Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография

92 Глава III. Определимость сложения в алгебрах Ли

В первых трех параграфах излагаем результаты И.В. Аржанцева и под жестким кольцом Ли понимаем кольцо Ли в смысле определения 0.1.

И.В. Аржанцев ввел такое понятие, уточняющее определение 0.1.

0.3. Определение. Алгебру Ли L над полем K

назовем UA-алгеброй, или автоморфно жесткой алгеброй Ли, если любая биекция ' : L ! L; для которой при любых u; v 2 L выполнено тождество

'([u; v]) = ['(u); '(v)];

является полулинейным автоморфизмом этой K-алгебры. Иными словами, как кольцо L является UA-кольцом,

и, кроме того, биекция ' из определения является по-

лулинейным отображением алгебры как векторного пространства: найдется автоморфизм поля ® : K !

K; для которого при любых k 2 K; v 2 L выполняет-

Далее И.В. Аржанцевым была поставлена

0.4. Проблема (Аржанцев). Верно ли, что любая полупростая алгебра Ли является UA-алгеброй?

В основной части этой главы, следующей за Ÿ 3, используем теорему Аржанцева и решаем эту проблему для алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями нулевой характеристики. Поэтому далее, начиная с Ÿ 4, под жесткой алгеброй Ли понимаем автоморфно жесткую алгебру Ли в смысле определения 0.3.

93

Доказываем такое общее утверждение:

0.5. Теорема. Пусть R является параболической подалгеброй полупростой алгебры Ли L над алгебра-

ически замкнутым полем нулевой характеристики

K.

Утверждается, что алгебра R является UA-àë-

геброй Ли тогда и только тогда, когда сама полупростая алгебра Ли L оказывается простой.

Из этого результата в силу структурной теории полупростых алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики следует

0.6. Следствие. Полупростая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики является UA-алгеброй Ли только и только, если

она является простой алгеброй Ли.

Доказательство теоремы 0.5 вытекает из результата автора об автоморфизмах регулярных подалгебр редуктивных алгебр Ли как колец. Приведем этот результат и необходимые для его формулировки определения.

0.7. Определение. Рассмотрим редуктивную алгебру Ли L и ее подалгебру R: Подалгебра R íàçû-

вается регулярной1, если в алгебре L найдется такая подалгебра Картана C, относительно присоединенного действия которой R инвариантна, [C; R] µ R.

1В статьях автора и монографии ЖАНК такие подалгебры назывались инвариантными.

94 Глава III. Определимость сложения в алгебрах Ли

0.8. Замечание. Заметим, что параболические подалгебры редуктивной алгебры R являются очевид-

ным примером регулярных подалгебр, они инвариантны относительно присоединенного действия содержащихся в них подалгебр Картана.

0.9. Определение. Автоморфизм ' алгебры R êàê

кольца называется специальным автоморфизмом, если он тождествен по модулю центра алгебры, т.е. при любом r 2 R имеем [('(r)¡r); R] = 0: Композиция по-

лулинейного автоморфизма Ã алгебры R с некоторым

специальным автоморфизмом µ : ' = µ ±Ã называется

стандартным автоморфизмом.

0.10. Замечание. Отметим, что если алгебра Ли R имеет тривиальный центр, Z(R) = 0; то ее специаль-

ные автоморфизмы тождественные, а стандартные автоморфизмы это в точности полулинейные автоморфизмы.

Будет использовано следующее утверждение автора о регулярных подалгебрах алгебр Ли (см. следствие 4.8.5 из монографии ЖАНК).

0.11. Утверждение. Пусть U регулярная нераз-

ложимая подалгебра расщепимой редуктивной алгебры Ли над полем нулевой характеристики.

Тогда любой автоморфизм этой алгебры как кольца является стандартным.

