Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография
.pdfГЛАВА I
Ассоциативные артиновы кольца
Терминологически опираемся на результаты монографии автора о неассоциативных кольцах (см. предыдущую монографию автора ЖАНК) и устанавливаем ряд хорошо известных теорем о структуре артиновых ассоциативных колец. Данная глава введена в целях замкнутости изложения и унификации терминологии в дальнейших разделах книги.
0.1. Определение. Верхним радикалом или радикалом полупростоты неассоциативного кольца R
называется общая часть максимальных двусторонних идеалов I этого кольца, для которых фактор - коль-
öî R=I нетривиально, R2 6µI, оно образует простое кольцо:
\
s(R) = I:
ICR;R26µI
m
Здесь изучаем класс ассоциативных колец, который допускает использование теории модулей. В этом классе имеется классическое понятие радикала.
21
22 Глава I. Ассоциативные артиновы кольца
0.2. Определение. Классическим радикалом ассоциативного кольца R называется общая часть мак-
симальных левых идеалов этого кольца. Он совпадает с радикалом левого регулярного представления кольца R; рассматриваемого как левый модуль над R.
\
R(R) = I:
I¡max:l:id R
В первом параграфе доказывается основная
0.3. Теорема. В классе артиновых ассоциативных колец верхний радикал совпадает с классическим радикалом. Для любого артинова ассоциативного кольца R выполняется
s(R) = R(R):
Далее под радикалом ассоциативной алгебры понимаем любой из этих совпадающих радикалов.
0.4. Определение. Под полупростой ассоциативной артиновой алгеброй R понимаем алгебру "без ра-
дикала", в которой R(R) = 0:
Напомним общее определение во всем классе неассоциативных колец.
0.5. Определение. Алгебра R называется простой, если она нетривиальна, R2 6= 0; и у нее имеются только тривиальные двусторонние идеалы: сама алгебра R и ее нулевой идеал 0.
23
Пользуясь общей теорией радикала, доказательство теоремы 0.3 выводим из следующего утверждения, имеющего в теории ассоциативных алгебр важное самостоятельное значение.
0.6. Теорема. Ассоциативная конечномерная алгебра R над полем K; которая полупроста, R(R) = 0;
представляется конечной прямой суммой некоторых простых алгебр:
: :
R = R1 + : : : + Rm:
0.7. Определение. Максимальный нильпотентный идеал ассоциативной алгебры R называется нильради-
калом этой алгебры, обозначается N(R):
Далее, в основной теореме второго параграфа показываем, что радикал конечномерной ассоциативной алгебры нильпотентен, значит, радикал этой алгебры совпадает с ее нильпотентным радикалом:
0.8. Теорема. Рассмотрим ассоциативную конеч- номерную алгебру R над полем K.
Утверждается, что радикал этой алгебры R(R) нильпотентен. Найдется натуральное число n 2 N; для которого s(R)n = 0:
В частности, s(R) = R(R) = N(K):
0.9. Определение. Ассоциативная алгебра R íà-
зывается примарной, если ее фактор алгебра R=R(R)
является простой. В случае когда этот фактор представляет алгебру с делением, алгебра R называется
локальной алгеброй.
24 Глава I. Ассоциативные артиновы кольца
В заключение параграфа получаем аналитическое описание конечномерных простых алгебр.
0.10. Теорема. Рассмотрим простую ассоциативную конечномерную алгебру R над полем K.
Тогда найдется конечномерное тело D над полем K и натуральное число d 2 N; для которых K-алгебра
R изоморфна K- алгебре матриц Md(D):
Md(D) íàä òå-
Обратим внимание, что все эти результаты приводят к хорошо известной структурной теореме.
0.11. Теорема (Веддерберна Артина). Рассмот- рим ассоциативную полупростую конечномерную алгебру R над полем K.
