Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография

61

2) либо она является конечным полем F2; F3 èëè

F4:

В третьей части главы получаем подтверждение гипотезы в классе алгебр над полями, названными однородными полями. Это такие поля, мультипликативные группы которых допускают нильпотентные эндоморфизмы, не имеющие кручения (в аддитивной группе кольца эндоморфизмов мультипликативной группы поля). Примерам однородных полей отведена следующая часть работы. Таковы конечные алгебраические расширения поля рациональных чи- сел, алгебраически замкнутые поля, вещественно замкнутые поля, поля p-адических чисел. Отметим: (ло-

кально) конечное поле однородным не является, это неоднородное поле. А в этом разделе доказана

0.4. Теорема. У автоморфно жесткой алгебры с делением индекса n все нильпотентные эндоморфиз-

мы мультипликативной группы центрального поля F ¤ имеют период, делящий n. Ýòî ýндоморфизмы

p

в конечную циклическую подгруппу n 1 мультипли- F ¤ максимального порядка?

По существу в этой теореме показано, что у автоморфно жесткой алгебры с делением центральное поле неоднородно. В частности: конечномерная алгебра с делением, центр которой является однородным полем, не образует изоморфно жесткого кольца. Из теоремы 0.4 и предложения 3.5 этого раздела выводим такое следствие, подтверждающее гипотезу в случае однородного поля скаляров.

62 Глава II. Определимость сложения в кольцах

0.5. Следствие. Конечномерная центральная простая алгебра над однородным полем скаляров образует UA-кольцо тогда и только тогда, когда она изо-

морфна алгебре матриц над телом Mn(D) с условием

n > 1:

Далее, в четвертой части главы описываем некоторые классы однородных полей. В предложении 4.1 получаем два признака однородности абелевой группы. С помощью них устанавливаем широкие классы однородных полей. В предложении 4.5 показываем, что свойство однородности поля сохраняется при конечных расширениях полей. А в заключение устанавливаем однородность любого конечнопорожденного по-

ëÿ.Трансцендентным полем называем в случае нулевой характеристики чисто трансцендентное расширение конечного расширения поля рациональных чисел Q, а в случае ненулевой характеристики собственное

чисто трансцендентное расширение локально конечного поля. Устанавливаем такое общее утверждение.

0.6. Теорема. Мультипликативная группа поля, полученного конечным расширением трансцендентного поля, обладает нильпотентным эндоморфизмом, не имеющим кручения. Такое поле является однородным.

В частности, в силу теоремы 0.4 алгебры с делением над таким полем жесткими не являются.

Из этой теоремы выводим утверждение, подтверждающее гипотезу в случае конечнопорожденных центральных полей алгебр с делением:

0.7. Следствие. Мультипликативная группа конечнопорожденного поля обладает нильпотентным эндоморфизмом, не имеющим кручения. Такое поле является однородным.

В частности, в силу теоремы 0.6 алгебры с делением над таким полем жесткими не являются.

Ÿ 1. Теорема Стефенсона

Доказательство теоремы Стефенсона будет выведено из двух лемм.

1.1. Лемма. Пусть отображение ® : hR; ¢i ! hS; ¢i определяет изоморфизм мультипликативных полугрупп ассоциативных унитарных колец R è S. Рассмотрим ортогональные идемпотенты ¼ è ¾ êîëü-

öà R.

Утверждается, что для любых элементов левых идеалов a 2 R¼ è b 2 R¾ выполняется соотношение

аддитивности:

(a + b)® = a® + b®:

В самом деле, вначале проверим соотношение для

a = ¼ è b = ¾:

Отображение ® биективно. Определим f 2 R; для которого f® = ¼® + ¾®:

Для этого элемента выполняются соотношения:

[f(¼ + ¾)]® = f®(¼ + ¾)® = (¼® + ¾®)(¼ + ¾)® =

64 Глава II. Определимость сложения в кольцах

= [¼(¼ + ¾)]® + [¾(¼ + ¾)]® = ¼® + ¾® = f®:

Значит, f(¼ + ¾) = f:

Также (f¼)® = f®¼® = (¼® + ¾®)¼® = ¼®; значит, f¼ = ¼: Подобным образом f¾ = ¾:

Поскольку сумма ¼ + ¾ образует идемпотент, заключаем f = ¼ + ¾: Таким образом, в самом деле:

¼® + ¾® = f® = (¼ + ¾)®:

Рассмотрим a 2 R¼; b 2 R¾: Обозначим x = a + b; тогда a = x¼; также b = x¾: Выводим соотношение:

a® + b® = (x¼)® + (x¾)® = x®¼® + x®¾® =

=x®(¼® + ¾®) = x®(¼ + ¾)® =

=[x(¼ + ¾)]® = (a + b)®:

Лемма доказана.

