Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография

122 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

0.3. Определение. В духе общей концепции жесткости (см. ЖАНК) в этой главе групповые кольца KG, обладающие только стандартными изоморфиз-

мами в групповые кольца, будем называть изоморфно жесткими. Соответственно групповые кольца, обладающие только стандартными автоморфизмами, в этой главе называем автоморфно жесткими.

В этой главе описываем изоморфно жесткие конеч- ные групповые алгебры над полями скаляров. Доказываем, что имеет место

0.4. Теорема. Пусть K конечное поле характеристики p, à G конечная группа. Групповая алгебра KG является изоморфно жесткой тогда и толь-

ко тогда, когда выполняется одно из условий:

(A) группа G является тривиальной, G = e;

(B) группа G циклическая группа простого нечет-

ного порядка q, G = Cq, q =6 2, à ïîëå K = Fp простое поле характеристики p, при этом число p

служит первообразным корнем по модулю числа q;

(C) группа G прямое произведение циклической

группы второго порядка на циклическую группу Cq простого нечетного порядка q 6= 2, G = C2 £ Cq, причем число 2 первообразный корень по модулю

числа q, à ïîëå K = F2 двухэлементное;

(D) группа G группа подстановок на трех символах, G = S3, à ïîëå K = F2 двухэлементное.

В доказательстве теоремы вначале в x 1 показыва-

ем, что перечисленные в теореме групповые алгебры являются распознаваемыми алгебрами в классе всех

123

ассоциативных унитарных алгебр. В силу принципа распознавания, для доказательства теоремы достаточ- но проверить, что все указанные алгебры типа (A) (D) исчерпывают автоморфно жесткие конечные групповые алгебры. Этому посвящена остальная часть главы. Затем, в Ÿ 2, в группе автоморфизмов групповой алгебры выделяем подгруппу стандартных автоморфизмов и отмечаем признаки стандартных автоморфизмов.

По теореме Машке (теорема I.0.18) класс групповых алгебр KG представляет дизъюнктное объедине-

ние класса полупростых групповых алгебр с условием (charK; jGj) = 1, и класса модулярных групповых ал-

гебр, в которых charK делит порядок группы G. Ïî-

этому доказательство теоремы состоит в определении автоморфно жестких полупростых конечных групповых алгебр, это делается в начале этой главы, в Ÿ 3 6. А также в выделении автоморфно жестких конеч- ных модулярных групповых алгебр, имеющих ненулевой радикал J = rad R 6= 0. Это проводится далее, в

Ÿ7 10. Это завершает доказательство теоремы.

Ÿ 3 отмечаем ряд свойств полупростых жестких групповых алгебр. Далее в Ÿ 4 6 проводим доказательство теоремы III.0.4 для полупростой алгебры. Вна- чале, в Ÿ 4 определяем жесткие полупростые групповые алгебры циклических групп. Поступенно расширяем класс групп от класса циклических групп в Ÿ 4 к классу абелевых групп в Ÿ 5, а затем в Ÿ 6 и к произвольным группам с условием Машке. Проверяем, что на каждой ступени расширения класса групп не

В последнем Ÿ 10 завершается доказательство основной теоремы.

В этой главе приняты следующие соглашения. Автоморфно жесткие алгебры кратко называем жесткими алгебрами. Изоморфные алгебраические системы отождествляем знаком равенства. Коммутант группы H обозначаем через DH, а через ZH ее центр. Цик-

лическую группу порядка k обозначаем Ck. Через 1:n обозначаем отрезок натурального ряда f1; : : : ; ng. Íî-

ситель произвольного элемента f группового кольца, т. е. множество элементов группы в записи f, которые

имеют ненулевые коэффициенты, обозначаем supp(f).

:

Прямую сумму алгебр обозначаем символом +.

Ÿ 1. Распознаваемые групповые алгебры

1.1. Предложение. Конечные групповые алгебры, указанные в тереме 0.4, распознаваемы в классе всех групповых алгебр. Это означает, что изоморфизм такой групповой алгебры KG некоторой груп-

повой алгебре LH как унитарных колец KG » LH

=

влечет изоморфизм полей скаляров K » L и групп

=

этих алгебр.

В самом деле, рассмотрим типы групповых алгебр по порядку.

(A): KG = Fpm:

126 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

1.2. Замечание. Для любого поля K и конечной группы G групповая алгебра KG образует поле только и только, если группа тривиальная, G = e:

Действительно, если g 2 G; g 6= e; gn = e; n 2 N; тогда в групповой алгебре имеются делители нуля:

(1 ¡ g)(1 + g + : : : + gn¡1) = 0:

Отсюда вытекает распознаваемость групповых алгебр типа (A).

(B): групповая алгебра KG; у которой группа G циклическая группа простого нечетного порядка q, çíà-

÷èò G = Cq, q =6 2, à ïîëå K = Fp простое поле характеристики p, при этом число p служит первооб-

разным корнем по модулю числа q:

Строение групповой алгебры этого типа будет установлено далее в лемме 4.9, для первообразного корня ³q из единицы степени q выполняется

При этом поле скаляров вложено в эту прямую сумму диагональным образом. Отсюда следует

1.3. Замечание. Поле скаляров Fp является мак- симальным подполем этой групповой алгебры.

