Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография
.pdf
Ÿ 4. Сепарабельные алгебры |
51 |
Однако для любого расширения полей
n |
|
-K |
» |
n |
|
-K |
ся изоморфизм M |
(L) |
|
F = |
M |
(L |
|
ждение следует из примера 4.1.
F=K имеет-
F ): Утвер-
Отсюда выводятся два важных замечания.
4.10. Замечание. Полупростая алгебра R сепара-
бельна тогда и только тогда, когда у нее найдется сепарабельное поле расщепления L:
4.11. Замечание. Если поле K совершенно, то
всякая полупростая алгебра над этим полем сепарабельна.
Для наших целей важна иная характеристика сепарабельных расширений. Она легко выводится из свойств дифференцирований полей.
4.12. Замечание. Расширение полей L=K сепара-
бельно тогда и только тогда, когда любое дифференцирование поля L; для которого поле констант содер-
æèò ïîëå K; является нулевым дифференцированием.
4.13. Определение. Рассмотрим K-алгебру R и бимодуль M над этой алгеброй.
Дифференцированием алгебры R в бимодуль M называется такое аддитивное отображение D : R ! M; для которого D(K) = 0 и при любых r; s 2 R выпол-
няется соотношение D(rs) = D(r)s + rD(s):
Дифференцирование называется внутренним, если найдется m 2 M; для которого при любом r 2 R
выполнено тождество D(r) = mr ¡ rm:
52 Глава I. Ассоциативные артиновы кольца
4.14. Замечание. Полупростая алгебра R над полем K сепарабельна тогда и только тогда, когда для любого бимодуля M все его дифференцирования
D : R ! M являются внутренними.
Действительно, замечание 4.9, теорема 0.11 и теорема 0.10 сводят проверку к рассмотрению алгебры матриц и регулярного бимодуля.
4.15. Лемма. Если расширение полей L=K сепарабельно, то при любом натуральном числе n K-äèô-
ференцирования алгебры Mn(L) являются внутренними.
Действительно, в случае n = 1 это следует из замечания 4.12. Поэтому далее предполагаем n > 1:
Выберем дифференцирование D : Mn(L) ! Mn(L) в регулярный бимодуль Mn(L). В силу определения D(K) = 0: В силу сепарабельности расширения L=K
также D(L) = 0; это дифференцирование кольца
Mn(L) êàê L-алгебры.
В силу аддитивности его значения определяются исходя из значений на базисных элементах алгебры матриц D(ei;j): Подберем элементы mi;j 2 Mn(L); äëÿ
которых D(ei;j) = mi;jei;j ¡ ei;jmi;j: Тогда дифферен-
цирование D окажется внутренним, определенным суммой элементов m = Pei;j:
Из соотношения ei;j = ei;kek;j в силу определения дифференцирования вытекает тождество
D(ei;j) = D(ei;s)es;j + ei;sD(es;j):
Ÿ 4. Сепарабельные алгебры |
53 |
Значения образуют "крестообразную матрицу", в которой все элементы, кроме строки i и столбца j; íóëå-
вые. Такие матрицы образуют L-линейное простран-
ство размерности 2n ¡ 1:
Такие же матрицы получаются для тождества внутреннего дифференцирования D(ei;j) = mei;j ¡ ei;jm;
здесь Эти матрицы образуют линейное подпространство размерности 2n¡1: Значит, эти про-
странства совпадают и найдется mi;j 2 Mn(L); äëÿ
которого D(ei;j) = mi;jei;j ¡ ei;jmi;j: Это завершает
доказательство леммы и замечания.
Из теории когомологий, изложенной в ЖАНК, глава 3, определения 3.9.2, упражнения 3.9.3, теоремы 3.8.10 о длинной последовательности когомологий, а также замечания 4.14 выводим
4.16. Замечание. Алгебра R над полем K ÿâëÿ-
ется сепарабельной тогда и только тогда, когда она нульмерна, т.е. для любого R-бимодуля M è äëÿ ëþáî-
го натурального числа n выполняется Hn(R; M) = 0:
Докажем теорему Веддерберна Мальцева 0.17 индукцией по ступени нильпотентности радикала алгебры, по натуральному числу n; для которого
N(R)n = 0:
Утверждение теоремы для n = 1 очевидно, а для
n = 2 следует из замечания 4.16 и предложения 3.9.1
из ЖАНК. Приступим к проверке шага индукции и предположим, что утверждение доказано для алгебры R; у которой N(R)n = 0:
54 Глава I. Ассоциативные артиновы кольца
Рассмотрим алгебру R у которой ступень нильпотентности n + 1; для которой N(R)n+1 = 0: Определим фактор-алгебру R0 = R=N(R)n: Ее радикал N(R0) = N(R)=N(R)n имеет ступень нильпотентности меньше n + 1:
R0=N(R0) естественно изоморфен фактору R=N(R);
он является сепарабельной алгеброй. По0 предположе0 - нию индукции найдется подалгебра S 6 R ; äëÿ êî-
торой R0 = S0 + N(R0) è S0 \ N(R0) = 0: По построению N(S0) = N(R0) \ S0 = 0: Эта алгебра изоморфна
R=N(R);
Рассмотрим полный прообраз R" алгебры S0 â àë- гебре R: Очевидно это сепарабельная алгебра, рассмотрим ее радикал N(R") = N(R) \ (R") = N(R)n:
Его ступень нильпотентности не выше 2. Для доказательства теоремы остается использовать для алгебры R" рассмотренный вначале случай n = 2 .
