Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография

Далее будем рассматривать кольца полиномов R[X]

над полупростыми артиновыми коммутативными кольцами R, т. е. конечными прямыми суммами полей R =

: :

F1 + : : : + Fn. Такие кольца не образуют области целостности, однако это конечные прямые суммы областей главных идеалов колец полиномов Fi[X] íàä

полями Fi. Обозначим проекции на компоненты через

¼i : R ! Fi.

3.3. Лемма. Пусть R полупростое артиново

коммутативное кольцо, p простое число, взаимно

простое с характеристикой кольца. Предположим, что каждая компонента R содержит первообразный

корень из единицы степени p. Тогда фактор-кольцо R[X]=(Xp¡1) разлагается в конечную прямую сумму колец, изоморфных кольцу R:

R[X]=(Xp ¡ 1) = R +: : : : +: R

с числом слагаемых p, при этом кольцо R вкладывается в прямую сумму диагональным образом.

В самом деле, заметим, что в кольце R[X] âû-

полняется алгоритм деления с остатком на унитарные полиномы, поэтому справедливо утверждение теоремы Безу, корни унитарного полинома определяют его линейные множители.

pТаким образом, степень сепарабельного полинома X ¡ 1 2 R[X] не превосходит мощности любого мно-

жества его корней fa1; : : : ; amg, различающихся в каждой компоненте, т. е. для которого выполняется усло-

âèå ¼i(aj) 6= ¼i(ak), i = 1; : : : ; n, ïðè j 6= k.

132 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

Рассмотрим разложение полинома Xp ¡ 1 íà ìíî-

жители над кольцом R, используем лемму 3.2 и заме- чания выше. Лемма доказана.

: :

Далее прямую сумму обозначаем pR = R + : : : + R.

| {z }

p

2. Свойства наследования жесткости

3.4. Лемма. Пусть K произвольное поле, G

конечная группа, которая представима как прямое произведение G = H £ T абелевой группы H íà ïðî-

извольную группу T .

Если групповая алгебра KG является автоморфно

жесткой, то автоморфно жесткой будет и алгебра

KH.

В самом деле, групповая алгебра KG представима как групповая алгебра KG = (KH)T алгебры KH над группой T . Поэтому произвольный автоморфизм ' : KH ! KH группового кольца KH продолжается до автоморфизма '0 : KG ! KG группового кольца KG. Заметим: если автоморфизм ' был нестандартным, то и автоморфизм '0 тоже окажется

нестандартным. 0 Действительно, предположим, что автоморфизм '

стандартный. В силу замечания, '0(K) = K, также '0(G) = G. Ограничением автоморфизма '0 íà ïî- далгебру KH служит автоморфизм '. В частности, '(K) = K. Кроме того, G \ KH = H, поэтому выполняется '(H) = '(G \KH) = G \KH = H. По замечанию автоморфизм ' является стандартным, это противоречит нестандартности автоморфизма '.

Таким образом, если алгебра KH не является жесткой, то и алгебра KG не будет жесткой. Поэтому алгебра KH является жесткой. Лемма доказана.

3.5. Лемма. Пусть K поле характеристиче- ской экспоненты p, à G группа, в которой выполняется условие Машке, (jGj; p) = 1.

Åñëè H нормальная подгруппа группы G, H / G и групповая алгебра KG автоморфно жесткая,

то групповая алгебра K(G=H) тоже является автоморфно жесткой.

Действительно, рассмотрим естественный гомоморфизм групповых алгебр KG ! K(G=H). ßäðî ãî-

моморфизма образует двусторонний идеал I, порожденный разностными элементами 1 ¡ h, h 2 H. Ïî

теореме Машке I.0.18 групповая алгебра KG ïîëó-

простая, поэтому в ней имеется прямое дополнение к идеалу I. Найдется:двусторонний идеал J / KG, для которого KG = I + J. Как алгебра этот идеал изо-

морфен групповой алгебре K(G=H).

Установим жесткость групповой алгебры K(G=H),

представленной этим идеалом. Рассмотрим произвольный автоморфизм ' : K(G=H) ! K(G=H) ýòîé àë-

гебры. Докажем, что он является стандартным.

