Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Теория T называется жесткой относительно обеднения сигнатуры §0 µ §, если любая ее модель является жесткой.

Проблема жесткости отдельных моделей теории T

содержательна только для теорий T , которые сами жесткими не являются. Возникает

Проблема жесткости теории. Как по системе аксиом теории T и заданного обеднения ее сигнатуры

§0 µ § определить, является ли эта теория жесткой?

Заметим, что помощь в решении этой проблемы могут оказать теоретико - модельные свойства (не)явной определимости и связанное с ними понятие разложи- мости теории.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Теория T сигнатуры § называ-

ется разложимой, если она является дедуктивным замыканием в исчислении предикатов сигнатуры § âñåõ

предложений некоторых теорий T1; T2 дизъюнктных сигнатур §1; §2 с условиями:

§ = §1 [ §2; §1 \ §2 = ?; §i 6= ?; i = 1; 2:

Теории T1 è T2 называются компонентами разложения теории T; а компоненты сигнатуры §1 è §2

сигнатурными компонентами теории T:

Исследование понятия разложимости было начато в работах: Д.К. Пономарев. Критерий разложимости элементарных теорий // Сиб.м. ж., 49 N.1(2008),

189-192, и А.С. Морозов, Д.К. Пономарев. О разрешимости проблемы разложимости для конечных теорий // Сиб.м. ж., 51 N.4(2010), 838-847.

Отметим, что в первой работе была решена проблема разложимости теории, поставленная Д.Е.Паль- чуновым. Там же была доказана однозначность разложения теории на неразложимые компоненты. Во второй работе были исследованы свойства, связанные с распознаванием разложимости.

На связь понятия разложимости с проблемой жесткости теории указывает такое несложное замечание: если теория T разложимая, причем в ее разложении

части сигнатуры §n§0 è §0 принадлежат различным

сигнатурным компонентам, тогда жесткой эта теория не является.