Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография

ядро которого образовано классами вычетов dZ=mZ.

Этот эпиморфизм определяет эпиморфизм групп обратимых элементов колец (Z=mZ)¤ ! (Z=dZ)¤. Ïî-

этому группа (Z=dZ)¤ также циклическая и порождается образом образующего элемента группы (Z=mZ)¤.

Значит, то же самое число q определяет порождающий элемент группы (Z=dZ)¤ в факторе Z=dZ.

ма доказана.

4.6. Лемма. Рассмотрим конечное поле K и циклическую группу G взаимно простых порядков, выполняется (jKj; jGj) = 1: Обозначим m = jGj; пусть jKj = ps: Предположим, что ps первообразный ко- рень по модулю m.

Утверждается, что над полем K все круговые по-

линомы ©d(X), djm, являются неприводимыми. Групповая алгебра KG представляется прямой суммой

различных круговых полей Kd над полем K для различных делителей d числа m :

KG = K[X]=(Xm ¡ 1) = K1 +: : : : +: : : : +: Km:

В самом деле, из леммы 4.1 и 4.5 следует, что над полем K все круговые полиномы ©d(X), djm, являются неприводимыми. Они взаимно просты, и по лемме 3.3 групповое кольцо разлагается в прямую сумму различных круговых полей:

142 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

в которой числа d пробегают различные делители чис-

ëà m, à ïîëå Kd обозначает круговое поле поле разложения кругового полинома ©d(X).

В дополнение заметим, что K = K1 и круговые поля в указанном разложении образуют решетку всех промежуточных полей расширения Km=K. Основное

ïîëå K вложено в эту сумму диагональным образом. Для любого делителя djm определена естественная

проекция ¼d : KG ! Kd ìîå Kd.

Продолжим изучение жесткой групповой алгебры KG: По замечанию 2.2 в силу жесткости автоморфиз-

мы группового кольца RG переводят элементы поля

K в элементы поля K. Если выбрать набор произвольных автоморфизмов полей

®1 : K1 ! K1; : : : ; ®d : Kd ! Kd; : : : ; ®m : Km ! Km;

то составной автоморфизм группового кольца ® =

®1£: : :£®m должен переводить диагональные элементы из поля K в диагональные элементы этого же поля.

Поэтому ограничение действия любого автоморфизма поля Kd (расширения поля K) íà ïîëå K определяет

один и тот же автоморфизм поля K, который должен быть тождественным.

Åñëè d = m 6= 1, òî Km 6= K и все автоморфизмы поля Km должны быть неподвижными на поле K.

Значит, либо m = 1, группа тривиальна и G = e, ëèáî ïîëå K является простым.

В первом случае выполняется одно из условий теоремы. Поэтому далее будем считать, что поле K

простое, K = Fp, и докажем, что группа G

простая, т. е. ее порядок m = q простое число.

Из формулы (1) вытекает строение группы обратимых элементов. Имеем разложение в прямое произведение:

в котором каждая группа Kd¤ мультипликативная группа конечного поля является циклической. Также эти группы образуют решетку мультипликативных групп промежуточных полей расширения Km=K.

По построению циклическая группа G порождает групповую алгебру KG над полем K, поэтому она

вкладывается в это произведение следующим образом.

Пусть g образующая группы G. Тогда образ (про-

екция вложения) этого элемента ¼d(g) в круговом поле Kd; djm, составляет некоторый первообразный корень ³d степени d.

Произвольный элемент группы h 2 G представ-

ляется степенью h = gn, а его проекцией в поле Kd

служит элемент ³dn. Таким образом, проекции элемента группы G в любом круговом поле Kd, djm, вполне

144 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

определяются по его значению в максимальном круговом поле Km. Они составляют нити обратного предела

групп G = Cm = lim Cd.

á¡ djm

Групповое кольцо KG = FpG является жестким, и по замечанию автоморфизмы этого кольца должны переводить элементы группы G в элементы этой же

группы. Покажем, что последнее выполняется только в случае, когда число m является простым, ò. å. â

разложениях (1) и (2) имеется только два слагаемых, при этом m 6= 2.

Предположим, что число m составное. Пусть djm,

d 6= 1, d 6= m. Тогда круговое поле Kd не является про- стым, оно имеет нетривиальный автоморфизм ®d 6= id.