1.2. Замечание. Из этой леммы следует, что если кольцо R разложено в конечную прямую сумму ком-

понент левых идеалов: R = R1 © : : : © Rn, òî èçî- морфизм мультипликативных полугрупп ® : hR; ¢i !

hS; ¢i образует аддитивное отображение на разных компонентах: (a + b)® = a® + b® äëÿ a 2 Ri; b 2 Rj; ãäå

i 6= j:

1.3. Лемма. В условиях леммы 1.1 предположим, что кольцо R разложено в прямую сумму левых иде-

àëîâ: R = A © B: Предположим, что имеется R- гомоморфизм идеалов s : A ! B; как левых R-модулей.

В самом деле, рассмотрим множество элементов кольца R: A1+s = fa + asj a 2 Ag: Оно образует ле-

вый идеал кольца R. Этот идеал представляет другую компоненту разложения кольца R; R = A1+s © B:

Трижды применяем лемму 1.1 и выводим равенства:

a®+(as+b)® = [(a+as)+b]® = (a+as)®+b® = a®+as®+b®:

Сокращаем на a®

(as + b)® = as® + b®: Это доказывает лемму.

1.4. Замечание. Из этой леммы следует, что если кольцо R разложено в конечную прямую сумму ком-

понент левых идеалов: R = R1 © : : : © Rn, причем компоненты изоморфны как левые R-модули, то изо-

морфизм мультипликативных полугрупп ® : hR; ¢i ! hS; ¢i образует аддитивное отображение на каждой компоненте: (a + b)® = a® + b® äëÿ a 2 Ri; b 2 Ri; ãäå

i 2 N:

Докажем теорему Стефенсона 0.2. Рассмотрим кольцо матриц Mn(R) äëÿ n > 2: Используем разложение этого кольца в сумму левых идеалов, порожденное разложением единицы в сумму ортогональных идемпотентов: En = e1;1 ©: : : ©en;n: Утверждение следует из замечаний. Теорема доказана.

В дополнение к теореме выведем утверждение следствия 2 из работы Стефенсона.

66 Глава II. Определимость сложения в кольцах

1.5. Предложение. Пусть ассоциативное унитарное кольцо R является прямым произведением унитарных ассоциативных колец: R = Q Ri:

i2I

Утверждается, что это кольцо является UA-êîëü-

цом тогда и только тогда, когда каждая компонента Ri; i 2 I; образует UA-кольцо.

Докажем необходимость. Рассмотрим изоморфизм мультипликативных полугрупп ассоциативных колец: ® : hR; ¢i ! hS; ¢i: Докажем аддитивность

этого отображения.

Используем представлениеQ кольца в виде прямого произведения R = Ri: Обозначим ei; i 2 I; öåí-

i2I

тральные идемпотенты кольца R, определяющие ком-

поненты прямого произведения. В силу мультипликативности ® образы fi = e®i ; i 2 I; центральные идем-

потенты кольца S.

Очевидно для любого i 2 I компонента Ri èçî-

также определяет некоторое подкольцо кольца S: Îãðà-

ничение ® на каждую компоненту Ri определяет отоб-

ражение ®i мультипликативных полугрупп этих колец: ®i : Ri¤ ! Si¤:

По условию на каждой компоненте Ri сложение определено однозначно, поэтому каждое отображение ®i; i 2 I; аддитивное, это изоморфизм колец.

Проверим аддитивность полного отображения ®: Поскольку отображение ® взаимно однозначное, до-

статочно проверить, что если для элементов r; r1; r2 èç R выполняется соотношение r® = r1® + r2®; то тогда выполняется равенство: r = r1 + r2:

В самом деле, в силу доказанной аддитивности ® на компонентах для любого i 2 I выводим соотношение:

[(r ¡ r1 ¡ r2)ei]® = (rei ¡ r1ei ¡ r2ei)® = 0: Значит,

при любом i 2 I выполняется (r ¡ r1 ¡ r2)ei = 0: Отсюда следует r ¡ r1 ¡ r2 = 0: Это доказывает

необходимость.

Проверим достаточность. Предположим кольцо R с однозначным сложением. Проверим, что ком-

поненты Ri также образуют UA - кольца.

