Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография

2. Центральные поля жестких тел

Далее обратимся к мультипликативной группе D¤ конечномерного центрального тела над полем F , зна- чит, предполагаем Z(D¤) = F ¤: Будем считать тело D некоммутативным, D =6 F: Тогда в силу теоремы Веддерберна I.0.14 поле F бесконечное. Заметим, что мультипликативная группа тела D¤ допускает це-

лое семейство центральных эндоморфизмов, индуцированных отображением приведенной нормы.

D: Рассмотрим отображение приведенной нормы тела

º = Nrd : D¤ ! F ¤:

Оно образует гомоморфизм мультипликативной груп- ïû òåëà D¤ в мультипликативную группу централь-

íîãî ïîëÿ F ¤, º 2 Hom(D¤; F ¤): При этом его ограничение на центральное поле F состоит в возведении элементов в степень n, xº = xn; x 2 F ¤; ºjF = n: Здесь n полагаем индексом алгебры: n = Ind D > 1;

dimF D = n2: Поскольку центр тела абелева группа, а коммутатор тела специальная линейная группа SL1(D) элементов с унитарным определителем Дьедонне, это отображение определяет гомоморфизм

º : D¤=SL1(D) ! F ¤:

Определим отображение d : D¤ ! D¤ для любого x 2 D¤ по формуле:

xd = x ¢ xº; d = idD + º:

82 Глава II. Определимость сложения в кольцах

По построению получается центральный эндоморфизм мультипликативной группы тела, индуцированный гомоморфизмом

º 2 Hom(D¤=SL1(D); F ¤):

Отметим, что если выбрать некоторый эндоморфизм мультипликативной группы центрального поля ² 2

End(F ¤); а взамен норменного отображения взять композицию ² ± º 2 Hom(D¤; F ¤); то также определяется центральный эндоморфизм:

d² = idD + ² ± º:

3.7. Определение. Будем называть d² индуциро- ванным центральным эндоморфизмом мультипликативной группы тела (индуцированным эндоморфизмом ² мультипликативной группы центрального по-

ëÿ).

Заметим, что нильпотентные эндоморфизмы мультипликативной группы поля индуцируют центральные автоморфизмы мультипликативной группы тела:

3.8. Лемма. Предположим, эндоморфизм мультипликативной группы центрального поля ² 2 End(F ¤)

нильпотентен, для натурального m 2 N выполняется ²m = 0:

Тогда индуцированный центральный эндоморфизм d² является центральным автоморфизмом мульти-

пликативной группы D¤:

В самом деле, заметим вначале, что в этих условиях эндоморфизм ² ± º нильпотентен, (² ± º)m = 0:

Действительно, º(D) µ F: Ïðè ýòîì ºjF = n: Потому

(² ± º)m(D) µ ² ± º : : : ²(F ) = ²m(F (nm¡1) = 1:

Единица является нулевым элементом мультипликативной группы тела. Значит, в мультипликативной группе D¤ эндоморфизм ²±º оказывается нильпотентным:

(² ± º)m = 0:

Тогда по формуле суммы геометрической прогрессии выводим:

d¡² 1 = (id + ² ± º)¡1 = id ¡ ² ± º + (² ± º)2 ¡ : : : :

Отсюда следует обратимость эндоморфизма d²: Это доказывает лемму.

Åñëè ² = 0; то индуцированный центральный авто-

морфизм d² тождествен и утверждение леммы тривиально. Однако ненулевой эндоморфизм ² также может

индуцировать тождественный центральный автоморфизм d²: Такие эндоморфизмы выделяются следующим необходимым признаком:

3.9. Лемма. Для произвольного ² 2 End(F ¤) åñ-

ëè d² = id; то в мультипликативной группе поля выполнено равенство n² = 0; в мультипликативной

Ÿ 4. Однородные поля

Несложно указать абелевы группы, которые имеют только нулевые нильпотентные эндоморфизмы. Например, такова прямая сумма циклических групп взаимно простых порядков. Поэтому наличие у абелевой группы ненулевых нильпотентных эндоморфизмов признак некоторой однородности прямых слагаемых этой группы.

