Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография

72 Глава II. Определимость сложения в кольцах

образует мультипликативно распознаваемый класс полей. Он образован кольцами, у которых мультипликативные полугруппы образованы циклическими группами порядка pn ¡1; n 2 N; дополненными нулевыми

элементами.

2. Жесткие поля

Используем эти замечания и определим, какие поля образуют жесткие кольца.

2.6. Предложение. Поле образует UA-кольцо то-

гда и только тогда, когда число его элементов не превышает четырех. Это одно из трех конечных полей: F2; F3; F4:

Проверим достаточность. Установим, что указанные поля представляют UA-кольца. В силу приме-

ра 2.5 и замечания 2.4 достаточно установить автоморфную жесткость этих полей. Проверим, что автоморфизмы мультипликативной группы любого такого поля определяют автоморфизмы самого поля.

Автоморфная жесткость F2 очевидна, ведь мульти- пликативная группа этого поля единичная группа,

F¤2 = e:

F3 мультипликативная группа цикличе- ская группа второго порядка. Она имеет только неподвижный автоморфизм. Разумеется, он определяет неподвижный автоморфизм самого поля F3:

F4 мультипликативная группа цикличе- ская третьего порядка, поэтому Aut F¤ » Z : Группа

4 = 3

ее автоморфизмов порождается автоморфизмом Фробениуса этого поля Fr : x ! x2 = ¡x:

Это завершает проверку достаточности. Проверим необходимость. В силу замечания 2.2 следует проверить, что все автоморфно жесткие поля перечислены в списке. Рассмотрим автоморфно жесткое ïîëå F , пусть F ¤ его мультипликативная группа, она

образует абелеву группу.

Напомним, что для любой абелевой группы A единицей кольца ее эндоморфизмов End(A) служит тож-

дественное отображение idA: Поэтому 2idA = 0 равносильно тому, что 2A = 0; все элементы группы перио-

äà äâà.

Рассмотрим вначале случай поля, в котором выполняется условие (F ¤)2 = 1; тогда в поле выполнено

либо соотношение X2 = X; ëèáî X3 = X: Ýòî ïîëå,

æå F 6= F3: В этом случае инверсия, отображение мультипликативной группы x ! x¡1 образует нетож-

дественный автоморфизм мультипликативной группы. В силу жесткости она определяет автоморфизм поля F . В частности, при любых x =6 0; y =6 0 с условием

x + y 6= 0 выполняется соотношение:

x1 + y1 = x +1 y:

Доказательство следует из такого утверждения.

2.7. Лемма. Предположим, что в поле F при любых ненулевых x =6 0; è y =6 0 с условием x + y =6 0

В самом деле, в условиях предложения рассмотрим отображение обратимых элементов алгебры, определенное по формуле: x ! (x¤)¡1: Очевидно, оно опре-

деляет автоморфизм мультипликативной группы алгебры.

Предположим автоморфную жесткость алгебры R.

Тогда это отображение определяет автоморфизм самого кольца R. В частности, для любых элементов

x; y 2 R с условием обратимости суммы x + y выполняется соотношение:

В частности, такое соотношение выполняется для x; y 2 F: Заключение предложения 2.8 следует

из леммы 2.7.

Алгебры обобщенных кватернионов обладают инволюцией, они некоммутативны, поэтому по теореме Веддерберна о конечных телах такие алгебры образуют тела только над бесконечными полями.

Выведем утверждение теоремы 0.3. В самом деле, достаточность следует из теоремы Стефенсона. А необходимость из автоморфной жесткости UA-

алгебр замечания 2.2, предложения 2.8 и теоремы Веддерберна I.0.14 о конечных телах. Это доказы- вает теорему.

Заметим в заключение раздела, что класс конечномерных алгебр с делением, обладающих инволюцией,

G ! G называется центральным эндоморфизмом, если он тождествен по модулю центра, для любого g 2 G выполняется g¡1 ¢ '(g) 2 Z:

Очевидно, такой эндоморфизм в почти кольце преобразований GG представляется в виде такой сум-

ìû ' = idG + °; в которой есть тождественное преобразование и гомоморфизм ° : G ! G в центр груп-

ïû, °(G) µ Z: Этот гомоморфизм индуцируется соответствующим гомоморфизмом абелевых групп ° :

G=G0 ! Z; ° = ¶ ± ° ± ¼; здесь ¼ : G ! G=G0 êàíî-

ническая проекция, а ¶ : Z ! G каноническое вложение. Будем называть центральный эндоморфизм '

индуцированным гомоморфизмом ° 2 Hom(G=G0; Z):

Если центральный эндоморфизм ' : G ! G îáðà-

зует автоморфизм группы, то его называем центральным автоморфизмом группы G:

3.2. Лемма. Рассмотрим внутренний автоморфизм группы ' : G ! G; определенный элементом

g 2 G:

Это центральный автоморфизм тогда и только тогда, когда определяющий элемент g принадлежит

второму члену верхнего центрального ряда группы:

g 2 ³2(G); т.е. когда [G; g] µ Z(G):

В самомg äåëå, это следует из такого соотноше-

íèÿ: x = x[x; g]:

Далее будем применять эти определения к мультипликативным группам тел.

