Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография

Действительно, функция следа матрицы является ее инвариантом. Отсюда следует необходимость. Докажем достаточность.

Предположим trT = trS: Разложим полупростую

алгебру R в сумму простых компонент: R = R1 +: : :+ Rs: Оно отвечает центральному разложению единицы 1 = e1 + : : : + es: Рассмотрим модули M è N; отвеча- ющие представлениям T è S: Определим их разложе-

trS(ei) = kidi; ãäå di = jVi : Kj: Поэтому из равенства

и представления подобны. Предложение доказано.

Примечание. В этом рассуждении достаточно требовать равенства следа лишь на центре алгебры R.

3. Простота тензорных произведений

Определение бимодуля и регулярного бимодуля ассоциативного кольца см. в предыдущей монографии ЖАНК, глава 2, определение 1.4, замечание 1.5. Отметим очевидное

3.11. Замечание. Подбимодули регулярного би- модуля RRR являются идеалами алгебры R. А алгебра эндоморфизмов регулярного бимодуля изоморфна центру алгебры, EndR¡RR » C(R):

=

42 Глава I. Ассоциативные артиновы кольца

Отсюда, в частности, следует

3.12. Замечание. Алгебра над полем K является

центральной простой алгеброй тогда и только тогда, когда ее регулярный бимодуль прост, а алгебра эндоморфизмов этого бимодуля совпадает с K:

3.13. Определение. Рассмотрим ассоциативную алгебру R. Через R± обозначаем противоположную

алгебру (см. определение 1.3.10 в монографии ЖАНК). Определим канонический гомоморфизм

T : R - R± ! EndKR:

Полагаем на тензорах ранга один T (r - s)(x) = rxs

для любого x 2 R: По линейности продолжаем T на все тензорное произведение.

3.14. Замечание. Алгебра R является простой цен-

тральной алгеброй над полем K тогда и только тогда,

когда канонический гомоморфизм является изоморфизмом.

В самом деле, если алгебра простая, то она определяет простой модуль над алгеброй R - R± с телом

эндоморфизмов K. По теореме Бернсайда 3.7 канони-

ческий гомоморфизм является эпиморфизмом. К тому же jR - R± : Kj = n2 = jEndKR : Kj; поэтому это изоморфизм.

Наоборот, если канонический гомоморфизм является изоморфизмом, то можно отождествить тензорное произведение с EndKR: Поэтому R оказывается

простым R - бимодулем и его алгебра эндоморфизмов

åñòü ïîëå K. По замечанию 3.12 это центральная простая алгебра. Это поясняет замечание.

3.15. Теорема. Рассмотрим ассоциативные алгебры R è S над полем K, из которых алгебра R

простая центральная алгебра.

Утверждается, что всякий идеал алгебры R - S имеет вид R - I для некоторого идеала I алгебры S.

Достаточность утверждения очевидна. Будем проверять необходимость. Рассмотрим идеал тензорного произведения J: Определим идеал I алгебры S; äëÿ

которого J = R - I:

Рассмотрим базис алгебры R: fr1; : : : ; rng: Каждый

элемент R -S однозначно представляется в виде сум- ìû iP=1n ri - si для подходящих элементов si 2 S:

Рассмотрим линейный оператор Tk : R ! R; который переводит элемент ak в единицу, а остальные эле-

принадлежит J.

Рассмотрим некоторый изоморфизм бимодулей Á : A ! 'A: По правой части это автоморфизм регулярного A - модуля. Поэтому по замечанию 1.22 для некоторого обратимого элемента a 2 A¤ он имеет вид Á(x) = ax при любом x 2 A: Также это гомоморфизм левых B модулей, т.е. при любом b 2 B выполняется Á(bx) = bÁ(x): По определению левого действия получаем соотношение Á(bx) = '(b)Á(x):

Полагаем x = 1 и выводим при любом b 2 B ðà-

венство ab = Á(b) = '(b)Á(1) = '(b)a: Значит, '(b) =

= aba¡1: Теорема Сколема - Нетер доказана.

Теорему Сколема - Нетер часто называют первой основной теоремой теории тел. В доказательстве теоремы Веддерберна используется и вторая основная теорема этой теории теорема о двойном централизаторе.

3.18. Теорема. Рассмотрим простую центральную алгебру A над полем K и простую подалгебру

B 6 A: Рассмотрим централизатор B0 = CA(B):

число m делит число n.

