Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография

3. Отделимость и жесткость алгебр Ли

Докажем предложение 1.4. Рассмотрим Z-отде- лимую алгебру Ли над бесконечным полем R. Пусть

Á : R ! R автоморфизм мультипликативного груп-

поида. Будем доказывать аддитивность этого отображения, т.е. проверять, что при любых a; b 2 R выпол-

няется

Пусть вначале a 2 C(R); b 2 C(R) è (a+b) 2 C(R):

Определим пересечение U(a+b)\[U(a)¡b]\U(b) â

силу леммы 1.11 открытых по Зарисскому множеств. Оно непустое, выберем c 2 U(a + b) \[U(a) ¡b] \U(b):

Для этого элемента выполняются включения:

Z(a+b)\Z(c) = 0; Z(a)\Z(b+c) = 0; Z(b)\Z(c) = 0:

По лемме 1.5 выводим равенства:

Á(a) + Á(b) + Á(c) = Á(a) + Á(b + c) = = Á(a + b + c) = Á(a + b) + Á(c);

значит, Á(a) + Á(b) = Á(a + b): В этом случае аддитивность Á выполняется.

Теперь предположим, что a 2 C(R) è b 2 C(R):

Определим пересечение в силу леммы 1.11 открытых по Зарисскому множеств: [U(a) ¡ b] \ U(b): Îíî

непустое, выбираем c 2 [U(a) ¡ b] \ U(b): Тогда в си-

лу леммы 1.5 можно подобрать такое d 2 Z(c); для которого выполнено соотношение:

Á(a) + Á(b) + Á(c) = Á(a) + Á(b + c) = = Á(a + b + c) = Á(a + b) + Á(c) + Á(d):

102 Глава III. Определимость сложения в алгебрах Ли

Таким образом, независимо от выбора c из плотного по Зарисскому множества [U(a)¡b]\U(b) выполняется соотношение: Á(a+b)¡Á(a)¡Á(b) = Á(d); в котором

d2 Z(c):

Âсилу леммы 1.11 можно подобрать элементы c1; c2 из множества [U(a) ¡ b] \ U(b); централизаторы кото-

рых отделимые, для которых Z(c1) \ Z(c2) = 0: Çíà- ÷èò, d = 0 и в этом случае также выполняется адди-

тивность отображения Á:

Теперь рассмотрим случай b 2 C(R):

Рассмотрим пересечение открытых по Зарисскому множеств [C(R)¡b]\[a¡C(R)]\C(R): Оно непустое,

выбираем элемент a2 из этого множества. Обозначим a1 = a ¡ a2 2 C(R); значит, a = a1 + a2; ïðè ýòîì a1; a2; a2 + b 2 C(R): В силу предыдущего случая вы-

Á(a) + Á(b) = Á(a1) + Á(a2) + Á(b) =

= Á(a1) + Á(a2 + b) = Á(a1 + a2 + b) = Á(a + b):

тивность доказана и в этом случае.

В заключение рассмотрим a 62C(R) è b 62C(R):

Представляем b = b1 + b2 так, чтобы b1; b2 2 C(R): Тогда a + b = a + b1 + b2 = (a + b1) + b2: Используем разобранный случай и устанавливаем аддитивность Á.

Предложение доказано.

Ÿ 2. Допустимые алгебры отделимые

1. Расщепление Мальцева

2.1. Определение. Алгебра Ли L называется рас-

щепимой по Мальцеву, если:

1) ее радикал R выделяется: имеется разложение L = S © R; в котором алгебра S полупростая, причем [S; R] = 0;

2)радикал R разлагается в сумму R = T © N; в которой T абелева алгебра (алгебра Картана радикала R), N нильпотентный идеал;

3)присоединенное действие T íà N точное и вполне

приводимое.

2.2. Замечание. В этом определении S подалгебра Леви алгебры L; à N образует нильрадикал алгебры Ли L: Последнее условие приводит к разложению нильрадикала N в сумму корневых пространств

относительно действия T íà N : N = ©N¸i: Корневые пространства выделяются тождествами:

N¸i = fn 2 Nj [t; n] = ¸i(t)ng;

в которых ¸i конечное множество линейных функций на T , это корни T íà N; ïðè ýòîì \ ker ¸i = 0: В этих обозначениях N0 обозначает ядро действия T íà N:

N0 = fn 2 Nj T n = 0g:

2.3. Определение. Расщеплением Мальцева алгебры Ли L называется вложение алгебры L â òà-

кую расщепимую по Мальцеву алгебру Ли: ® : L !