Элементы группы G образуют базис групповой алгебры, отсюда вытекает

1.4. Замечание. Мощность конечной групповой алгебры KG совпадает со степенью jKGj = jKjjGj: Â

частности, jGj = logjKj jKGj:

Из этих замечаний вытекает распознаваемость групповых алгебр типа (B). Это коммутативные групповые алгебры над простым полем характеристики p,

мощность которых выражается числом pq.

(C): групповая алгебра KG; у которой группа G

прямое произведение циклической группы второго порядка на циклическую группу Cq простого нечетного

порядка q 6= 2, G = C2 £ Cq, прич¼м число 2 перво-

образный корень по модулю числа q, à ïîëå K = F2 двухэлементное поле.

Строение этой групповой алгебры будет установлено в замечании 10.2:

Здесь ²2 = 0 и слагаемые в этой сумме алгебры дуальных чисел. Отметим:

1.5. Замечание. Поле скаляров F2 является мак- симальным подполем этой групповой алгебры.

Из этого замечания и замечания 1.4 вытекает распознаваемость алгебр этого типа. Это коммутативные групповые алгебры над простым полем из двух элементов, мощности которых выражаются числом 22q:

(D): групповая алгебра KG; у которой группа G

группа подстановок на трех символах, G = S3, à ïîëå K = F2 двухэлементное поле.

128 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

Также F2 максимальное поле скаляров. Это

некоммутативные групповые алгебры над полем F2, мощности которых равны 26 = 64:

Это завершает доказательство предложения 1.1.

Ÿ 2. Группы автоморфизмов

Обозначим через Aut KG, Aut K, Aut G группы автоморфизмов группового кольца KG, коммутативного кольца K и группы G. Определим естественные вложения групп автоморфизмов Aut K ! Aut KG, Aut G ! Aut KG. Они отвечают вложениям кольца K и группы G в групповое кольцо KG.

Для произвольных ® 2 Aut K, ¾ 2 Aut G и элемен-

Это определяет автоморфизмы группового кольца. Получаем вложения групп автоморфизмов Aut K è Aut G

в группу автоморфизмов группового кольца Aut KG.

Будем использовать эти вложения и считать группы Aut K è Aut G подгруппами группы автоморфизмов

группового кольца Aut KG.

Отметим, что элементы этих подгрупп в самой группе Aut KG перестановочны, т. е. выполняется комму-

таторное соотношение

2.1. Определение. Произведение подгрупп

StAut KG = Aut K ¢ Aut G

в группе Aut KG образует подгруппу стандартных автоморфизмов.

X

f(®; ¾) = a®g g¾:

Поэтому основное техническое средство проверки стандартности автоморфизма дает вполне очевидное (достаточно воспользоваться тем, что групповое кольцо KG порождается подкольцом K = K¢eG и подгруп-

пой группы единиц G = 1K ¢ G) следующее

2.2. Замечание. Рассмотрим поле K, группу G и групповую алгебру KG. В группе автоморфизмов Aut KG подгруппа автоморфизмов поля коэффициентов выделяется условием Aut K = f' 2 Aut KG j

'(K) = K; 'jG = idGg, а подгруппа групповых автоморфизмов условием Aut G = f' 2 Aut KG j

'jK = idK; '(G) = Gg. Кроме того, подгруппа стандартных автоморфизмов StAut KG = Aut K ¢ Aut G

группового кольца KG в полной группе его автоморфизмов Aut KG выделяется такими условиями:

Aut K¢Aut G = f' 2 Aut KG j '(K) = K; '(G) = Gg:

130 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

Ÿ 3. Свойства разложимости и жесткости

Установим ряд важных свойств полупростых групповых алгебр, которые будем использовать далее. Основным свойством является прямая разложимость таких алгебр в прямую сумму однородных слагаемых.

1. Разложение в прямую сумму

3.1. Определение. Пусть R произвольное ком-

мутативное кольцо (не обязательно область целостности), а f; g 2 R необратимые элементы. Эти элемен-

ты будем называть взаимно простыми и обозначать (f; g) = 1, åñëè fR + gR = R, т. е. если взаимно про-

сты порожденные этими элементами главные идеалы. Это равносильно совместности в кольце R диофанто-

ва уравнения fx + gy = 1.

Очевидно, что свойство взаимной простоты элементов кольца R сохраняется при гомоморфизмах коль-

öà R на другие коммутативные кольца. Следующее

утверждение известное свойство взаимно простых полиномов. Его можно вывести из предложения 1:5:15

монографии ЖАНК.

3.2. Лемма. Пусть R

тивное кольцо, f1; : : : ; fn нетривиальные унитарные попарно взаимно простые полиномы из кольца полиномов R[X]. Тогда фактор-кольцо R[X]=(f1 : : : fn) изоморфно прямой сумме фактор-колец

: :

R[X]=(f1 : : : fn) = R[X]=(f1) + : : : + R[X]=(fn):