечёткое множество с функцией принадлежности 2μA∩A(x)

иногда называют векторным индикатором нечёткости.

Например, при заданном нечётком множестве A = {(x1; 0,5), (x2; 0,8), (x3; 0), (x4; 1)} векторным индикатором нечёткости является нечёткое множест-

во {(x1; 1), (x2; 0,4), (x3; 0), (x4; 0)} (табл. 1.33).

25

1.4. ОЦЕНКА НЕЧЁТКОСТИ ЧЕРЕЗ ЭНТРОПИЮ

Известно, что энтропия системы определяет степень неопределённости состояния этой системы.

1.4.1. ПОНЯТИЕ ЭНТРОПИИ

Рассмотрим n состояний системы, наступление которых определяют вероятности p1, p2, …, pn. Тогда энтропия системы определяется выражением

n

H ( p1, p2 , ..., pn ) = −∑pi log pi . (1.44)

i=1

Максимальное значение энтропия H принимает, когда p1 = p2 = … = pn = 1/n.

Пусть, например, n = 4. Тогда p1 = 1/4, p2 = 1/4, p3 = 1/4, p4 = 1/4 и энтро-

пия H при основании логарифма, равного, например 2, принимает значение 2:

4

H ( p1, p2 , p3, p4 ) = −∑pi log2 pi =

i=1

= −( p1 log2 p1 + p2 log2 p2 + p3 log2 p3 + p4 log2 p4 ) = = − 14 log2 14 + 14 log2 14 + 14 log2 14 + 14 log2 14 =

=− 14 (−2) + 14 (−2) + 14 (−2) + 14 (−2) =

=− − 12 − 12 − 12 − 12 = −(−2) = 2.

При неравных значениях вероятностей p1, p2, …, pn значение энтропии H всегда меньше максимального.

Пусть, например, при n = 4 вероятности p1, p2, p3 и p4 равны соответственно 1/2, 1/16, 5/16, p4 = 1/8. Тогда энтропия H при таком же значении основания логарифма, равного 2, принимает значение 1,649:

26

4

H ( p1, p2 , p3, p4 ) = −∑pi log2 pi =

i=1

= −( p1 log2 p1 + p2 log2 p2 + p3 log2 p3 + p4 log2 p4 ) = = − 12 log2 12 +161 log2 161 +165 log2 165 + 18 log2 18 =

= – (–1,649) = 1,649.

Минимальное значение, равное нулю, энтропия H принимает, когда pr = 1, r {1, 2, …, N} и pi = 0, i ≠ r.

Пусть, например, N = 4 и r = 2. Тогда p1 = 0, p2 = 1, p3 = 0, p4 = 0, и энтропия H принимает значение 0:

4

H ( p1, p2 , p3, p4 ) = −∑pi log2 pi =

i=1

= −( p1 log2 p1 + p2 log2 p2 + p3 log2 p3 + p4 log2 p4 ) =

=−(0 log2 0 +1 log2 1+0 log2 0 +0 log2 0) =

−(0 (−∞) +1 0 +0 (−∞) +0 (−∞)) = −(0 +0 +0 +0) = 0.

Заметим, что возникающая при этих вычислениях неопределённость 0 (−∞) раскрывается по правилу Бернулли–Лопиталя, являющемуся методом нахождения пределов функций, следующим образом:

27

Для n = 4 и неравных вероятностей p1 = 1/2, p2 = 1/16, p3= 5/16, и p4 = 1/8 энтропия системы примет значение между 0 и 1, а именно, 0,8245:

1.4.2. ЭНТРОПИЯ ПО НЕЧЁТКОСТИ

Если в формуле для энтропии системы (1.44) в качестве вероятности pi положим некоторый eё аналог, а именно величину

то получим общую формулу, позволяющую подсчитать энтропию по нечёткости нечёткого множества A:

28

Оценим нечёткость нечёткого множества A = {(x1; 0,4), (x2; 0,8), (x3; 0), (x4; 1)} через энтропию H при основании логарифма, равного, например 2:

=− 12 (πA(x1)log2 πA(x1) + πA(x2 )log2 πA(x2 ) + πA(x3)log2 πA(x3) +

+πA(x4 )log2 πA(x4 )) = − 12 (0,181818log2 0,181818 +

+0,363636log2 0,363636 + 0log2 0 + 0,454545log2 0,454545) =

29