Доказательство второй части теоремы оставляем читателю в качестве упражнения. Теорема доказа- íà.
Ÿ 5. Групповые алгебры
5.1. Определение. Рассмотрим поле K и группу
G. Групповой алгеброй KG группы G над полем K называют множество формальных сумм P rg; íà
r2K; g2G
которых операция сложения и произведения определена согласно правилам приведения подобных:
|
|
Ÿ 5. Групповые алгебры |
55 |
|||
2 X2 |
|
s2 X2 |
|
X |
|
|
|
rg + |
sg = |
(r + s)g; |
|||
r K; g G |
K; g |
G |
0 |
rs1 |
¾; |
|
rg ¢ |
sh = |
|
||||
X |
|
X X@X |
A |
|
||
|
|
¾2G |
gh=¾ |
|
|
|
|
r Xsh = |
X(rs)h: |
|
|
||
5.2. Замечание. Групповая алгебра KG образует ассоциативную унитарную алгебру над кольцом R. Â
случае конечной группы G эта алгебра оказывается артиновой.
Докажем теорему Машке 0.18.
Рассмотрим вначале случай p 6n:j Тогда элемент n
обратим в групповой алгебре KG: В силу определе-
ния 0.2 и характеризации полупростых модулей (см. теорему 2.4.19 предыдущей монографии) достаточно показать, что любой левый идеал регулярного модуля KGKG имеет прямое дополнение. Докажем это свой-
ñòâî.
Рассмотрим подмодуль M 6 KGKG и построим его прямое дополнение N 6 KGKG; KGKG = M ©N; в виде ядра подходящего гомоморфизма модулей ½ :
KG ! M: Построим такой гомоморфизм. Рассмот-
рим вначале гомоморфизм векторных пространств над полем K гомоморфизм проекции ¼ : KG ! M; êîòî-
рый неподвижен на элементах модуля M, выполняет-
ñÿ ¼(u) = u; u 2 M. Определим ½ : KG ! M ïî ôîð-
µ ¶
ìóëå: ½(u) = P x¡1¼(xu) n¡1: По построению это
x2G
56 Глава I. Ассоциативные артиновы кольца
отображение гомоморфизм линейных пространств. Кроме того, при любом y 2 G; u 2 KG выполняется
тождество: |
|
|
à |
x¡1 |
¼(xyu)! n = |
|||||
½(yu) = |
||||||||||
|
|
|
|
X |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
Ãy à |
|
|
x2G |
|
|
|
|
|
|
|
(xy)¡1¼((xy)u)!! n = |
|||||||||
|
|
X |
|
|
|
|
1 |
|
||
= y 00 |
|
x2G |
|
|
|
|
1 = y½(u): |
|||
|
|
(xy)¡1¼((xy)u)1 n |
||||||||
@@½ |
|
|
|
|
A |
1 |
A |
|||
Gy=G |
|
|
|
|
||||||
|
xy2X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому гомоморфизм модулей. Кроме этого вы-
полняется ¼jM = idM ; выводим ½jM = idjM : Значит, N = ker ½: Необходимость доказана.
Рассмотрим теперь случай, когда pjn: Значит, груп-
повая алгебра имеет характеристику p: |
y 2 G |
|
||||||
повой алгебры. |
|
P |
|
|
|
|
||
Обозначим e = |
|
|
x 2 Gx ненулевой элемент груп- |
|||||
|
Замечаем, что для любого |
|
âû- |
|||||
e2 Pe = ne = 0: |
P |
|
|
P |
xy = e: Поэтому |
|||
полняется ey = |
2G |
xy = |
xy2Gy=G |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Левый идеал, порожденный этим элементом, совпадает с 0 =6 N = Ke: Также N2 = 0: Â ñèëó çàìå-
чания 2.2 выполнено неравенство: 0 =6 N µ R(KG):
Алгебра не является классически полупростой. Òåî- рема Машке доказана.
ГЛАВА II
Определимость сложения в кольцах
Ассоциативное кольцо множество R; на элемен-
тах которого определены бинарные операции сложения и произведения. При этом относительно этих операций множество R образует ассоциативное унитарное
кольцо. Это алгебраическая система сигнатуры
§ring = h+; £i:
Жесткость кольца понимается в том смысле, что возможно определение одной из этих операций, исходя из значений другой, более содержательной операции. В данной главе исследуются кольца, образованные конечномерными ассоциативными алгебрами над полями скаляров. Заметим, что в этом классе более содержательной оказывается операция произведения.
