Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография

1.16. Предложение. Для артинова ассоциативного кольца R его классический радикал R(R) ÿâëÿ-

ется наибольшим из двусторонних идеалов ACR таких, что элемент 1 ¡ ax обратим при всех a 2 A è

x 2 R.

Действительно, в силу леммы 1.14 для доказательства предложения следует показать, что при всех x 2 R(R) элемент 1 ¡ x является обратимым.

Пусть y левый обратный, y(1 ¡ x) = 1: Тогда z = 1 ¡ y = ¡yx 2 R(R). В силу леммы 1.14 найдется y0 2 R; для которого 1 = y0(1 ¡ z) = y0y: Поэтому по замечанию 1.15 y обратимый, а вместе с ним и

1 ¡ x = y¡1: Предложение доказано.

4. Равенство радикалов

Обратимся к доказательству теоремы 0.3. В силу замечания 1.4 утверждение теоремы 0.3 состоит в равенстве класса s - полупростых алгебр классу R -

полупростых алгебр в случае артиновых ассоциативных алгебр.

1.17. Замечание. В теореме 1.17.6 монографии ЖАНК установлено, что класс s - полупростых неас-

социативных артиновых колец есть конечные прямые суммы простых колец.

Поэтому доказательство теоремы сводится к проверке утверждения теоремы 0.6. Следует показать, что если R ассоциативное артиново кольцо, которое яв-

ляется R - полупростым, т.е. R(R) = 0; то оно представляется конечной прямой суммой простых колец.

32Глава I. Ассоциативные артиновы кольца

Âсамом деле, рассмотрим регулярный левый R

-модуль кольца RR: По предположению он является полупростым модулем, R(R) = 0. В частности, этот

модуль представляется суммой своих простых подмодулей (определение 2.4.1 предыдущей монографии автора). В силу предложения 2.4.15 предыдущей монографии автора он представляется прямой суммой своих простых подмодулей. Это позволяет далее использовать теорию полупростых модулей, изложенную в этой монографии.

1.18. Определение. Полупростой модуль называется однородным, если все его простые подмодули изоморфны.

1.19. Определение. Компонентой однородности

полупростого модуля называется подмодуль, образованный суммой всех попарно изоморфных простых подмодулей.

1.20. Замечание. Полупростой модуль разлагается в прямую сумму своих однородных компонент, это показано в ЖАНК, замечание 2.4.24.

1.21. Замечание. Компоненты однородности ре- гулярного модуля RR вполне характеристичные. Операторы правого умножения являются эндоморфизмами регулярного модуля. Поэтому компоненты однородности образованы двусторонними идеалами кольца R. Это отмечено в ЖАНК, замечание 2.4.25.

Более того, верно и обратное:

1.22. Замечание. Алгебра R - линейных преобра-

зований EndR(RR) регулярного модуля RR совпадает с кольцом правых умножений на элементы кольца R:

EndR(RR) = Tr(R):

Действительно, для произвольного ' 2 EndR(RR)

и любого r 2 R имеем '(r) = '(r ¢ 1) = r ¢ ('(1)) =

= T'(1)(r): Отсюда следует замечание.

Из этих замечаний следует утверждение теоремы 0.6, а также теоремы 0.3.

Ÿ 2. Нильрадикал и разложение

1. Нильрадикал

2.1. Определение. Левым (правым) нильидеалом кольца R называется такой идеал, элементы которого

нильпотентны.

2.2. Замечание. Всякий левый (правый) нильидеал ассоциативного кольца R содержится в его ради-

êàëå.

В самом деле, для левого идеала это следует из леммы 1.14, поскольку нильпотентный элемент x 2 R

определяет обратимый элемент 1¡x: Для правого иде-

àëà утверждение выполняется в силу симметрии.

2.3. Лемма. Рассмотрим левый идеал I ассоциативного кольца R. Утверждается, что включение I µ R(R) выполняется тогда и только тогда, когда

34 Глава I. Ассоциативные артиновы кольца

для любого ненулевого R модуля конечного типа выполнено IM =6 M: В частности, R(R)M =6 M:

Действительно, необходимость условия для модуля конечного типа вытекает из замечания 1.7 и замечания 1.12. Обратно, если для модуля конечного типа IM =6 M; то для любого простого модуля S будет

IS = 0; значит, по замечанию 1.11 I µ R(R): Это доказывает лемму.

Докажем теорему 0.8. В силу замечания 2.2 нужно доказать нильпотентность радикала s(R) = R(R):

Рассмотрим невозрастающую последовательность идеалов R(R) ¶ R(R)2 ¶ : : : : В силу артиновости эта

последовательность стабилизируется на конечном шаге n; обозначим S = R(R)n: Докажем от противного,

÷òî S = 0:

Предположим, что S =6 0: Рассмотрим семейство левых идеалов I с тем свойством, что SI =6 0: Ýòî

семейство включает идеал R(R); оно непустое. Ис-

пользуем артиновость кольца и определим минимальный такой левый идеал J: Тогда выполнены тожде-

ñòâà S(R(R)J) = (SR(R))J = SJ 6= 0: Поскольку R(R)J µ J; в силу минимальности R(R)J = J:

По предположению найдется x 2 J; для которого Sx =6 0: Следовательно, S(Rx) =6 0; ïðè ýòîì Rx µ J: В силу минимальности Rx = J: Таким образом, идеал

J конечного типа, получили противоречие с утверждением леммы 2.3.

