Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография

сепарабельным расширением поля K. Чтобы подчерк-

нуть этот факт, введем обозначение Fk = Dk. Таким образом,

Fk образует центр алгебры матриц

Mnk (Fk). А центр групповой алгебры KG представим как прямая сумма этих полей

: :

C(KG) = F1 + : : : + Fm:

Заметим, что поле K вложено в эту прямую сумму диагональным образом. Группа G вкладывается в группу обратимых элементов KG, т. е. в группу обра-

тимых элементов прямой суммы (4).

Очевидно, группа обратимых элементов совпадает с произведением общих линейных групп:

(KG)¤ = (S1 +: : : : +: Sn)¤ = GLn1(F1)£: : :£GLnm(Fm):

(5)

Приступим к доказательству предложения.

Предположим, что групповая алгебра KG жесткая,

все ее автоморфизмы стандартные, по замечанию они инвариантны на поле K и в группе G. В частности,

подгруппа G группы обратимых элементов инвари-

антна относительно действия внутренних автоморфизмов алгебры KG, это нормальная подгруппа группы

обратимых элементов прямой суммы общих линейных групп GLni(Fi).

6.3. Замечание. Легко понять, что матрицы E, S, R è T удовлетворяют соотношениям R2 = S2 = T 2 = RST , поэтому все эти восемь матриц образуют

группу кватернионов.

Будем далее обозначать элементы группы Q более привычным образом: e = E, i = R, j = S, k = T , поэтому выполняются известные соотношения i2 = j2 = k2 = ijk = ¡e. Известно (см. там же), что любая

собственная подгруппа группы кватернионов является абелевой и нормальной.

Группа кватернионов это нильпотентная группа ступени нильпотентности два. Хорошо известно, что ее центр ZQ = f§eg = DQ циклическая груп-

па второго порядка, а фактор-группа Q=ZQ является

абелевой, а именно, прямым произведением двух циклических групп второго порядка.

Таким образом, это нильпотентная конечная 2-груп- па. Она является полициклической 2-группой. В частности, кватернионная группа, конечное прямое произведение любого конечного числа кватернионных групп, а также подгруппа такого прямого произведения тоже является полициклической 2-группой, она содержит подгруппы индекса 2. По лемме 4.8 для любого простого поля F характеристики, отличной от 2, груп-

повые алгебры этих групп жесткими не являются.

154 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

Докажем предложение 6.1. Установим, что группа G абелева, следующим образом.

Рассмотрим проекции ¼i : G ! GLni(Fi), в которых i = 1; : : : ; m. Поскольку G / (KG)¤, подгруп-

ïû ¼i(G) / GLni(Fi) нормальные, и в силу условия Машке их порядки взаимно просты с характеристикой p ïîëÿ K и любого его расширения Fi. Докажем,

что группы ¼i(G) абелевы для всех индексов i. Тогда группа G окажется подгруппой произведения абелевых групп и сама будет абелевой.

Åñëè ni = 1, то группа GL1(Fi) и ее подгруппа ¼i(G) абелевы.

Пусть ni > 2. Порядок специальной линейной груп-

ïû SLni(Fi) делится на p, поэтому группа ¼i(G) собственная нормальная подгруппа этой группы. Если p 6= 2 è p 6= 3, в силу проективной простоты группы

SLni(Fi) имеем ¼i(G) µ ZSLni(Fi) и также это абелева подгруппа. В этом случае получаем требуемое.

Åñëè æå p = 2, то в силу условия Машке долж-

íî áûòü ¼i(G) µ A3 и эта группа тоже оказывается абелевой.

Таким образом, и в этом случае имеем требуемое. Итак, если характеристика p ïîëÿ K не равна

3, то утверждение предложения доказано.

Случай p = 3 потребует более детальных рассуж-

дений, в которых жесткость групповой алгебры KG используется в полном объеме. Однако в дополнение

к приведенным выше рассуждениям заметим: если характеристика поля K равна 3 и в разложении (4) име-

åì Fi =6 F3, òî ¼i(G) µ ZSLni(Fi) и группа ¼i(G) является абелевой.