В этой главе вначале в параграфах с первого по третий воспроизведем доказательство теоремы Аржанцева. В четвертом параграфе установим предложение

4.1 о том, что жесткая неассоциативная алгебра является прямо неразложимой. А в пятом параграфе установим предложение 5.1 о том, что параболическая подалгебра полупростой алгебры Ли является прямо неразложимой тогда и только тогда, когда это подалгебра простой алгебры Ли. В последнем шестом параграфе выводим утверждение теоремы 0.5.

Ÿ 1. Отделимость централизаторов

Будем рассматривать алгебру R над бесконечным

полем нулевой характеристики K: Через Á : R ! R

обозначаем автоморфизм ее мультипликативного группоида. Это означает, что при любых a; b 2 R выпол-

няется соотношение:

Á([a; b]) = [Á(a); Á(b)]:

Определим условия аддитивности этого отображения, для которых при любых a; b 2 R также выполня-

ется тождество аддитивности:

Á(a + b) = Á(a) + Á(b):

Для обеспечения аддитивности используются свойства централизаторов элементов алгебр Ли.

1.1. Определение. Централизатором элемента a

алгебры Ли R называется подпространство линейного пространства алгебры, образованное элементами

Z(a) = fx 2 Rj [x; a] = 0:

åñëè îíà Z-отделима, то она образует автоморфно жесткое кольцо, т.е. это UA-кольцо Ли.

А далее установим свойство Z-отделимости в пара-

болических подалгебрах полупростых алгебр Ли. Это обеспечит доказательство теоремы 0.2.

1. Аддитивность для отделимых элементов

Доказательство предложения использует два утверждения. Следующая лемма поясняет важность условия Z-отделимости для аддитивности автоморфизма

мультипликативного группоида кольца Ли.

1.5. Лемма (первая лемма Аржанцева). В условиях предложения 1.4 рассмотрим автоморфизм мультипликативного группоида Á : R ! R: Утвержда-

ется, что для любых элементов a; b 2 R выполняется включение:

Á(a + b) ¡ Á(a) ¡ Á(b) 2 Á(Z(a) \ Z(b)):

В частности, если Z(a) \Z(b) = 0; то отображение Á аддитивно на a è b:

В самом деле, выводим тождество:

[Á(a); Á(a+b)¡Á(a)¡Á(b)] = Á([a; a+b])¡Á([a; b]) = 0:

По симметрии также [Á(b); Á(a + b) ¡ Á(a) ¡ Á(b)] = 0: Поэтому

Á(a + b) ¡ Á(a) ¡ Á(b) 2 Z(Á(a)) \ Z(Á(b)):

По замечанию 1.2: Z(Á(a)) \ Z(Á(b)) = Á(Z(a)) \ Á(Z(b)): Однако в силу биективности Á это равенство

продолжается: Á(Z(a)) \ Á(Z(b)) = Á(Z(a) \ Z(b)):

100 Глава III. Определимость сложения в алгебрах Ли

1.11. Лемма (вторая лемма Аржанцева). Выберем

Z-отделимую алгебру Ли R над бесконечным полем

определения.

Утверждается, что для любого элемента a 2 C(R)

åãî Z-окрестность U(a) образует открытое по За-

рисскому множество в линейном пространстве алгебры R. В частности, сама компонента C(R) òàê-

же образует открытое по Зарисскому плотное множество.

В самом деле, в условиях леммы рассмотрим линейное отображение пространства алгебры: 'y : R !

R © R; определенное для любого x 2 R по формуле:

'y(x) = [x; a] © [x; y]:

Ïðè y = b 2 U(a) ранг этого линейного отображения максимален и равен размерности алгебры.

Если в базисе пространства алгебры L представить

линейное отображение 'y матрицей, то ранг этого отображения совпадает с рангом этой матрицы, он определяется некоторым ее базисным минором. В силу максимальности ранга отображения 'y ïðè y = b свойство

быть базисным минором сохраняется для всех y из некоторой окрестности Зарисского точки y = b: Зна- чит, в самом деле, множество U(a) открытое.

Заключение следует из замечания 1.10 и свойства нетеровости топологии Зарисского. Плотность следует из условия отделимости. Лемма доказана.