104 Глава III. Определимость сложения в алгебрах Ли

M(L); для которого образ ®(L) образует идеал алгебры M(L), ïðè ýòîì

M(L) = ®(L) + T (M(L)); M(L) = ®(L) + N(M(L)):

В этом равенстве N(M(L)) обозначает нильрадикал алгебры M(L); à T (M(L)) алгебру Картана радика-

ëà M(L):

Значит, расщепление Мальцева получается добавлением к алгебре некоторых нильпотентных элементов. Также его можно получить добавлением полупростых элементов, обогащением радикала алгебры R äî

расщепимой разрешимой алгебры Ли.

2.4. Замечание. Существование расщепления алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики было установлено А.И. Мальцевым в 1945 году.

2. Отделимость некоторых классов алгебр Ли

2.5. Определение. Разрешимая алгебра Ли R íàä

бесконечным полем называется допустимой, если в ее расщеплении Мальцева ® : R ! M(R) = T © N

найдется нильпотентный элемент n 2 N с условием

Z(n) \ N0 = 0:

2.6. Замечание. В условиях определения множество элементов n 2 N с условием Z(n) \ N0 = 0 образует открытое по Зарисскому подмножество пространства N.

В самом деле, для каждого n 2 N рассмотрим линейное отображение линейных пространств 'n : N !

N © N=N0; определенное для произвольного x 2 N ïî

формуле x ! 'n(x) = [x; n] © (x + N0)

Åñëè Z(n)\N0 = 0; то ранг отображения 'n макси- мален. Значит, ранг отображения не меняется в целой окрестности Зарисского точки n. Это объясняет за-

мечание.

Следующее утверждение составляет содержание теоремы Аржанцева Титова:

2.7. Предложение. Рассмотрим алгебру Ли L

над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Утверждается, что если радикал этой алгебры является допустимым, то это Z-отдели-

мая алгебра Ли.

Докажем это предложение. Определим элементы a; b 2 L; для которых выполняется условие Z-

отделимости:

Z(a) \ Z(b) = 0:

1± Вначале рассмотрим случай полупростой алгебры Ли L: Выберем некоторую подалгебру Картана T этой алгебры максимальную абелеву подалгебру, Z(T ) = T . Рассмотрим корни ± 2 ¢ присоединенного действия T на алгебре. В силу Z(T ) = T все корни

ненулевые, 0 62¢:

Корневые векторы алгебры условимся обозначать s±; ± 2 ¢: По определению ts± = ±(t)s±: Поскольку

все корни ненулевые, для любого ± 2 ¢ также ts± =6 0: Пусть полупростой элемент a 2 T регулярный

элемент алгебры, который при любом ± 2 ¢ выделяется условием ±(a) 6= 0: Для такого элемента Z(a) = T:

106 Глава III. Определимость сложения в алгебрах Ли

Определим b = P s±: Поскольку все корни нену-

±2¢

левые, получается Z(a) \ Z(b) µ T \ Z(b) = 0: В этом случае алгебра оказывается Z-отделимой.

2± Теперь рассмотрим случай разрешимой алгебры Ли, расщепимой по Мальцеву, L = R: Пусть T алгебра Картана этой алгебры, а N нильрадикал. Обозна- чим ¢ множество корней присоединенного действия

T íà N, оно может включать нулевой корень. Алгебра имеет корневое разложение:

M

L = R = T © N±:

±2¢

Выберем регулярный полупростой элемент a 2 T таким образом, чтобы ±(a) =6 0 для любого ненулевого корня ± 2 ¢: Тогда Z(a) = T © N0: Использу-

В самом деле, предположим t+n0 2 Z(a)\Z(b); t 2 T; n0 2 N0: Тогда [t + n0; b] = 0: Значит, для любого ненулевого корня ± 2 ¢nf0g выполняется равенство:

±(t)s± = [s±; n0]:

В силу теоремы Фридрихса присоединенный оператор ad(n0) нильпотентен.