Используем разложение KG и определим автомор-

:

физм этой групповой алгебры Ã = id + ' : KG !

KG. В силу жесткости он является стандартным. По замечанию, K = KÃ = K', G = GÃ è Ã определяет

134 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

автоморфизм группы G. По построению для любого h 2 H имеем (1 ¡ h)à = 1 ¡ h, значит, hà = h. Поэтому на группе H автоморфизм à неподвижен, он индуцирует автоморфизм фактор-группы G=H.

Отсюда следует, что G=H' = G=H, и по замеча-

нию автоморфизм ' является стандартным. Лемма доказана.

3.6. Лемма. Пусть K простое поле, G è H

произвольные группы. Если полная групповая алгебра K(G£H) является автоморфно жесткой, то авто-

морфно жесткими будут и сами групповые алгебры

KG è KH.

В самом деле, используем известное равенство произведений: K(G £ H) = KG -K KH. Значит, ав-

томорфизмы групповых алгебр KG è KH; согласованные на поле K; продолжаются до автоморфизмов

полной групповой алгебры K(G £ H). В силу замеча-

ния 2.2 нестандартные автоморфизмы продолжаются до нестандартных автоморфизмов. Лемма доказа- íà.

Ÿ 4. Групповые алгебры циклических групп

Установим необходимость условий теоремы для жесткости полупростой групповой алгебры циклической группы G.

1.Необходимость первообразности

Âслучае когда конечное поле K имеет ps элемен-

тов, а групповое кольцо KG является жестким, следует проверить, будет ли число ps первообразным кор- нем по модулю порядка группы m = jGj. Будем предполагать, что кольцо KG жесткое, (p; m) = 1, а группа G циклическая.

В этом случае групповое кольцо KG изоморфно фактору кольца полиномов KG = K[X]=(Xm ¡ 1). Автоморфизмы группы G определяются по действию X ! Xt, ãäå t 2 N, (t; m) = 1. Таким образом, число

автоморфизмов группы определяется функцией Эйле-

ðà, jAut(G)j = Á(m).

Напомним, что полином Xm ¡1 над кольцом целых

Круговые полиномы неприводимы над полем рациональных чисел. Первообразные корни степени m

над полем рациональных чисел это корни кругового полинома ©m(X). Над другими полями круговые полиномы могут разлагаться на множители, и тогда первообразные корни служат корнями сомножителей круговых полиномов.

Утверждение следующей леммы хорошо известно. Доказательство приводится только для полноты изложения.

136 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

4.1. Лемма. Пусть K конечное поле из ps ýëå-

ментов, а ³m первообразный корень степени m над полем K, ïðè÷¼ì (m; p) = 1.

Тогда степень расширения полей K(³m)=K равна показателю числа ps по модулю m, т. е. наименьшей

степени числа ps, которая делится на m,

jK(³m) : Kj = Pm(ps):

В частности, такая степень максимальна, т. е. jK(³m) : Kj = '(m), тогда и только тогда, когда

ps первообразный корень по модулю m.

Действительно, рассмотрим расширение L=K, оно является конечным полем характеристики p. Значит, jLj = pt. Поскольку это расширение поля K, t делится

íà s è jL : Kj = t=s.

Мультипликативная группа поля L это цикли- ческая группа порядка pt ¡ 1. Поэтому она включа- ет первообразный корень степени m в том и только том случае, если pt ¡ 1 делится на m. Следовательно,

L = K(³m) тогда и только тогда, когда t = Pm(ps).

Лемма доказана.

4.2. Замечание. Отметим, что заключение леммы дает критерий неприводимости кругового полинома ©m(X) над конечным полем Fps. Он состоит в том,

÷òî ©m(X) неприводим тогда и только тогда, когда ps первообразный корень по модулю числа m.

4.3. Определение. Поле K(³m) называется круговым полем над полем K.