78 Глава II. Определимость сложения в кольцах

Отметим, что следующая лемма выполняется для любых (не обязательно конечномерных) алгебр с делением. Для обратимых элементов x; y через [x; y] îáî-

значаем коммутатор: [x; y] = x¡1y¡1xy:

3.3. Лемма (Валицкаса). В любом некоммутативном теле D при любых неперестановочных a; b 2 D;

ab 6= ba; выполняется такое рациональное тождество:

a= (1 ¡ [a ¡ 1; b])([a; b] ¡ [a ¡ 1; b])¡1

Âсамом деле, â ñèëó ab 6= ba имеем 0 6= a 6= 1;

также b 6= 0; элементы a; a ¡ 1; b обратимые. Выводим равенства:

1 ¡ ab = 1b ¡ ab = (1 ¡ a)b = 1 ¢ (1 ¡ a)b =

=¡(a ¡ 1)(a ¡ 1)¡1(a ¡ 1)b =

=¡(a ¡ 1)[a ¡ 1; b] = ¡a[a ¡ 1; b] + [a ¡ 1; b]:

Откуда следует

1 ¡ [a ¡ 1; b] = ab ¡ a[a ¡ 1; b] = ¡a[a ¡ 1; b] + a[a; b] =

= a([a; b] ¡ [a ¡ 1; b]):

Значит, a = (1 ¡ [a ¡ 1; b])([a; b] ¡ [a ¡ 1; b])¡1: Лемма

доказана.

3.4. Замечание. Рассмотрим произвольное (возможно, бесконечномерное) тело D. Утверждается, что

³2(D¤) = Z(D¤): В частности, внутреннее представление элементов мультипликативной группы тела автоморфизмами сопряжения является точным.

Действительно, предположим ³2(D¤) 6= Z(D¤): Рассмотрим b 2 ³2(D¤)nZ(D¤): Подберем элемент a 2 D¤

неперестановочный с b; ab =6 ba: В силу леммы 3.3 получаем соотношение

a = (1 ¡ [a ¡ 1; b])([a; b] ¡ [a ¡ 1; b])¡1:

Все коммутаторы в правой части представляют цен-¤ тральные элементы тела, поэтому получается a 2 Z(D ):

Это противоречит неперестановочности a è b:

Из этого замечания и теоремы Сколема Нетер уже следует, что у жесткой конечномерной алгебры с делением все центральные автоморфизмы тождественные. Однако рациональное тождество, выведенное в лемме 3.3, позволяет избавиться от условия конечномерности. Выводим основной результат тождественность центральных автоморфизмов мультипликативной группы жесткого тела:

3.5. Предложение (Валицкаса). Если некоммутативное тело D (возможно, бесконечномерное)

автоморфно жесткое кольцо, то у его мультипликатив- ной группы D¤ имеется только тождественный цен-

тральный автоморфизм.

Действительно, рассмотрим автоморфно жесткую алгебру с делением D и центральный автоморфизм ее

мультипликативной группы d : D¤ ! D¤: Отметим,

что центральный автоморфизм неподвижен на мультипликативных¤коммутаторах тела, при любых обратимых x; y 2 D выполняется d([x; y]) = [x; y]:

80 Глава II. Определимость сложения в кольцах

В силу автоморфной жесткости автоморфизм мультипликативной группы d продолжается до автомор-

физма самого тела d0 : D ! D: Он получается доопределением d0(0) = 0:

Заметим вначале, что автоморфизм d0 неподвижен

на нецентральных элементах тела. В самом деле, рассмотрим a 2 DnZ(D): Подберем b 2 D; для которого

ab =6 ba: Тогда по лемме 3.3 элемент a представляется равенством

a = (1 ¡ [a ¡ 1; b])([a; b] ¡ [a ¡ 1; b])¡1:

Применим0 к обеим частям этого равенства автоморфизм d ; используем замечание о коммутаторах и вы-

водим d0(a) = a:

Отметим, что автоморфизм d0 неподвижен и на цен- тральных элементах. Если c 2 Z(D) центральный элемент, а a какой-нибудь нецентральный элемент, то и произведение ac образует нецентральный элемент тела. Поэтому ac = d0(ac) = d0(a)d0(c) = ad0(c): Зна- чит, в самом деле d0(c) = c:

Заключаем, что автоморфизм d0, а вместе с ним и d является тождественным. Предложение доказано.

Из этого предложения выводится

3.6. Замечание. Если у мультипликативной группы алгебры с делением имеется нетождественный центральный автоморфизм, то она не является автоморфно жесткой алгеброй.