Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография

Ÿ 10. Жесткие модулярные алгебры

Докажем необходимость условий теоремы 0.4 в модулярном случае. Предположим, что жесткая K-àë-

гебра R = KG не является полупростой. Обозначим

через J = rad KG радикал этой алгебры, пусть n

ступень его нильпотентности. В силу Ÿ 2 имеет место n = 2 и радикал такой алгебры не имеет сдвигаю-

щих эндоморфизмов как R=J-бимодуль. В частности,

по замечанию 8.4 он является прямо неразложимым модулем, а поле скаляров бинарным, K = F2.

определяет разложение бимодуля J в прямую сумму простых

бимодулей. В силу неразложимости бимодуль J èçî-

морфен регулярному бимодулю некоторой простой алгебры Si. Для определенности считаем i = n.

Таким образом, алгебра R представима как пря-

мая сумма простых алгебр S1; : : : ; Sn¡1 и расщепимой алгебры Sn n Sn+. Здесь через Sn+ обозначается регулярный бимодуль простой алгебры Sn, это аддитивная

группа алгебры Sn, на которой определена структура

Sn-бимодуля по умножению на элементы алгебры Sn. По структурной теореме простые алгебры изоморфны матричным алгебрам над конечными полями ха-

рактеристики 2, обозначим Si = Mmi(Fi).

Fn = F2. Для удобства обозначим mn = m. Покажем, что в условиях теоремы

182 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

m = 1. Приведем условие m > 1 к противоречию с

условием жесткости групповой алгебры

Рассмотрим гомоморфизм проекции алгебры на прямое слагаемое F2G ! Mm(F2) n Mm(F2)+. Îí îïðå-

G

элементов алгебры ¼ : G ! GLm(F2) £ Cm2 2.

В силу жесткости этот гомоморфизм отображает0. группу G на некоторую нормальную подгруппу G

Ïðè0 этом по определению групповой алгебры+группа. G включает базис алгебры Mm(F2) n Mm(F2)

Вначале рассмотрим случай m > 2. Â ýòîì ñëó-

чае группа GLm(F2) = SLm(F2) = PSLm(F2) простая четного порядка. В силу леммы 9.11 группа G0 ïðåä-

ставима как прямое произведение группы PSLm(F2) на элементарную абелеву 2-группу, это прямое произведение двух групп четного порядка. 0 èìå- По лемме 9.2 радикал групповой алгебры F2G

ет ступень нильпотентности больше двух. Эпиморфизм G ! G0 продолжается до эпиморфизма групповых

алгебр F2G ! F2G0, поэтому радикал групповой алгебры F2G тоже имеет ступень нильпотентности больше 2. Это противоречит условию n = 2. Этот случай

невозможен.

Теперь обратимся к случаю m = 2. В этом случае

PSL2(F2) = = S3 = C2 iC3 расщепимая метабелева группа. Группа G0 является нормальной подгруппой в

PSL2(F2)£C42, также расщепимой метабелевой группе.

В силу леммы 9.8 легко заметить, что такая группа изоморфна либо группе Ck2¡1 порядка 2k¡1, ëèáî ïîëó- чается S3 £Ck2 порядка 6 ¢2k¡1 = 3 ¢2k, ëèáî C3 £Ck2¡1 порядка 3 ¢ 2k¡1 для некоторого натурального k 6 5.

Размерность алгебры M2(F2)nM2(F2)+ равна вось- ми, а группа G0 включает базис этой алгебры. Значит,

jG0j > 8 = 23. Таким образом, в любом случае группа G0 разлагается в произведение подгрупп четного по-

рядка.

Как и выше, по лемме 9.2 радикал групповой алгеб- ðû F2G0 имеет ступень нильпотентности больше двух. Также оказывается, что радикал групповой алгебры F2G имеет ступень нильпотентности больше 2. Это

противоречит условию n = 2, и этот случай также

невозможен.

Èòàê, m = 1 и групповая алгебра разлагается в прямую сумму

:

F2G = S+F2C2;

::

âкоторой S = S1+ : : : +Sn¡1 прямая сумма простых

алгебр.

Определим свойства группы G, которые следуют из

такой структуры групповой алгебры F2G, найдем секционную структуру группы. Конечная группа G îá-

ладает композиционным рядом, т. е. субнормальным рядом подгрупп, факторы членов которого компо- зиционые факторы группы простые группы. По теореме Жордана Гельдера набор этих композиционных факторов определяется по группе G однозначно. Ока-

зывается, что алгебраическая структура однозначно

184 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

определяет композиционные факторы четного поряд-

êà.Рассмотрим проекцию этой алгебры на последнее прямое слагаемое F2G ! F2C2, при этом образ груп-

ïû G содержит базис алгебры F2C2 в силу определе- ния групповой алгебры. Проекция определяет гомоморфизм групп G ! C2, который является эпимор-

физмом. В частности, группа G обладает подгруппой

индекса 2, она имеет композиционный фактор, изоморфный C2.

Для каждого индекса i = 1; : : : ; n ¡ 1

гебра изоморфна матричной алгебре, Si = Mmi(Fi).

