Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография

такие алгебры являются Z-отделимыми, а по предло-

жению 1.4 это автоморфно жесткие алгебры, они образуют UA-кольца Ли.

В самом деле, в случае полупростой алгебры Ли L ее подалгебра Картана максимальная абелева по-

далгебра, Z(C) = C: В определении стандартной по-

далгебры такой алгебры L0 = C: Поэтому N0 = 0; условие допустимости 2.5 для стандартной параболи- ческой подалгебры алгебры Ли выполняется.

По замечанию 3.3 любая параболическая подалгебра алгебры Ли L сопряжена с некоторой стандартной

параболической подалгеброй, поэтому условие допустимости выполнено и для любой параболической подалгебры полупростой алгебры Ли. Это объясняет замечание.

Из этого замечания следует утверждение теоремы Аржанцева 0.2.

Ÿ 4. Монолитичность жесткой алгебры

4.1. Предложение. Рассмотрим (неассоциативную) алгебру R над алгебраически замкнутым полем

K.

Тогда если она как кольцо имеет только полуалгебраические автоморфизмы, то она прямо неразложима как алгебра.

112 Глава III. Определимость сложения в алгебрах Ли

Докажем это утверждение от противного. Предположим, что алгебра R разлагается в прямую сумму

идеалов R = R1 © R2:

к противоречию, укажем автоморфизм кольца R; êî-

торый не является полулинейным. В построении искомого автоморфизма потребуется такой результат.

4.2. Лемма. Рассмотрим алгебраически замкнутое поле K нулевой характеристики и его конечно -

порожденное подполе S.

Утверждается, что можно найти такой нетождественный автоморфизм ± =6 Id ïîëÿ K; который

инвариантен на подполе S.

Докажем утверждение леммы, рассмотрим базис трансцендентности T расширения K=S. Тогда рас-

ширение K=S(T ) является алгебраическим. Покажем, что это расширение собственное, S(T ) 6= K:

Рассмотрим два возможных случая, либо T = ?;

расширение алгебраическое, либо T 6= ?:

Вначале рассмотрим случай алгебраического расширения K=S: Подполе S представляется башней Q µ

S1 µ S S1=Q è

алгебраического расширения S=S1; эти расширения яв-

ляются конечно - порожденными. Поле S1 изоморф- но полю дробно-рациональных выражений от конеч- ного числа переменных, скажем S1 = Q(X1; : : : ; Xn): А конечно - порожденное алгебраическое расширение

S=S1 по теореме о примитивном элементе порождается каким-то одним алгебраическим элементом µ степе-

íè m; S = S1[µ]: Очевидно, такое расширение не может быть алгебраически замкнутым. В нем нет корней от переменных X1; : : : ; Xn степени выше чем m.

Заключаем в этом случае S = S(T ) =6 K:

Åñëè T 6= ?; то очевидно поле S(T ) не являет-

ся алгебраически замкнутым, таким образом и в этом случае K =6 S(T ):

В силу алгебраической замкнутости поля K расши-

рение полей K=S(T ) является нетривиальным расши-

рением Галуа. Поэтому найдется нетривиальный автоморфизм ± ïîëÿ K тождественный на подполе S(T ),

он тождествен на поле S. Лемма доказана.

Рассмотрим поле определения S алгебры Ли R2, оно порождается структурными константами какогонибудь базиса этой алгебры, это конечнопорожденное поле. Таким образом, алгебра R2 является тензор-

ным пополнением некоторой алгебры Ли R20 íàä ïî- ëåì S, R2 = R20 -S K: Используем лемму 4.2 и подбе-

рем нетождественный автоморфизм ± ïîëÿ K; íåïî-

движный на подполе S. Этот автоморфизм по дей-

ствию на втором0 сомножителе тензорного произведения R2 = R2 -S K определяет нетождественный ав-

томорфизм алгебры R2, будем обозначать его ±: Тогда легко видеть, что произведение автоморфизмов IdR1 £ ± определяет автоморфизм кольца R; который

это доказывает первое утверждение. Докажем, что параболическая подалгебра R неразложима, если и толь-

ко если алгебра L простая.