В самом деле, рассмотрим взаимно однозначные отображения колец ®i : Ri ! Si; которые определяют изоморфизмы мультипликативных полугрупп колец. Они определяют взаимно однозначное отображение колец:

Y Y Y

® = ®i : R = Ri ! Si:

i2I i2I i2I

Это отображение индуцирует изоморфизм мультипликативных полугрупп. Утверждение следует из однозначности сложения в кольце R. Предложение до-

казано.

68 Глава II. Определимость сложения в кольцах

1.6. Замечание. В силу структуры полупростых конечномерных алгебр по предложению 1.5 заключа- ем, что такая алгебра будет изоморфно жестким кольцом тогда и только тогда, когда это прямая сумма простых изоморфно жестких колец. В силу теоремы Стефенсона это прямая сумма матричных алгебр, а также изоморфно жестких алгебр с делением.

В теореме 6 работы Стефенсона по сути доказано:

1.7. Предложение. Рассмотрим поле K и конечномерную алгебру R íàä этим полем. Пусть Nрадикал этой алгебры, а R = R=N полупростая K-алгебра, она представляется прямой суммой про-

стых компонент.

Утверждается, что если компоненты полупростой алгебры R являются UA-кольцами, то R îá-

разует UA-кольцо.

В самом деле, рассмотрим полупростую алгебру R у которой N = 0: В этом случае утверждение сле-

дует из замечания 1.6. Далее рассматриваем алгебру R в которой N =6 0: Отметим, что радикал алгебры N

образован нильпотентными элементами кольца R. Îí

определяется по структуре мультипликативной полугруппы этого кольца.

Разложение полупростой алгебры R в прямую сум-

му простых алгебр определяется некоторым разложением единицы R в сумму попарно ортогональных идем-

потентов: 1R = e01 © : : : © e0n:

Поднимем это разложение до разложения единицы исходной алгебры в сумму ортогональных идемпотентов (см. ЖАНК гл.1 Ÿ7): 1R = e1 © : : : © en: Îíî îïðå-

деляет разложение кольца R в прямую сумму левых

идеалов. Утверждение выводится из леммы 1.1 и леммы 1.3. Предложение доказано.

1.8. Замечание. Отметим, что в теореме 7 и следствии 1 к этой теореме в работе Стефенсона установлено, что для любого унитарного ассоциативного кольца R кольцо треугольных матриц Tn(R) ïðè n > 2 образует изоморфно жесткое кольцо. Поэтому утверждение предложения 1.7 не допускает обращения. Имеются конечномерные алгебры R = Tn(K); компонен-

ты фактора которых R не обязательно образуют UA- кольца. Достаточно выбрать поле K, которое не об-

разует UA-кольцо. По предложению 2.6 таково любое поле, в котором число элементов более четырех.

Эти результаты подтверждают необходимость определения жестких алгебр с делением. В следующих параграфах обратимся к изучению таких алгебр.

Ÿ2. Жесткие поля и кватернионы

Âэтом разделе уточняем замечание К. Риккарта, доказываем предложение 2.6, в котором описываем все жесткие поля. В заключение раздела доказываем

70 Глава II. Определимость сложения в кольцах

теорему 0.3 о расщепимости жестких алгебр кватернионов.

1. Автоморфная жесткость

Выделим еще один признак проявления жесткости. Удаление из сигнатуры кольца R операции сложения

приводит к структуре мультипликативной полугруппы этого кольца R¤ системе сигнатуры §smgr = h£i: Это позволяет, исходя из автоморфизма кольца, определить автоморфизм его полугруппы. Определено естественное вложение групп автоморфизмов:

Aut(R) ,! Aut(R¤):

2.1. Определение. Автоморфно жесткие кольца в терминологии монографии ЖАНК такие кольца R; для которых возможен обратный процесс: любой

автоморфизм мультипликативной полугруппы кольца определяется некоторым автоморфизмом самого кольца. Иными словами, сюръективно естественное¤вложение группы автоморфизмов: Aut(R) ,! Aut(R ).

2.2. Замечание. Изоморфно жесткое кольцо является автоморфно жестким. Класс автоморфно жестких колец шире класса изоморфно жестких колец.

В некоторых классах колец имеется и обратное отношение. Введем новое понятие. Удобно разбить условие изоморфной жесткости на две части. Во-первых, это условие означает, что если мультипликативные полугруппы колец R è S изоморфны, то изоморфны са-

ми кольца. При этом сам изоморфизм колец может