В предложении 4.1 установим некоторые свойства однородности абелевой группы, которые обеспечивают наличие у нее нильпотентного эндоморфизма без кручения. Эти свойства позволяют установить однородность многих классов полей. В предложении 4.5 установлено, что свойство однородности поля сохраняется в случае конечного расширения поля. После этого доказательство теоремы 0.6 об однородности конечных расширений чисто трансцендентного расширения поля выводится из структуры мультипликативной группы чисто трансцендентного расширения поля, установленной в лемме 4.4.

1. Эндоморфизмы абелевых групп и однородность

4.1. Предложение. Пусть абелева группа A обладает хотя бы одним из следующих свойств:

1)она обладает собственной свободной факторгруппой по непериодической (в частности, ненулевой) подгруппе;

86Глава II. Определимость сложения в кольцах

2)она имеет делимую подгруппу без кручения, фактор по которой образует непериодическую (в частности, ненулевую) группу.

Тогда у группы A имеется нильпотентный эндоморфизм ' 2 End(A); не имеющий кручения, для которого при любом n 2 N выполняется неравенство

n' 6= 0:

В самом деле, в первом случае в силу проективности свободной группы получаем прямое разложение A = F © L; в котором группа F свободная,

à L непериодическая группа. Найдется ненулевой

гомоморфизм ÃF : F ! L; образ которого образует непериодическую группу. Составной эндоморфизм ' = ÃF ©0L является 2-нильпотентным. Образ его об-

разует непериодическую группу, поэтому ' кручения

не имеет.

Во втором случае в силу инъективности делимой подгруппы получаем прямое разложение A = Q © L;

в котором Q делимая группа без кручения, а группа L непериодическая группа. Найдется ненулевой

гомоморфизм ÃL : L ! Q; образ которого не имеет

кручения. Составной эндоморфизм ' = 0Q ©ÃL будет 2-нильпотентным. Образ его образует непериодическую группу, поэтому ' не имеет кручения. Предложение

доказано.

4.2. Пример. Из этого предложения и структуры мультипликативных групп полей следует, что мультипликативные группы следующих полей допускают нильпотентные эндоморфизмы, не имеющие кручения:

конечного алгебраического расширения поля рациональных чисел, алгебраически замкнутого поля произвольной характеристики, вещественно замкнутого поля, для любого простого p ïîëå p-адических чисел.

Все они примеры однородных полей.

В силу замечания 3.11 над этими полями нет конечномерных жестких алгебр с делением. Для них выполняется утверждение следствия 0.5, подтверждается гипотеза этой главы.

4.3. Замечание. Мультипликативная группа (локально) конечного поля изоморфна прямой сумме (квази)циклических групп C(pnp); np 2 N[f0; 1g ïî ìíî-

жеству простых чисел p. Эта группа имеет только ну-

левой нильпотентный эндоморфизм. Локально конеч- ные поля неоднородные.

Следует добавить, что в силу теоремы Веддерберна о конечных телах I.0.14 конечномерные алгебры с делением над локально конечными полями коммутативны, они являются полями.

Далее, в следствии 0.7 мы докажем однородность конечнопорожденных полей, это приведет к подтверждению гипотезы этого раздела для алгебр над конеч- нопорожденными полями.

2. Конечнопорожденные поля

4.4. Лемма. Рассмотрим поле K и его чисто трансцендентное расширение F = K(T ) посредством множества алгебраически независимых над полем K элементов t 2 T:

88 Глава II. Определимость сложения в кольцах

Тогда мультипликативная группа этого расшире- íèÿ F ¤ изоморфна прямой сумме мультипликатив-

ной группы K¤ на свободную абелеву группу мощности ® = maxf@0; jT jg: В аддитивной записи:

Это следует из факториальности кольца полиномов K[T ]: В самом деле, поле F = K(T ) совпада-

ет с полем частных кольца полиномов K[T ]; полем

дробно - рациональных дробей от переменных из множества T . Указанное разложение определяется одно-

значным представлением любого ненулевого элемента q 2 K(T ) â âèäå

q= a ¢ fg((TT));

âкотором a 2 K¤; а полиномы f(T ); g(T ) унитарные.