Полупростая алгебра L есть прямая сумма n простых алгебр, ее компонент. Обозначим Ci 6= 0 такие

параболической подалгебры R в прямую сумму ненулевых параболических подал-

ãåáð Ri компонент алгебры R. Отсюда следует достаточность утверждения предложения. Если параболи- ческая подалгебра R прямо неразложимая, то n = 1 è

алгебра L простая.

Приступим к доказательству необходимости условия предложения, докажем, что у простой алгебры Ли L параболическая подалгебра R прямо неразложима.

Заметим вначале, что это утверждение не зависит от основного поля K.

В самом деле, если параболическая подалгебра R

разложима, то имеется разложение в прямую сумму идеалов R = = R1 ©R2; R1 6= 0 6= R2: Поскольку пара-

болическая подалгебра R содержит подалгебру Картана C µ R алгебры Ли, в этом разложении подалгебры

Ri регулярны, они инвариантны относительно присоединенного действия алгебры Картана C. У регуляр-

ных подалгебр простой алгебры Ли L имеются рациональные структурные константы, они определяются

весов C¤ наделяется подобной структурой, определяется каноническая биекция ¡ : C¤ ! C;

влетворяет основному соотношению:

при любых ® 2 C¤; x 2 C выполнено (®; x) = ®(x):

В частности, при лþáûõ ®; ¯ 2 C¤ выполняется ра-

венство (®; ¯) = ®(¯): Отсюда при ® 2 §1; ¯ 2 §2 очевидно (®; ¯) = 0: Это доказывает приводимость

системы корней параболической подалгебры §.

5.2. Лемма. Рассмотрим евклидово пространство V и некоторый набор его векторов W µ V: Пусть

вектор w является линейной комбинацией векторов

этого набора.

Тогда если w?W; òî w = 0:

В самом деле, будем предполагать пространство V линейной оболочкой множества векторов W: Âûáå-

рем некоторый ортонормированный базис fe1; : : : ; eng пространства V: Каждая координата вектора w 2 W

выражается скалярным произведением wi = (w; ei):

Отсюда следует утверждение.

Âсилу этой леммы приводимость системы корней

§влечет приводимость ее базы ¦: Но это означает приводимость системы корней ¢ простой алгебры Ли

L, что невозможно. Это противоречие доказывает

утверждение предложения 5.1 о неразложимости параболической подалгебры простой алгебры Ли.

6.1. Замечание. Утверждение следствия 0.5 можно доказать и непосредственно, для этого достаточ- но в его условиях дословно повторить доказательство теоремы 0.5, а взамен результата автора использовать теорему об изоморфизмах простых алгебр Ли из десятой главы книги: Н. Джекобсон. Алгебры Ли. М., Мир, 1964.

Комментарии к главе III

Определение различных классов алгебр Ли, которые состоят из UA-колец, было связано с работами

И.В. Аржанцева. Выделим две статьи:

1)И.В. Аржанцев. Однозначность сложения в полупростых алгебрах Ли// Успехи математических наук 56N.3(2001), 155 156.

2)I.V. Arzhantsev. Some results on unique ness of addition in Lie algebras. Proceedings of the I Colloquium on Lie Theory and Applications (Vigo, 2000), 19 24, Colecc. Congr., 35, Univ. Vigo, Vigo, 2002.

В этих работах была доказана теорема 0.2, она была оформлена в виде следствия к теоремам, составляющим содержание предложения 1.4 и предложения 2.7. Там же была сформулирована проблема 0.4.

Остальные результаты этой главы опубликованы в статье автора:

120Глава III. Определимость сложения в алгебрах Ли

К.Н. Пономарев. Об определимости сложения в алгебрах Ли// Сиб.м.ж. 52 N.6(2011), 1341-1345.

Обратим внимание, что во всех указанных работах изучались автоморфно жесткие классы алгебр Ли в смысле общего определения жесткости (см. определение II.2.1). Возникает естественный вопрос:

Проблема изоморфной жесткости. Какие классы алгебр Ли являются изоморфно жесткими?

В частности: будут ли такими параболические подалгебры полупростых алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики? Являются ли эти алгебры распознаваемыми в классе алгебр Ли?