Основы интегрального исчисления. Курс лекций

5.1.Вычисление площади плоской фигуры

1)Если на отрезке х [a;b] задана непрерывная функция y=f(x) 0, то площадь заштрихованной фигуры (криволинейной трапеции) вычисляется так (см.

рис. 5.1):

Рис. 5.1.

2) Если на отрезке [a;b] функция f(x) конечное число раз меняет знак, то

(см. рис. 5.2):

Рис. 5.2.

3) Если фигура ограничена сверху и снизу непрерывными функциями y=f(x) и y= (x) и f x x , то (см. рис. 5.3):

b

S [ f ( x ) ( x )]dx.

a

Рис. 5.3.

41

Примеры.

1. Вычислить площадь S, ограниченную синусоидой y=sin x и осью Ох при

0 x 2 (рис. 5.4).

Рис. 5.4.

Т.к. sin x 0 при x [0; ] и sin x 0 при x [ ;2 ], то

Рис. 5.5

42

Найдем сначала абсциссы точек пересечения этих кривых:

Далее необходимо понять, что нижняя граница нашей фигуры – это ось Ох (ее уравнение у=0). А вот верхняя часть фигуры ограничена различными графиками при x [0;1] и x [1;3]. В первом случае – это график функции у=х, во

втором – y x12 . Поэтому наиболее естественно считать, что фигура состоит

43

из двух криволинейных трапеций, прилегающих друг к другу и площадь вычислять так:

5.2. Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть на отрезке х [a;b] задана функция у=f(x). Нас интересует длина дуги кривой, заключенной между вертикальными прямыми х=а и х=b (рис. 5.7).

Рис. 5.7.

Чтобы вычислить длину этой дуги, поступим следующим образом. Возьмем на дуге АВ точки А, М1, М2, …, Мi, …, В с абсциссами х0=а, х1, x2, …, xi, …, xn=b и проведем хорды АМ1, М1М2, …, Мn–1В, длины которых обозначим черезL1, L2, …, Ln. Тогда получим ломаную АМ1М2…Мn–1В, вписанную в дугу

44

Предел существует, если при х [a;b] функция f(x) и ее производная f '(x)

непрерывны.

Полученная формула (**) и есть формула для вычисления длины дуги в прямоугольной системе координат.

Пример.

Определить длину окружности х2+у2=R2.

Вычислим длину четвертой части окружности, лежащей в первом квадранте. Уравнение этой дуги:

45