Это сводит доказательство предложения 6.1 к слу- чаю когда p = 3 и присутствуют индексы, для кото-

ðûõ Fi = F3. Для таких индексов получаем включение ¼i(G) / Q. Тогда либо ¼i(G) абелева группа, либо ¼i(G) = Q. Таким образом, в этом случае группа G является нормальной

подгруппой прямого произведения абелевых групп и кватернионных групп.

6.4. Лемма. Пусть G подгруппа прямого произведения абелевых и кватернионных групп, G · A£Q, где группа A абелева, а Q = Qn. Если групповая ал-

гебра F3G автоморфно жесткая, то группа G абелева.

В самом деле, предположим, что группа G íåà-

белева. Рассмотрим проекцию прямого произведения ¼ : A £ Q ! Q и ее ограничение на подгруппу G:

¼0 : G ! Q. Åñëè ¼(G) = e, òî G 6 A и группа G является абелевой, что не так. Поэтому ¼(G) =6 e.

Докажем, что в этом случае найдется подгруппа G индекса 2.

Действительно, подгруппа ¼(G) произведения ква- тернионных групп Q = Qn является полициклической

2-группой, она содержит подгруппу индекса 2. Таким образом, группа G также содержит подгруппу индекса

156 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

2. По лемме 4.8 групповая алгебра F3G не может быть жесткой. Это противоречит условию леммы. Лемма доказана, а вместе с ней доказано и предложение 6.1.

Итак, показана необходимость всех условий теоремы для полупростой групповой алгебры. Достаточ- ность условий теоремы была установлена в Ÿ 5. Таким образом, для случая полупростой групповой алгебры теорема доказана.

Ÿ 7. Алгебры над конечными полями

Здесь устанавливается ряд общих свойств конечномерных ассоциативных алгебр над конечными полями.

1. Центры алгебр над конечными полями

Далее потребуется следующее, интересное и само по себе

7.1. Предложение. Рассмотрим локально конеч- ное поле F ненулевой характеристики p. Пусть R

ассоциативная конечномерная алгебра над полем F , à J = rad R ее радикал.

Тогда естественный гомоморфизм ¼ : R ! R=J

индуцирует гомоморфизм центров этих колец ¼jC(R) : C(R) ! C(R=J), который является эпиморфизмом.

В частности, любая ортогональная система центральных идемпотентов фактора алгебры R=J поднима-

ется до ортогональной системы центральных идемпотентов алгебры R.

В самом деле, локально конечное поле F ïðåä-

ставимо как объединение возрастающей цепи конеч- ных и совершенных полей, поэтому оно само является совершенным полем.

По теореме Веддерберна Мальцева I.0.17 найдется некоторое сечение ¾ : R=J ! R гомоморфизма ¼.

Оно определяет полупростую алгебру представителей S = im¾ в алгебре R.

Сечение определяет изоморфное вложение центров

C(R=J) ! C(S);

поэтому для доказательства первой части предложения 7.1 достаточно установить C(S) µ C(R).

По уточнению Мальцева к теореме Веддерберна алгебра представителей S определена однозначно с точ-

ностью до автоморфизма сопряжения элементами вида 1 ¡ u, u 2 J. Поскольку S + J = R, для проверки

включения C(S) µ C(R) достаточно установить, что

любой такой автоморфизм неподвижен на центральных элементах из C(S).

В самом деле, для произвольных u 2 J, s 2 S тождество us = su равносильно тождеству vs = sv для обратимого элемента алгебры v = 1 ¡ u, êîòî-

рое, в свою очередь, эквивалентно такому тождеству

vsv¡1 = svv¡1 = s.

158 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

Проверим, что центральные элементы C(S) алгебр представителей S в отличие от самих алгебр предста-

вителей определяются вполне однозначно.

В силу теоремы Веддерберна Артина I.0.11 полупростая артинова F -алгебра S разлагается в прямую

: :

сумму простых алгебр: S = S1+ : : : +Sn.