Тогда эта алгебра разлагается :в такую: конечную прямую сумму алгебр R = R1 + : : : + Rm; â êî-
торой каждая алгебра Ri изоморфна алгебре матриц
Mdi(Di) для подходящего натурального числа di нечномерной алгебры с делением Di:
0.12. Замечание. Отметим, что во всех теоремах о разложениях в прямые суммы идеалов в теоремах 0.11, 0.6 несложно установить единственность этого разложения с точностью до перестановки слагаемых.
25
В третьем параграфе главы доказывается
0.13. Теорема (Сколема Нетер). Рассмотрим центральную простую алгебру A над полем K, à òàê-
же простую алгебру B конечного ранга над этим полем, содержащуюся в алгебре A.
Утверждается, что любой K изоморфизм алгебры B â A; ' : B ! A; является внутренним, т.е. найдется такой обратимый элемент a 2 A¤; для которого при любом x 2 B выполняется тождество
'(x) = a¡1xa:
Далее используется эта теорема и выводится
0.14. Теорема (Веддерберна). Всякое конечное тело коммутативно, оно образует поле.
Отсюда вытекает уточнение структурной теоремы для алгебр над конечным полем.
0.15. Замечание. Если в условиях теоремы Веддерберна Артина 0.11 поле K конечное, то простые
компоненты разложения алгебры являются алгебрами матриц над полями, образующими конечные расширения поля K.
Четвертый параграф отведен для изучения класса сепарабельных алгебр.
0.16. Определение. Алгебра над полем K íàçû-
вается сепарабельной, если для любого расширения поля L=K пополнение A - L является полупростой
алгеброй над полем L. В частности, сепарабельная алгебра является полупростой.
26 Глава I. Ассоциативные артиновы кольца
Напомним, что согласно теореме 0.8 радикал R(R) артиновой алгебры R нильпотентен, поэтому элементы 1 ¡ R(R) обратимые. Основной результат раздела
0.17. Теорема (Веддерберна Мальцева). Рассмотрим артинову алгебру R; у которой фактор алгебра
по радикалу R=R(R) сепарабельная алгебра.
Утверждается, что найдется такая подалгебра S 6 R; для которой R = S + R(R); è S \ R(R) = 0:
Кроме того, любые две подалгебры S; T с этими
свойствами сопряжены внутренним автоморфизмом, найдется такой элемент u 2 R(R); для которого
(1 ¡ u)¡1S(1 ¡ u) = T:
А в пятом параграфе приводится определение групповой алгебры. Доказывается основной результат.
0.18. Теорема (Машке). Пусть G конечная группа порядка n, à K поле характеристики p:
Утверждается, что групповая алгебра KG ïîëó-
проста тогда и только тогда, когда характеристика поля p не делит порядок группы, p 6n:j
Таким образом, в этой главе изложен весь необходимый для дальнейших исследований инструментарий теории артиновых ассоциативных колец.
Ÿ 1. Радикалы алгебр
1. Общая теория
Напомним основные понятия общей теории радикалов колец и алгебр.
Ÿ 1. Радикалы алгебр |
27 |
1.1. Определение. Рассмотрим класс алгебр A,
замкнутый относительно взятия (двусторонних) идеалов и гомоморфных образов. Радикальным подклассом этого класса называется такой подкласс алгебр r µ A, который:
1) замкнут относительно взятия гомоморфных образов;
2) любая алгебра A 2 A обладает наибольшим идеалом r(A) из этого подкласса;
3) фактор алгебра A=r(A) имеет только нулевой идеал из подкласса r:
1.2. Определение. Для алгебры A класса алгебр
A идеал r(A) называется радикалом алгебры A:
1.3. Определение. Алгебра A 2 A; для которой r(A) = 0; называется r - полупростой алгеброй.
Из этих определений следует
1.4. Замечание. Радикал r однозначно определяется подклассом r - полупростых алгебр, а именно, для
любой алгебры A 2 A ее радикал определяется по общей части:
\
r(A) = I:
ICA; r(A=I)=0
2. Радикал модуля
Предварительно определим радикал левого модуля и выведем свойства этого понятия.
