Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография

Фактор-алгебра R0 = R=J является полупростой

артиновой F -алгеброй, она разлагается в прямую сум-

: :

R0 = S1+ : : : +Sn. Такое разло- жение определяется разложением единицы алгебры в сумму примитивных центральных ортогональных идемпотентов единиц компонент, 1R=J = e1 + : : : + en.

Такое разложение определяется однозначно с точ- ностью до перестановки слагаемых, компонент факторалгебры R=J. Используем предложение 7.1 и выберем

некоторое поднятие ортогональной системы центральных идемпотентов fe1; : : : ; eng фактор-алгебры R=J äî0ортогональной0 системы центральных идемпотентов fe1; : : : ; eng полной алгебры R.

Обратимся к бимодулям. Категория R=J ¡ R=J-

бимодулей эквивалентна категории правых модулей над обертывающей алгеброй (R=J)e = (R=J)op-(R=J).

F

Здесь (R=J)op алгебра, противоположная алгебре

R=J, умножение в ней задается симметричным обра-

зом. Уточним строение обертывающей алгебры. Алгебра R=J полупростая артинова алгебра, она

представима как прямая сумма некоторых матричных алгебр Mnk над полями Fk. Хорошо известно, что матричные алгебры обладают инволюциями, они изоморфны своим противоположным алгебрам. Отсюда следует (R=J)op » (R=J), и обертывающая алгебра изо-

=

морфна тензорной степени (R=J)e » (R=J)-2.

=

Поскольку алгебра R=J полупростая артинова

алгебра над конечным и совершенным полем F , îíà

сепарабельна, и такая степень образует сепарабельную и полупростую алгебру, в которой примитивными

162 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

ei - ej. Это позволяет при изучении R=J¡R=J-бимодулей исполь-

зовать всю теорию правых модулей над полупростой алгеброй R=J-2, что мы и будем делать далее при до-

казательстве предложения. -2 полупро- Поскольку тензорная степень (R=J)

стая алгебра, произвольный R=J-бимодуль предста-

вим как прямая сумма простых бимодулей, изоморфных простым подбимодулям Si - Sj регулярного би-

модуля R=J (R=J)-R=J2 . Каждый простой бимодуль T ïî- рождается любым ненулевым элементом t 2 T . Имеем

T = SitSj = (R=J)eitej(R=J).

Заметим, что R=J-бимодули Jm=Jm+1 являются фак-

торами алгебры R; и в их разложении встречаются

только простые бимодули, изоморфные подбимодулям Si - Si с равными индексами.

Действительно, рассмотрим простую компоненту T бимодуля Jm=Jm+1. Пусть 0 6= t 2 T , à t0 какой-

нибудь прообраз этого элемента в полной алгебре R. В тождестве выше имеем

T = (R=J)eitej(R=J) = (Re0i)t0(e0jR)=J:

Поскольку fe01; : : : ; e0ng система центральных ортогональных идемпотентов всей алгебры R, ïðè i 6= j

получаем T = 0.

По лемме Шуры (замечание I.2.4) достаточно доказать, что у бимодулей J=J2 è Jn¡1 есть изоморфные

простые компоненты. Будем доказывать индукцией по m = 1; : : : ; n ¡ 1, что у бимодулей J=J2 è Jm=Jm+1

имеются изоморфные простые компоненты. При этом база индукции для m = 1 очевидна.

Перейдем к шагу индукции и предположим, что для m < n ¡ 1 уже известно, что бимодули J=J2 è

Jm=Jm+1 имеют изоморфные компоненты. Рассмот-

рим их разложение в сумму простых бимодулей, в котором вначале как раз стоят изоморфные компоненты. Если потребуется, произведем перенумерацию идемпотентов:

J=J2 = (R=J)e1i1;1e1(R=J)+: : : : ;

Jm=Jm+1 = (R=J)e1j1;1e1(R=J)+: : : : :

Здесь изоморфные бимодули собраны по первому индексу. m+1

Поскольку m < n¡1, J =6 0. Поэтому ik;s ¢jk;t =6 0 и умножение на ik;s определяет ненулевой гомоморфизм простых бимодулей для некоторых номера k è

индексов s; t . По лемме Шуры (замечание I.2.4) сла-

гаемые (R=J)ekik;sek(R=J) è (R=J)ekik;sjk;tek(R=J)

изоморфные простые бимодули. Предложение доказано.