36 Глава I. Ассоциативные артиновы кольца

2.5. Замечание. Рассмотрим простые R модули M è N: Тогда в случае изоморфизма этих модулей ал-

гебра R гомоморфизмов HomR(M; N) является телом, в противном случае это нулевая алгебра.

Доказательство вытекает из того, что ядро и образ гомоморфизма модулей образуют подмодули простого модуля.

Ÿ 3. Алгебры с делением

1. Модули над полупростыми алгебрами

Следующее замечание выводится из свойства разложения единицы.

3.1. Замечание. Пусть M модуль над полупро-

стой алгеброй R. Пусть R = R1©: : :©Rs разложение алгебры в сумму простых, оно отвечает центральному разложению единицы 1 = e1 +: : :+es алгебры. Утвер- ждается, что модуль представляется прямой суммой M = Ls eiM; в которой каждое слагаемое eiM ÿâëÿ-

i=1

ется модулем над простой алгеброй Ri:

3.2. Определение. Пусть V простой модуль.

Кратным модулем называется конечная прямая сумма модулей изоморфных V . Если число слагаемых рав-

íî k, то обозначаем такой модуль kV: Это число называем кратностью модуля.

3.3. Пример. Регулярный модуль RR простой алгебры R является кратным модулем. Если R = Md(D); то число d кратность этого модуля.

В самом деле, в силу теоремы 0.10 будем считать R = = Md(D) для некоторого натурального d и алгеб-

ры с делением D: Рассмотрим векторное пространство

V над телом D размерности d: Выберем некоторый

базис этого пространства и определим естественное действие алгебры матриц R = Md(D) на этом пространстве. Это действие однотранзитивно на множестве V n0; поэтому так определенный модуль является

простым. Всякая матрица A èç Md(D) представляется суммой строчных матриц A = A1 + : : : Ad, в которых все элементы кроме элементов строки i нулевые. Для

каждого i пространство матриц Ai образует модуль, изоморфный простому модулю V . Поэтому очевид-

R » dV:

íî R =

В случае конечнопорожденного модуля подобные рассуждения приводят к такому

3.4. Замечание. Рассмотрим конечнопорожденный модуль W над простой алгеброй R » M (D). Тогда

= d

он является кратным модулем, для подходящего натурального k и простого R - модуля V имеем W » kV .

=

Ïðè ýòîì End W » M (D):

R = k

Заключительное утверждение замечания вытекает из леммы Шуры 2.4 D = EndRV и представления эндоморфизмов кратного модуля матрицами.

Все эти замечания приводят к такому общему утверждению

38 Глава I. Ассоциативные артиновы кольца

3.5. Предложение. Рассмотрим полупростую алгебру R; простые компоненты которой составляют:

R1; : : : ; Rs:

Утверждается, что любой R модуль W ÿâëÿ-

ется полупростым, он однозначно представляется в виде прямой суммы кратных модулей: W = Ls kiVi â

i=1

которой каждый модуль Vi простой Ri - модуль.

3.6. Замечание. Если M модуль над полупро-

Здесь учитываем, что Hom(Vi; Vj) = 0 ïðè i =6 j:

Докажем теорему плотности для полупростых модулей.

3.7. Теорема (Бернсайда). Пусть M полупро-

стой модуль над алгеброй R, à B = EndR(M): Рассматриваем модуль M и определим R0 = EndB(M):

Каждому элементу r 2 R поставим в соответствие эндоморфизм r0 2 R0; полагая для любого x 2

M r0(x) = rx:

Утверждается, что отображение 0 является эпиморфизмом алгебр.

Докажем теорему. Вначале заметим, что в формулировке теоремы можно заменить алгебру R åå ôàê-

тором R=annR: Это позволяет считать модуль M òî÷-

ным, а алгебру R полупростой. Это будет предполагаться.

образом, eiM = kiVi:

Обозначим простой Bi - модуль Ui; пусть для B - модуля eiM = miUi:

Пусть jDi : Kj = di; тогда jVi : Kj = nidi; также jUi : Kj = = kidi; заключаем

jeiM : Kj = kinidi = mikidi;

поэтому

Значит, полученное отображение 0 определяет изомор-

физм фактора алгебры R=annR: Оно получено из эпиморфизма полной алгебры R: Теорема доказана.

40 Глава I. Ассоциативные артиновы кольца

2. Представления алгебр

3.8. Определение.

1. Представлением алгебры R над полем K называют гомоморфизм ее в алгебру матриц: T :

R ! Md(K):

2.Два представления T : R ! Md(K) è S : R !

называются подобными если и

эти отображения сопряжены некоторым обратимым элементом A алгебры матриц: при лю-

áîì r 2 R выполняется равенство

T(r) = A¡1S(r)A:

3.Следом представления T называется функция

trT которая любому элементу r 2 R ставит T (r); т.е. сумму

диагональных элементов матрицы T (r):

3.9. Замечание. Представление T : R ! Md(K) определяет на векторном пространстве Kd структуру

R - модуля. Подобие представлений при этой трактов-

ке сводится к изоморфизму модулей. Далее, разложение модуля в прямую сумму означает вполне приводимость соответствующего представления.

Из предложения 3.5 выведем критерий подобия представлений.

3.10. Предложение. Два представления полупростой алгебры R над полем нулевой характеристики

подобны тогда и только тогда, когда они определяют одинаковые следы, т.е. при любом r 2 R выполняет-

ся равенство следов trT (r) = trS(r):