Далее следует каждый этот полином разложить в произведение унитарных неприводимых полиномов. Поэтому базис свободной компоненты F® = ©®Z образо-

ван всеми неприводимыми полиномами кольца K[T ]:

Остается заметить, что число неприводимых полиномов этого кольца совпадает с кардинальным числом maxf@0; jT jg: Лемма доказана.

Напомним: произвольное поле F представляется башней Q µ K µ F; в которой поле Q простое, расшире-

íèå K=Q чисто трансцендентное, а F=K алгебра-

ическое расширение. Далее алгебраическое расширение F=K разлагается в башню сепарабельного L=K è

несепарабельного F=L расширения.

Åñëè ïîëå F конечнопорожденное, то оно представ-

ляется башней конечнопорожденного чисто трансцендентного расширения K=Q и конечного алгебраиче-

ского расширения F=K: При этом дальнейшее разло-

жение на сепарабельную и несепарабельную части составляют конечные расширения.

Обратимся к доказательству теоремы 0.6. В слу- чае когда F является полем алгебраических чисел,

следует использовать мультипликативную структуру поля алгебраических чисел. Для некоторого четного m имеем F ¤ » C(m) © © Z: Утверждение следует из

= @0

предложения 4.1.

В том случае, когда поле F является трансцендент-

ным полем, доказательство следует из леммы 4.4 и предложения 4.1. Рассмотрим оставшийся случай, когда F образует конечное алгебраическое расширение

трансцендентного поля K. Утверждение теоремы будет выведено из такого предложения:

4.5. Предложение. Свойство однородности поля сохраняется при конечных расширениях, т.е. конечное расширение L=K однородного поля K приво-

дит к однородному полю L.

Для доказательства следует проверить утверждение отдельно для чисто несепарабельных и сепарабельных расширений полей.

Предварительно используем однородность поля K

и подберем нильпотентный эндоморфизм мультипликативной группы поля ² 2 End(K¤); который не имеет

кручения, при любом натуральном n 2 N выполнено неравенство n² 6= 0:

90 Глава II. Определимость сложения в кольцах

Рассмотрим вначале конечное чисто несепарабельное расширение L=K: Найдется натуральное n 2 N;

для которого Lpn µ K: Здесь p обозначает характеристическую экспоненту поля K. Условимся автоморфизм Фробениуса поля L обозначать: Fr : x ! xp; тогда Frn : x ! xpn: При любом x 2 F

Frn(x) = xpn 2 K: Тогда композиция ² ± Frn = pn²

определяет нильпотентный эндоморфизм мультипликативной группы поля L¤; который не имеет кручения.

Теперь предположим, что расширение полей L=K

сепарабельно. Рассмотрим мультипликативное норменное отображение º : L¤ ! K¤: Оно совпадает с отоб-

ражением приведенной нормы. В доказательстве леммы 3.8 показано, что композиция ² ± º : L¤ ! K¤ µ

L¤ определяет нильпотентный эндоморфизм мультипликативной группы поля L¤; не имеющий кручения.

Предложение 4.5 доказано. Это доказывает теорему 0.6 и следствие 0.7.

Комментарии к главе II

Результаты этой главы опубликованы в статье:

К.Н. Пономарев. Жесткие алгебры с делением// Алгебра и Логика, 52N.6(2013), 712 - 730.

Отметим, что в этой главе поставлена:

Проблема о жестких телах. Какие конечномерные алгебры с делением образуют UA-кольца? Верно

ли, что любая такая алгебра поле, число элементов которой не превосходит четырех?