Из равенства заключаем, что для любого корня ± 2 ¢ выполняется тождество ±(t) = 0: В силу точности

действия, условия ±T2¢ ker ± = 0 заключаем t = 0: Однако Z(b) \ N0 = 0; поэтому n0 = 0: В самом деле,

Z(a) \ Z(b) = 0:

3± Рассмотрим случай произвольной разрешимой алгебры Ли R. Выберем ее расщепление Мальцева ® : R ! M(R): Представим M(R) = T © N:

Используем предыдущий параграф и подберем регулярный полупростой, а также нильпотентный эле-

менты a; b 2 M(R); чтобы ZM(R)(a) \ ZM(R)(b) = 0:

По определению расщепления 2.3 представим:

a = a0+n; n 2 N; a0 2 R; также b = b0+t; t 2 T; b0 2 R:

Заметим, что в этом представлении можно подобрать n 2 N0: В самом деле, рассмотрим корневое разложение n = P n±; тогда [a; n] = P±(a)n±: Åñëè

±2¢

n 62N0; то в этом разложении n имеются компоненты n±; отвечающие ненулевым корням ± 2 ¢nf0g: В силу регулярности полупростого элемента a выполняется

неравенство ±(a) 6= 0: Будем считать, что элемент n

выбран так, что число этих компонент минимальное. Предположим n± =6 0; ± =6 0: При этом условии можно

заменить n элементом

n ¡ ±(1a)[a; n]:

Это уменьшает число ненулевых компонент и приводит в противоречие с предположением о минимальности. Значит, в самом деле, можно считать n 2 N0:

108 Глава III. Определимость сложения в алгебрах Ли

Обратим внимание, что при таком выборе n выпол-

няется включение: Z(a0) µ T ©N0: В самом деле, рассмотрим x 2 Z(a0); значит, [a; x] ¡[n; x] = [a ¡n; x] =

= [a0; x] = 0: Представим элемент x суммой корневых векторов: x = P x±: Тогда [a; x] = P±(a)x± = [n; x]:

±2¢

По теореме Фридрихса получаем x± = 0 для любого ненулевого корня ± 2 ¢n0: Действительно, Z(a0) µ

T © N0:

Заметим в завершение, что Z(b0)\T ©N0 = 0: Действительно, рассмотрим элемент s+n 2 T ©N0 \Z(b0);

для которого 0 = [b0; s + n] = [¡t + b; s + n] = [b; s + n]:

Тогда s + n 2 Z(b) \ T © N0: Значит, s + n 2 Z(b) \ T © N0 = 0: Заключаем Z(b0) \ T © N0 = 0: В этом случае Z(a0) \ Z(b0) = 0:

4±: Рассмотрим случай произвольной алгебры Ли L. Выберем разложение Леви алгебры L: L = S © R:

Для полупростой алгебры S выбираем отделимые элементы согласно 1±: Это позволяет подобрать такие

s1; s2 2 S; для которых Z(s1) \ Z(s2) \ S = 0: В силу замечания 1.6 это соотношение выполняется для элементов некоторого открытого по Зарисскому множества U1 в пространстве S©S: Это множество непустое, поэтому плотное. ± выбираем

Для разрешимой алгебры R согласно 3

элементы p1; p2 2 R; для которых Z(p1) \ Z(p2) \ R = 0: В силу замечания 1.6 это соотношение выполняется

для элементов открытого по Зарисскому множества в пространстве R©R: По замечанию 1.7 в пространстве

L © L найдется открытое по Зарисскому множество

U2, для которого также Z(g1) \ Z(g2) \ R = 0: Это множество является непустым и плотным.

Рассмотрим пару элементов gi = si + ri; i = 1; 2;

для которых (s1; s2) 2 U1; à (g1; g2) 2 U2; à ri 2 R;

i= 1; 2: Утверждается Z(g1) \ Z(g2) = 0:

Âсамом деле, рассмотрим g = s+r 2 Z(g1)\Z(g2);

тогда [s+r; si+ri] = [s; si]+([s; ri]+[r; gi]) = 0; i = 1; 2;

значит, [s; si] = 0: Заключаем s = 0; [r; gi] = 0 è r = 0: Действительно, определили g1; g2 2 L; äëÿ êîòî-

ðûõ Z(g1) \Z(g2): Это завершает доказательство предложения 2.7.

Ÿ 3. Отделимость параболических подалгебр

3.1. Определение. Рассмотрим алгебру Ли L; îïðå-

деленную над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Параболической подалгеброй этой алгебры Ли называется такая подалгебра R 6 L; êîòî-

рая содержит некоторую подалгебру Бореля алгебры

L:

В случае редуктивных алгебр Ли над полем нулевой характеристики параболические подалгебры сводятся к алгебрам следующего типа.