Рассмотрим проекции ¼i : F2G ! Mmi(Fi) на простые компоненты групповой алгебры. Они определяют гомоморфизмы группы ¼ijG : G ! GLmi(Fi), äëÿ êî-

торых образы группы ¼i(G) также включают базисы

компонент Mmi(Fi).

В силу автоморфной жесткости групповой алгебры F2G каждая подгруппа ¼i(G) устойчива относительно

внутренних автоморфизмов алгебры Mmi(Fi), ýòî íîð-

мальная подгруппа в группе GLmi(Fi).

В силу нормального строения общих линейных групп каждая группа ¼i(G) включает подгруппу SLmi(Fi). Â

частности, если какая-нибудь из групп SLmi(Fi) проективно простая, т. е. либо n > 2, ëèáî n = 2, íî

Fi =6 F2, то у группы G существует простой композиционный фактор четного порядка, изоморфный группе PSLmi(Fi). А в случае n = 2 è Fi = F2 группа

содержит композиционный фактор, изоморфный C2.

В совокупности все эти гомоморфизмы определяют вложение группы G на нормальную подгруппу произ-

ведения линейных групп:

G C GLm1(F1) £ : : : £ GLmn¡1 £ C2 = H:

При этом каждый неабелев сомножитель группы H

отмечается своим композиционным фактором четного порядка в группе G.

Рассмотрим радикал r = rad 20H. Нетрудно заметить, что rad H = C2 £ rad 20H. В силу свойств радикала подгруппа r образована прямым произведением

таких подгрупп: если группа SLmi(Fi) проективно простая, то берется подгруппа ZSLmi(Fi), а для группы

GL2(F2) = S3

ïå A3.

Обозначим через SH = SLm1(F1)£SLmn¡1 £C2 CH нормальную подгруппу группы H нечетного индек-

са. Отметим, что по свойствам rad 20SH = r \ SH.

Фактор-группа SH=rad 20SH является прямым произведением простых неабелевых групп на элементарную абелеву 2-группу.

Обратимся к группе G. Укажем в ней ряд нормальных подгрупп, удовлетворяющих лемме 9.3 при p = 2. Рассмотрим G00 = G\SH, которая является нормальной подгруппой группы G нечетного индекса, и ее 20- радикал G0 = rad 20G \ SH, тоже нормальную подгруппу. Тогда rad 20(G \ SH) = G \ SH \ r.

:

было показано, что F2Cq = F2+F2q¡1, если 2 первообразный корень по модулю q.

10.1. Лемма. Имеет место: разложение в прямую сумму алгебр: F2S3 = M2(F2)+F2C2.

Q(3) = f§n=3k; n; k 2 Ng. Естественный эпиморфизм

колец Q(3) ! F2 приводит к указанному разложению.

Лемма доказана.

Алгебра F2C2 имеет только тривиальный автоморфизм, а алгебра M2(F2) простая, у нее внутренние

автоморфизмы Aut M2(F2) = GL2(F2) = S3. Группа S3

Радикал этой алгебры разложимый, поэтому у него есть ненулевые сдвигающие эндоморфизмы. По предложению 8.5 у алгебры существуют специальные нестандартные автоморфизмы, она не является жесткой.

В заключение рассмотрим случай G = C2 £ Cq. Отметим очевидное

188 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

10.2. Замечание. В случае G = C2£Cq :групповая алгебра имеет такое строение: F2G = F2C2+F2q¡1C2.

:

Таким образом, F2G = F2C2+F2q¡1C2. Автоморфиз- мы такой алгебры сводятся к автоморфизмам поля F2q¡1, циклического расширения поля F2, полученного

присоединением корня из единицы степени q. Îíè ñî-

ответствуют автоморфизмам: группы Cq алгебра F2G = F2C2+F2q¡1C2

группа. Теорема 0.4 доказана.

Итоги этого раздела представим таблицей жестких конечных групповых алгебр:

В этой таблице p è q обозначают простые натуральные числа, K простое конечное поле, G конечную

группу,

K[²] алгебра дуальных чисел над полем K с соотношением ²2 = 0;

Cq циклическая группа порядка q,

³q первообразный корень из единицы степени q над полем Fp. В частности, если p первообразное число по модулю q, òî Fp(³q) = Fpq¡1:

Комментарии к главе IV

Результаты этой главы опубликованы в статьях автора:

К.Н. Пономарев. Автоморфно жесткие групповые алгебры. I. Полупростые алгебры// Алгебра и Логика, 48N.5(2009), 654-674. А также: К.Н. Пономарев. Автоморфно жесткие групповые алгебры. II. Модулярные алгебры// Алгебра и Логика, 49N.2(2010), 216237.

Эти исследования имеют такую историю: в выступлении на конференции Эрлагол-2007 проф. С. К. Росошек предложил новую криптосистему, основанную на использовании групповых колец. Ключевой при определении этой системы оказалась следующая проблема.

Проблема Росошека. При каких конечных коммутативных кольцах R и конечных группах G ãðóï-

повое кольцо RG имеет только стандартные автоморфизмы?

Эта проблема по сути состоит в определении конечных автоморфно жестких групповых колец. Утверждение теоремы 0.4 решает проблему Росошека в классе групповых алгебр над конечными полями скаляров.