Ÿ8. Специальные автоморфизмы алгебр

Âэтом параграфе используем такие обозначения: F конечное поле, R конечномерная F -алгебра,

которая не является полупростой. Пусть J = J(R) ее радикал, n его ступень нильпотентности, значит, Jn = 0, Jn¡1 =6 0, n > 1. Гомоморфизм проекции будем обозначать ¼ : R ! R=J.

164 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

Поскольку F конечное и совершенное поле, фактор R=J является сепарабельной F -алгеброй. По теореме Веддерберна Мальцева I.0.17 в алгебре R найдется такая полупростая F -алгебра S, алгебра представителей, которая расщепляет расширение J äî R,

R = S © J.

8.1. Определение. Автоморфизм ' алгебры R называется специальным, если при любом x 2 R выполняется включение °(x) = x' ¡ x 2 ann J \ J.

8.2. Замечание. Нетрудно заметить, что специальные автоморфизмы алгебры R образуют подгруп-

пу группы автоморфизмов алгебры, будем обозначать ее через SpAut R.

Заметим, что специальные автоморфизмы определяют тождественные ограничения на квадрат радикала: если x; y 2 J, òî

(xy)' = x'y' = (x + °(x))(y + °(y)) = xy:

Таким образом, 'jJ2 = IdJ2.

Специальные автоморфизмы, неподвижные на некоторой алгебре представителей S, образуют подгруп-

пу, условимся обозначать ее как SpAut(R=S). Далее,

в предложении 8.5 элементы этой группы будут параметризованы бимодулем гомоморфизмов

Hom(J=J2; ann J \ J):

1. Сдвигающие гомоморфизмы и специальные автоморфизмы

8.3. Определение. Условимся гомоморфизм модулей ' : M ! N называть сдвигающим, если для

любого x 2 M èç '(x) = x следует x = 0.

В частности, если модули M è N различны, то

любой гомоморфизм между ними является сдвигающим. Это понятие становится содержательным для равных модулей M = N. В этом случае сдвигающие

гомоморфизмы являются эндоморфизмами, будем называть их сдвигающими эндоморфизмами. Например, нулевой эндоморфизм произвольного модуля тривиальным образом является сдвигающим.

Выскажем несколько суждений о существовании ненулевых сдвигающих эндоморфизмов ненулевого модуля M.

8.4. Замечание. Если F =6 F2, то для любого эле- мента 0 =6 a =6 1 гомотетия тождественного эндомор-

физма aIdM : M ! M определяет ненулевой сдвигающий эндоморфизм. В этом случае всегда имеется ненулевой сдвигающий эндоморфизм любого ненулевого модуля. Кроме того, если модуль M разлагается

в прямую сумму ненулевых модулей M = M1 ©M2, òî проекция ¼1 : M ! M1 также определяет ненулевой сдвигающий эндоморфизм модуля M.

166 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

Гомоморфизмы модулей будут возникать следующим образом. В обозначениях этого раздела рассмотрим факторы Jk=Jk+1 êàê R=J-бимодули и сдвигаю-

щие гомоморфизмы бимодуля J=J2 в бимодуль J Ïðè n > 2 эти модули различны и любой гомомор-

физм оказывается сдвигающим. По предложению 7.2 найдется сдвигающий гомоморфизм этих бимодулей.

Особый интерес будет представлять случай n = 2,

в котором гомоморфизмы модулей являются эндоморфизмами. В этом случае Jn¡1 = J = J\ ann J = J=J2.

8.5. Предложение. В условиях этого параграфа зафиксируем некоторую алгебру представителей S.

Предположим, что имеется ненулевой сдвигающий гомоморфизм естественных R=J-бимодулей

'0 : J=J2 ! ann J \ J:

Тогда найдется нетождественный специальный автоморфизм Ã алгебры R, неподвижный на алгебре

представителей S, Ã 2 SpAut(R=S).

В доказательстве предложения алгебру R будем считать S-бимодулем, действие S íà R определим как умножение на элементы S.

Произвольный элемент r 2 R однозначно представим в виде суммы r = s + j; s 2 S; j 2 J. Обозначим

через ¼ : R ! J проекцию r 2 R íà j 2 J. Очевид-

но, что такое отображение является гомоморфизмом S-бимодуля R íà S-бимодуль J.

Отметим, что ограничение фактор-гомоморфизма R ! R=J на алгебру S определяет изоморфизм этой

алгебры S на фактор-алгебру R=J, поэтому на факторе J=J2 и на идеале ann J\J индуцированное действие

S совпадает с действием фактора R=J.