В силу жесткости автоморфизмы алгебры KG

стандартные, по замечанию 2.2 они оставляют на месте группу G. В частности, составной автоморфизм

® = idK1 £: : : £®d £: : : £idKm тоже оставляет группу

Gинвариантной.

Ñдругой стороны, ®(³m) = idKm(³m) = ³m, ïî- этому автоморфизм ®d неподвижен на первообразном

корне ³d è íà âñåì ïîëå Kd, это противоречит условию ®d 6= id. Таким образом, m = q простое число.

Докажем, что q 6= 2. Действительно, в случае, ко-

ãäà q = 2, из условия Машке вытекает p =6 2. Далее будет использоваться

4.7. Лемма. Пусть Fp, p =6 2, простое поле, C2 циклическая группа второго порядка. Тогда групповая алгебра FpC2 не является жесткой.

выполнено ³2 =: ¡1, также имеем Km = K1 = Fp. Поэтому KG = K + K. Очевидно, по-

ëå Fp и циклическая группа C2 не имеют нетривиаль- ных автоморфизмов, поэтому стандартные автоморфизмы групповой алгебры KG тривиальны. Однако

эта алгебра имеет нетривиальный автоморфизм, который переставляет слагаемые разложения. По заме- чанию такой автоморфизм является нестандартным.

Лемма доказана.

Доказательство необходимости всех условий теоремы в случае полупростого группового кольца KG è

циклической группы G завершено.

Отметим, что из леммы 3.5 и 4.7 вытекает

4.8. Лемма. Пусть Fp, p =6 2, простое поле, G конечная группа порядка, взаимно простого с

числом p. Если группа G имеет подгруппу индекса 2, то групповая алгебра FpG не является жесткой.

3. Достаточность условий

Докажем достаточность условий теоремы для полупростой групповой алгебры. Если группа G òðè-

виальна, G = e, то требуемое очевидно, поскольку KG = K и все автоморфизмы группового кольца яв-

ляются автоморфизмами поля K, причем стандартными.

Ÿ 5. Групповые алгебры абелевых групп

Установим необходимость условий теоремы для жесткости полупростой групповой алгебры абелевой группы. Для этого докажем

5.1. Предложение. Предположим, что групповая алгебра KG является автоморфно жесткой, а

группа G абелевой. Тогда G будет циклической.

Рассмотрим разложение группы в прямое произведение примарных компонент: G = Gp1 £ : : : £ Gpm, â

котором простые числа pi различны и каждая группа

Gpi имеет порядок, равный степени простого числа pi.

Это абелева pi-группа.

Примарные компоненты это прямые сомножители абелевой группы G. В силу леммы 3.6 каждая груп-

ïà Gpi определяет жесткую групповую алгебру Gpi. Группа G является циклической тогда и только то-

гда, когда все ее примарные компоненты циклические, поэтому достаточно показать, что примарная группа G будет циклической, если она определяет жесткую

групповую алгебру. Далее предполагаем группу G абелевой p-группой, групповую алгебру KG жесткой и будем доказывать, что G циклическая группа.

Абелева p-группа G разлагается в прямую сумму циклических p-групп. В силу леммы 9.3 все цикли-

ческие сомножители группы G определяют жесткие

групповые алгебры. Из предыдущего раздела следует, что все эти сомножители являются циклическими

изоморфна общей линейной группе Aut G = GL2(Fp). Напомним известную формулу числа элементов общей линейной группы. Обратим внимание на строгую монотонность этой функции по параметру q:

i=1

Ïîëå K = Fp простое, оно имеет только тождественный автоморфизм, поэтому по замечанию число стандартных автоморфизмов алгебры KG выражает-

ся количеством элементов линейной группы GL2(Fp):

s= p(p ¡ 1) ¢ (p2 ¡ 1):

Âсилу однозначности разложения в прямую сумму каждый автоморфизм ® групповой алгебры KG

инвариантен на слагаемых pK è pKp этой алгебры,

(pK)® = pK, (pKp)® = pKp: .

Поскольку KG = pK + pKp, ® вполне определяется по ограничениям на эти слагаемые. Следовательно, полная группа автоморфизмов изоморфна прямому произведению линейных групп GLp(K)£GLp(Kp).

Заметим, что

Для простых чисел p è q выполняется неравенство qs = = q(p¡1) > p, поэтому a > s. Тем более jGLp(K)£

GLp(Kp)j > s. Таким образом, существуют нестандартные автоморфизмы. Необходимость цикличности группы G доказана. Предложение доказано.