Каждая простая алгебра Sk изоморфна матричной

алгебре Mnk (Dk) над подходящей конечномерной F - алгеброй с делением Dk. Обозначим через Fk центр

алгебры с делением Dk. Это конечное расширение локально конечного поля F , следовательно, тоже локаль-

но конечное: ïîëå: . Получаем такую этальную алгебру:

C(S) = F1+ : : : +Fn.

Подполя этой этальной алгебры считаются подкольцами в категории коммутативных колец, они содержат (диагональную) единицу 1C(S) = (1; : : : ; 1) ýòîé

алгебры. В частности, C(S) содержит простое подпо-

ëå Fp = Fp ¢ 1C(S)

Группа обратимых элементов C(S)¤ = F1¤£: : :£Fn¤ порождает алгебру C(S) как кольцо. Поэтому доста-

точно проверить, что любой автоморфизм сопряжения элементом вида 1¡u, u 2 J, неподвижен на груп-

пе обратимых элементов C(S)¤.

Выберем произвольный x 2 C(S)¤ и рассмотрим его образ

x0 = (1¡u)x(1+ u+: : :) = x+[x; u]+: : : = x+"; " 2 J:

Проверим, что " = 0.

Пусть m максимальное натуральное число, для которого " 2 Jm. Следует показать, что Jm = 0 è

"= 0.

Âсилу локальной конечности полей Fk любая ком- понента xi элемента x = (x1; : : : ; xn) 2 C(S) принад-

лежат некоторому конечному подполю поля Fi, îíà является корнем некоторого унитарного сепарабельного полинома fi

ïîëÿ Fpi ïîëÿ Fi.

Используем изоморфизмы полей Fpi простому под- ïîëþ Fp алгебры C(S) и определим унитарные сепарабельные полиномы fi0 2 Fp[X], для которых

уже в полном кольце C(S). Рассмотрим наименьшее

общее кратное0 0унитарный сепарабельный полином

f(X) = [f1; : : : ; fn] 2 Fp[X]. Очевидно, f(x) = 0 è â

силу сепарабельности производная f0(x) 2 C(S)¤

обратимый элемент.

Автоморфизмы алгебры неподвижны на простом подполе Fp, поэтому по модулю идеала Jm+1 справед- ливо соотношение

0 = f(x + ") = f(x) + f0(x)" = f0(x)":

Отсюда " 2 Jm+1 è Jm+1 = Jm = 0, " = 0.

Заключительное утверждение предложения следует из теоремы о поднятии идемпотентов (предложение 1.7.10 в ЖАНК). Предложение доказано.

160 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

2. Гомоморфизмы градуированных алгебр

Далее потребуется следующее

7.2. Предложение. Пусть F конечное поле, R конечномерная F -алгебра. Предположим, что алгебра R не является полупростой, J = J(R) ее радикал, а n его ступень нильпотентности, Jn = 0, Jn¡1 =6 0. Поскольку алгебра R не полупростая, имеем n > 1.

Используем регулярное действие R умножениями на R слева и справа, рассмотрим регулярный R-

бимодуль RRR. Это действие индуцирует на фак- торах J=J2 è Jn¡1=Jn = Jn¡1 (и на всех факторах

m¡1) структуру R=J-бимодуля.

Тогда HomR=J¡R=J (J=J2; Jn¡1) =6 0, т. е. существует ненулевой гомоморфизм ' : J=J2 ! Jn¡1 бимоду-

ëÿ J=J2 в бимодуль Jn¡1.

В доказательстве предложения используются факты из теории полупростых алгебр, модулей и бимодулей, изложенные, например, в ЖАНК. В заклю- чительной части доказательства будем считать, что произведения факторов J=J2 £ Jm=Jm+1 ! Jm+1=Jm

определены исходя из операции произведения в ассоциированной градуированной по степеням идеала J

алгебре gr(R; J).

Заметим, что при n = 2 утверждение предложения очевидно. В этом случае J=J2 = J и в качестве '

можно взять тождественный гомоморфизм. Далее при доказательстве будем предполагать, что n > 2.