Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография
.pdf
Монографии НГТУ
Серия основана в 2004 году
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ СЕРИИ «МОНОГРАФИИ НГТУ»
д-р техн. наук, проф. (председатель) А.А. Батаев д-р техн. наук, проф. (зам. председателя) А.Г. Вострецов д-р техн. наук, проф. (отв. секретарь) В.Н. Васюков
д-р техн. наук, проф. А.А. Воевода д-р техн. наук, проф. В.И. Денисов
д-р физ.-мат. наук, проф. А.К. Дмитриев д-р физ.-мат. наук, проф. В.Г. Дубровский д-р филос. наук, проф. В.И. Игнатьев д-р филос. наук, проф. В.В. Крюков д-р соц. наук, проф. Л.А. Осьмук д-р техн. наук, проф. Н.В. Пустовой д-р техн. наук, проф. Г.И. Расторгуев
д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Селезнев д-р техн. наук, проф. Ю.Г. Соловейчик д-р техн. наук, проф. А.А. Спектор д-р техн. наук, проф. А.Г. Фишов д-р экон. наук, проф. М.В. Хайруллина д-р техн. наук, проф. В.А. Хрусталев д-р техн. наук, проф. А.Ф. Шевченко
К. Н. ПОНОМАРЕВ
КОЛЬЦА С ОДНОЗНАЧНЫМ
СЛОЖЕНИЕМ И ЖЕСТКИЕ АЛГЕБРЫ
НОВОСИБИРСК
2 0 1 6
УДК 512.55
П 563
Рецензенты:
академик Российской академии наук Ю.Л. Ершов, д-р физ.-мат. наук, профессор Е.И. Тимошенко, д-р физ.-мат. наук, профессор В.А. Селезнев
Пономарев К.Н.
П 563 Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры : монография / К.Н. Пономарев. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2016. – 203 с. (Серия "Монографии НГТУ").
ISBN 978-5-7782-2968-6
В монографии приводятся результаты авторских исследований свойств жесткости конечномерных алгебр.
Монография может быть использована студентами старших курсов и аспирантами университетов различной направленности.
|
УДК 512.55 |
ISBN 978-5-7782-2968-6 |
© Пономарев К.Н., 2016 |
|
© Новосибирский государственный |
|
технический университет, 2016 |
K. N. PONOMAREV
UNIQUE ADDITION RINGS AND RIGID ALGEBRAS
NOVOSIBIRSK
2 0 1 6
ÓÄÊ 512.55 Ï 563
Reviewers:
Academician of Russian academy of Sciences Yury L. Ershov Professor E.I. Timoshenko
Professor V.A.Seleznev
Ponomarev K.N.
Ï 563 Unique Addition rings and rigid algebras : monograph / K.N. Ponomarev.
- Novosibirsk: NSTU Publisher, 2016. - 203 pp. ("NSTU Monographs"series)
ISBN 978-5-7782-2968-6
Exposition of investigations in the theory of rigid algebras is presented.
The book can be used by postgraduates.
ISBN 978-5-7782-2968-6 |
ÓÄÊ 512.55 |
°c K.N.Ponomarev, 2016
°c Novosibirsk State Technical
University, 2016
Выражаю искреннюю признательность своей семье за всемерную поддержку
Предисловие
Общая задача любого научного исследования состоит в определении всех свойств изучаемого объекта исходя из некоторых известных свойств. Жесткость объекта понимаем как возможность по этой известной части однозначно восстановить все остальные свойства. В этой монографии изучаем жесткость некоторых классов колец.
Элементы кольца допускают операции сложения и произведения. Понятие жесткого ассоциативного кольца берет начало в исследованиях середины прошлого века, связанных с изучением класса ассоциативных колец, в которых операция сложения восстанавливается исходя из определения произведения. Такие кольца будем называть жесткими кольцами.
Проявлением жесткости служит свойство изоморфной жесткости: кольцо R называется изоморфно жест-
ким кольцом, если для любого кольца S любой изо-
морфизм мультипликативных полугрупп этих колец R¤ ! S¤ определяется некоторым изоморфизмом са-
мих колец R ! S:
Изоморфно жесткие ассоциативные кольца активно изучались в начале второй половины прошлого века К. Риккартом, Р. Джонсоном, А.В. Михалевым и другими авторами. После работы: R.E.Johnson. Rings
9
10
with unique addition. Proc. Amer. Math. Soc. 9(1958), 55-61, изоморфно жесткие кольца стало принято называть UA-кольцами от английского наименования:
Unique Addition ring.
В этом круге вопросов важное значение имела работа В. Стефенсона: W.Stephenson. Unique addition rings. Can. J. Math. 21(1969), 1455-1461. Эта статья подвела итоги многих исследований в этой области. В ней была доказана теорема о том, что для любого унитарного ассоциативного кольца R и натурального
числа n 2 N; n > 2; кольцо матриц Mn(R) образует UA-кольцо. Будем ссылаться на этот результат как на
теорему Стефенсона.
Эти исследования определимости сложения в классе ассоциативных колец были продолжены на рубеже XX XXI века в работах И.В. Аржанцева. В его статьях изучалась возможность определимости сложения в классе колец Ли.
Обратим внимание, что в этих исследованиях использовалось более широкое понятие: кольцо Ли R íà-
зывалось UA-кольцом Ли, если оно было автоморф-
но жестким. Это означает, что любой автоморфизм мультипликативного группоида R¤ ! R¤ индуцирует-
ся некоторым автоморфизмом исходного кольца R !
R: Было доказано следствие о том, что любая пара-
болическая подалгебра полупростой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики образует UA-кольцо Ли в указанном смысле,
это автоморфно жесткое кольцо Ли. Будем упоминать это следствие как теорему Аржанцева.