Используем условие предложения и обозначим че- рез '0 : J=J2 ! ann J \ J указанный в нем гомомор-

ôèçì R=J-бимодулей. Пусть гомоморфизм S-бимодулей ' : J ! ann J \ J получается композицией факторгомоморфизма ¼ : J ! J=J2 и гомоморфизма '0. Ïî построению имеем '(J2) = 0. Также '(J) =6 0, а в случае n = 2 выполняются J2 = 0 è ' = '0.

Определим Ã : R ! R для любого r 2 R формулой

rà = r ¡ '0 ± ¼(r) = r ¡ '(r):

Проверим, что такое отображение является искомым автоморфизмом алгебры R.

Действительно, аддитивность отображения очевидна по построению отображения Ã. Проверим мульти-

пликативность. Рассмотрим произвольные элементы

r1 = s1 + j1 è r2 = s2 + j2, s1; s2 2 S, j1; j2 2 J, àë-

гебры R. Тогда r1r2 = s1s2 + s1j2 + s2j1 + j1j2. Отсюда

(r1r2)Ã = r1r2 ¡s1'(j2)¡'(j1)s2. Также r1Ã = r1 ¡'(j1)

è r2Ã = r2 ¡ '(j2). Отсюда

r1Ãr2Ã = r1r2 ¡ r1'(j2) ¡ r2'(j1) = (r1r2)Ã:

Таким образом, Ã эндоморфизм алгебры R.

Ïðè n 6= 2 имеем ann J \ J 6= J и этот эндоморфизм имеет обратный á1 = id + ' ± ¼. Поэтому он определяет автоморфизм алгебры R.

168 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

Теперь рассмотрим случай n = 2. Тогда ' = '0. Очевидно

ker à = fr 2 R j r = '0 ± ¼(r) = '0(r) = '(r)g:

Значит, ker à µ J è ker à µ fr 2 J j r = '0(r)g. Поскольку '0 сдвигающий гомоморфизм, ker à = 0. В силу конечномерности алгебры R над простым подпо-

ëåì F ïîëÿ F заключаем imà = R, поэтому à ÿâëÿ-

ется автоморфизмом и в этом случае. Предложение доказано.

2. Специальные и стандартные автоморфизмы

8.6. Предложение. Пусть K совершенное по-

ле конечной характеристики, G конечная группа,

порядок которой делится на характеристику поля. Групповая алгебра R = KG не полупроста, пусть

S ее алгебра представителей. Тогда StAut(R) \

SpAut(R=S) = e.

Докажем предложение. Рассмотрим нетривиальный автоморфизм Ã 2 SpAut(R=S). При любом r 2 R

выполняется равенство

По условию Ã неподвижен на алгебре представителей S. Докажем, что автоморфизм с таким свойством

не является стандартным.

Пусть, напротив, автоморфизм Ã стандартный.

Заметим, что в силу тождества (1) он неподвижен на поле K. Ïîëå K содержится в полупростой подалгебре

S, на которой автоморфизм Ã по построению неподвижен. Поэтому стандартность автоморфизма Ã в силу замечания I.2.2 равносильна равенству GÃ = G.

Таким образом, для произвольного элемента группы g 2 G выполняется включение gà ¡ g 2 ann J \ J.

Обозначим через Inv µ G множество неподвижных элементов группы для автоморфизма Ã. Поскольку

à нетождественный автоморфизм алгебры KG, ýòî

множество образует собственную подгруппу в группе G, а дополнение Com = GnInv содержит, по меньшей

мере, два элемента.

Автоморфизм Ã на элементах подгруппы Inv действует неподвижно, а на дополнении Com = GnInv образует нетривиальную подстановку e =6 [Ã] 2 S(Com).

Разложим подстановку [Ã] в произведение незави-

симых циклов. Рассмотрим два случая: 1) в этом разложении есть независимые циклы длины, большей двух; 2) в разложении [Ã] все независимые циклы имеют

длину два, они являются транспозициями.

1) Найдется, по меньшей мере, три различных элемента g; h; s 2 Com, для которых h = gÃ, s = hÃ,

h¡1Ã = s¡1.

По тождеству (1) в групповом кольце KG выполняется равенство

0 = (g ¡ h)(h¡1 ¡ s¡1) = gh¡1 ¡ 1 ¡ gs¡1 + hs¡1:

Поскольку все элементы g; h; s различны, в этой сумме

единичный элемент встречается ровно один раз. Однако групповая алгебра образует векторное пространство, базис которого образован элементами группы, поэтому такое равенство невозможно; противоречие.