В самом деле, будем рассматривать алгебру A

êàê B ¡ A бимодуль BAA, действие слева алгебры B определим левыми умножениями на элементы

46 Глава I. Ассоциативные артиновы кольца

алгебры A. По замечанию 3.16 алгебра A - B± ïðî-

стая, поэтому A - B± » M (D): Обозначим через U

= n

простой модуль над этой алгеброй. Бимодуль BAA можно рассматривать как левый A - B± модуль, он

В самом деле, если ' 2 EndA-B±(BAA); тогда справа это эндоморфизм регулярного модуля AA; по замечанию 1.22 для подходящего a 2 A при любом x 2

A имеем '(x) = ax: Также при любом b 2 B выполняется '(bx) = b'(x): Полагаем x = 1 и выводим тождество ab = ba для любого b 2 B: Заключаем

a 2 CA(B) = B0: Обратное включение очевидно, поскольку любая гомотетия x ! ax äëÿ a 2 B0 является

= nd; получаем jA : Kj = mnd: Однако jA : KjjB :

Kj = jA - B± : Kj = n2d; à jB0 : Kj = m2d: Ïî-

этому jB : Kj = n2d=mnd = n=m; значит, m делит n и выполнено равенство jA : Kj = jB : KjjB0 : Kj:

сюда выводим: jB00 : Kj = jA : Kj=jB0 : Kj = jB : Kj:

Выполнено равенство B00 = B: Теорема доказана.

Из этой теоремы нетрудно вывести

3.19. Замечание. Подполе L òåëà D максимально

только и только, если L = CD(L): В случае центрального тела D выполнено соотношение jD : Kj = jL :

Kj2; ïðè ýòîì D - L » M (L) n = jL : Kj:

= n

3.20. Замечание. Размерность центральной простой алгебры является квадратом целого числа. В слу- чае центрального тела это целое число равно размерности любого максимального подполя.

Докажем теорему Веддерберна 0.14. Рассмотрим максимальное подполе L конечной алгебры с де-

лением D. В силу замечания 3.19 все эти конечные

Предположим, что D¤ 6= L¤; и приведем это предпо-

ложение к противоречию.

Обозначим порядки мультипликативных групп n = jD¤j; m = jL¤j: Тогда, поскольку мультипликативные

группы полей содержат общий единичный элемент, из представления следует n < mk; ãäå k число мак-

симальных полей. Если g = g0h; ãäå h 2 L¤; òî ýòè

элементы определяют одно и то же максимальное поле. Поэтому k 6 jD¤ : L¤j = i: По теореме Лагранжа

Действительно, для любого расширения полей F=K

4.3. Замечание. Рассмотрим алгебру R; определенную над полем K, обозначим C(R) ее центр. Тогда для любого расширения поля L центр тензорного

пополнения получается пополнением центра алгебры:

C(R -K L) ' C(R) -K L:

Это выводится из такого свойства:

åñëè frig базис алгебры R; то базис тензорного по-

полнения алгебры образован элементами fri - 1g(см. следствие 3.6.6 монографии ЖАНК).

Отсюда получается такое

4.4. Замечание. Тензорное пополнение центральной простой алгебры также образует центральную простую алгебру.

Таким образом, класс простых центральных алгебр устойчив относительно тензорных пополнений поля определения. Пополнение упрощает структуру такой алгебры. Алгебра матриц рассматривается в качестве самой простой центральной простой алгебры, произвольная алгебра посредством пополнения приводится к матричной.

4.5. Определение. Поле L называется полем расщепления центральной простой алгебры R; åñëè:

1)оно является расширением центрального поля алгебры K;

50 Глава I. Ассоциативные артиновы кольца

2)пополнение центрального поля алгебры K äî ïîëÿ L приводит к алгебре матриц,

R - L » M (L):

K = n

4.6. Замечание. Любое расширение поля расщепления алгебры R до большего поля определяет поле

расщепления алгебры R.

4.7. Замечание. Максимальное подполе центральной простой алгебры является ее полем расщепления. Значит, у центральной простой алгебры поля расщепления существуют.

Это следует из замечания 3.19.

Определение 4.5 очевидным образом обобщается на полный класс алгебр над полем K.

4.8. Определение. Поле L называется полем рас-

щепления конечномерной K-алгебры R, åñëè ýòî ïî-

ле расщепления любой простой компоненты ее факторкольца по радикалу, R=R(R).

Структура сепарабельных алгебр определяется в следующем утверждении.

4.9. Замечание. Алгебра R над полем K сепара-

бельна тогда и только тогда, когда она представляется конечной прямой суммой простых алгебр с сепарабельными центрами.

Действительно, в силу теоремы 0.11 алгебра R

представляется конечной прямой суммой алгебр матриц: R = Mn1(L1)© © : : : © Mns(Ls): Достаточно проверить утверждение для одной матричной алгебры.