28 Глава I. Ассоциативные артиновы кольца
1.5. Определение. Радикалом R модуля M íà-
зывается подмодуль, равный пересечению всех его максимальных подмодулей. Обозначаем
\
R(M) = |
N: |
N6M;Nмаксимален в M
1.6. Замечание. При эпиморфизмах модулей максимальные подмодули отображаются в максимальные. Отсюда выводятся свойства (1) (3) из определения 1.1.
Примечание. Если в модуле M не существует максимальных
подмодулей, то получается пустое пересечение, считается, что оно равно самому модулю, R(M) = M.
1.7. Замечание. Если M ненулевой модуль ко-
нечного типа, то в нем имеются максимальные подмодули, значит, R(M) 6= M:
1.8. Лемма (Накаямы для модулей). Пусть M
модуль конечного типа. Тогда если его подмодуль N обладает свойством N + R(M) = M; òî N = M:
Действительно, обратим внимание, что выполнены включения: R(M=N) ¶ (R(M) + N)=N = M=N:
Поэтому R(M=N) = = M=N: Заключение следует
из замечания 1.7.
1.9. Замечание. Пусть M R модуль с одним образующим e: Для того чтобы элемент x 2 M принадлежал радикалу, x 2 R(M), необходимо и доста-
точно, чтобы при любом r 2 R элемент e + rx также был образующим этого модуля.
Ÿ 1. Радикалы алгебр |
29 |
1.8.В самом деле, необходимость следует из леммы
Докажем достаточность от противного. Пусть x 62 R(M): Выберем максимальный подмодуль N; для которого x 62N: Значит, Rx + N = M: Пусть n 2 N; r 2 R; для которых rx + n = e; тогда элемент
e + (¡rx) = n 2 N не является образующим, получи- ли противоречие. Это доказывает замечание.
3. Классический радикал
Обратимся к определению классического радикала R артинова ассоциативного кольца:
\
R(R) = I:
I C R
m;l
Ниже в предложении 1.16 мы докажем, что радикал является двусторонним идеалом. Доказательство предложения выводится из серии лемм.
1.10. Определение. Регулярным левым модулем
RR ассоциативного кольца R называется само это кольцо R; рассматриваемое как абелева группа, на кото-
ром кольцо R действует левыми умножениями.
1.11. Замечание. Радикал ассоциативного кольца R равен радикалу регулярного левого R модуля RR:
Это пересечение аннуляторов простых левых R модулей.
В самом деле, максимальные подмодули регулярного модуля отвечают максимальным левым идеалам
30 Глава I. Ассоциативные артиновы кольца
кольца R. Поэтому радикал кольца, общая часть мак-
симальных левых идеалов кольца, равен общей части максимальных подмодулей регулярного модуля. Ýòî объясняет замечание.
1.12. Замечание. Пусть R ассоциативное кольцо, а M R- модуль. Тогда R(R)M µ R(M):
В самом деле, по замечанию 1.11 радикал R(R) аннулирует все простые R модули. Поэтому всякий гомоморфизм модуля M в простой модуль аннулиру-
ется на подмодуле R(R)M: Это объясняет замеча- ние.
1.13. Замечание. Из замечания 1.6 следует корректность определения радикала.
1.14. Лемма. Для того чтобы элемент x 2 R принадлежал R(R); необходимо и достаточно, что-
бы при любом r 2 R элемент 1 ¡ rx был обратим слева.
Это следует из замечания 1.9, поскольку регулярный модуль порождается единицей кольца.
1.15. Замечание. Если элемент a ассоциативного кольца имеет левый обратный b; à b в свою очередь обладает левым обратным c; то все эти элементы обратимые, при этом a = c = b¡1; также b = a¡1 = c¡1:
Это следует из ассоциативности: cba = (cb)a =
= a = c(ba) = c è ò.ä.