В самом деле, аддитивные группы таких алгебр представляют прямую сумму групп, изоморфных аддитивной группе поля скаляров. В случае поля скаляров нулевой характеристики это прямая сумма делимых групп без кручения. А если поле скаляров имеет характеристику p; то это прямая сумма цикличе-
ских групп простого порядка p. Поэтому любой класс
изоморфизма аддитивных групп алгебр вполне определяется характеристикой поля скаляров этих алгебр и мощностью образующих его алгебр. По аддитивной
57
58 Глава II. Определимость сложения в кольцах
группе алгебры R можно восстановить лишь характеристику его поля скаляров p 2 f0g [ N период ее
аддитивной группы, и ее мощность @ = #(R) = jRj:
Разумеется, этих двух параметров недостаточно для описания классов изоморфизма алгебр над полями. Например, для произвольного поля K матричная ал-
гебра над :ýòèì :полем: M2(K) простая, а прямая сумма полей K + K + K + K простой алгеброй не являет-
ся. Это четырехмерные алгебры над полем K, îíè
не являются изоморфными кольцами. Однако их аддитивные группы изоморфны.
Поэтому в этой главе жесткими кольцами считаем кольца, в которых операция сложения восстанавливается исходя из определения произведения.
Проявлением жесткости служит свойство изоморфной жесткости: в этой главе кольцо R называется
изоморфно жестким кольцом, если для любого кольца S любой изоморфизм мультипликативных полугрупп
этих колец R¤ ! S¤ определяется некоторым изоморфизмом самих колец R ! S:
Изоморфно жесткие ассоциативные кольца активно изучались в начале второй половины прошлого века К. Риккартом, Р. Джонсоном, А.В. Михалевым и другими авторами.
Обратим внимание на то, что в работе: C.E. Rickart. One-to-one mappings of rings and lattices. Bull.Amer. Math. Soc., 54(1948), 758-764, было замечено, что пятиэлементное поле F5 не образует жесткого кольца.
59
0.1. Определение. После появления следующей статьи: R.E. Johnson. Rings with unique addition. Proc. Amer. Math. Soc. 9(1958), 55-61. изоморфно жесткие кольца стало принято называть UA-кольцами (кольцо
ñоднозначным сложением unique addition ring).
Âэтом круге вопросов важное значение имеет работа В. Стефенсона: W. Stephenson. Unique addition rings. Can. J. Math. 21(1969), 1455-1461. В ней была доказана:
0.2. Теорема (Стефенсона). Рассмотрим унитарное ассоциативное кольцо R и натуральное n; n > 2:
Утверждается, что кольцо матриц Mn(R) образует UA-кольцо.
Будем ссылаться на этот результат как на теорему Стефенсона. В первой части главы для полноты изложения приводим доказательство теоремы Стефенсона.
В этой главе мы хотим определить изоморфно жесткие кольца в классе конечномерных простых алгебр. В силу структурной теоремы Веддерберна конечномерные простые алгебры представляются алгебрами матриц Mn(D) над алгебрами с делением D. Ïðè n > 1
простые алгебры Mn(D) образуют UA-кольца, являются изоморфно жесткими по теореме Стефенсона. Поэтому остается определить изоморфно жесткие алгебры с делением. Этому посвящена данная глава.
Далее во второй части вводится технически удобное более общее свойство автоморфной жесткости
60 Глава II. Определимость сложения в кольцах
кольца. В предложении 2.6 показываем, что поле образует UA-кольцо тогда и только тогда, когда это
ïîëå èç äâóõ F2; òðåõ F3 или четырех F4 элементов. По теореме Веддерберна о конечных телах I.0.14 далее нужно определить такие некоммутативные алгебры с делением над бесконечными полями, которые являются изоморфно жесткими. Предварительно исследуем алгебры кватернионов и доказываем такое утверждение.
0.3. Теорема. Алгебра обобщенных кватернионов |
|||||
³ F ´ |
над полем F образует UA-кольцо тогда и толь- |
||||
a;b |
|
|
|
|
|
ко тогда, когда она расщепима, |
|||||
|
µ F |
¶ » |
2 |
|
|
|
|
a; b |
= M |
(F ): |
|
|
|
|
|||
Иными словами, если алгебра обобщенных кватернионов является алгеброй с делением, то она не является изоморфно жестким кольцом. Это позволяет выдвинуть такое предположение.
Гипотеза. Конечномерная алгебра с делением образует изоморфно жесткое кольцо тогда и только тогда, когда это конечная алгебра, это поле из списка
fF2; F3; F4g:
Из этого предположения, в частности, следует: êî- нечномерная центральная простая алгебра над полем скаляров образует UA-кольцо тогда и только тогда,
когда:
1)либо она изоморфна алгебре матриц Mn(D) над телом D; n > 1;