Подведем итоги:

4.4. Лемма. Рассмотрим конечное поле K и циклическую группу G взаимно простых порядков, с условием (jKj; jGj) = 1: Обозначим m = jGj:

Утверждается, что групповая алгебра KG ïðåä-

ставляется прямой суммой круговых полей Kd íàä полем K для делителей d числа m :

m : : :

KG = K[X]=(X ¡ 1) = K1 + : : : + : : : + Km:

В самом деле, ïîëå K конечно, это поле Галуа.

Значит, круговой полином ©m(X) степени '(m) над полем K разлагается на неразложимые множители

одинаковой степени s:

©m(X) = G1(X) : : : Gn(X);

ãäå n > 2: В частности, sn = '(m) è n делит '(m).

Обозначим через Km = K(³m) круговое поле, оно является полем разложения любого из многочленов Gi(X) над полем K. По лемме 3.2 из разложения кругового полинома выводим разложение группового кольца KG в прямую сумму

KG = K[X]=(Xm ¡ 1) =

::

=K[X]=©1(X) + : : : + K[X]=©m(X) =

: : : : :

= K1 + : : : + : : : + Km + : : : + Km:

Отметим в дополнение, что для: фактора: K[X]=©m(X) в последнем слагаемом R = Km + : : : + Km круговое

138 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

ïîëå Km присутствует n ðàç. Ïðè ýòîì ïîëå K вложено в эту прямую сумму диагональным образом. Ëåì- ма доказана.

Докажем, что ps

íåì, методом от противного придем к противоре- чию с жесткостью группового кольца KG.

По заключительному утверждению леммы 4.1 выполняется равенство s = jK(³m) : Kj < '(m).

Используем лемму 4.4 и заключительное замеча- ние из ее доказательства. Круговое поле Km имеет

'(m)=n автоморфизмов, неподвижных на поле K, îíè

переставляют первообразные корни циклическим образом.

Поскольку кольцо R имеет n прямых слагаемых,

изоморфных полю Km, его автоморфизмы включают составные автоморфизмы ®1 £ : : : £ ®n, полученные

произведением автоморфизмов ®1; : : : ; ®n ïîëÿ Km, à также автоморфизмы перестановки слагаемых. Поэтому кольцо R имеет не менее

µ'(m)¶n

n

n!

автоморфизмов, неподвижных на поле K.

Òàê êàê n > 1 è '(m)=n натуральное число, то

выполняется неравенство

µ'(m)¶n n! > '(m) n n

Вначале рассмотрим случай n > 2, тогда выполняется '(m)(n¡1)! > '(m): Будет выполняться строгое

Поскольку число стандартных автоморфизмов, неподвижных на поле K, совпадает с числом '(m) àâòî-

морфизмов циклической группы G, заключаем, что среди автоморфизмов KG есть нестандартные. Это противоречит жесткости кольца KG. Значит, n = 2.

Åñëè '(m) > 2, то также выполняется

µ'(m)¶n

n

n! > '(m)(n ¡ 1)! = '(m);

далее рассуждаем аналогично.

Осталось рассмотреть случай n = '(m) = 2. Такое возможно только для чисел m = 3; 4; 6. Â ýòîì ñëó-

чае круговой полином ©m(X) степени '(m) = 2. Зна- чит, он разлагается на линейные множители. В прямом разложении группового кольца KG, указанном

выше, трижды присутствует основное поле:

: : :

KG = K + K + K + : : : ;

эти слагаемые появляются за счет сомножителей ©1(X)

è©m(X).

Âгрупповом кольце не менее 3! = 6 > 2 = '(m)

автоморфизмов, переставляющих эти три слагаемых и неподвижных на поле K. Снова имеем нестандартные

автоморфизмы, это противоречит жесткости кольца KG.

Таким образом, условие s < '(m) приводит к противоречию с условием жесткости групповой алгебры

140 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

KG. Значит, s = jK(³m) : Kj = '(m) и в самом деле ps первообразный корень по модулю m.

2. Необходимость простоты поля K и простоты

порядка группы G

Рассмотрим конечное поле K с числом элементов ps. Рассмотрим циклическую группу G порядка m, причем (m; p) = 1.

Предположим, что ps

модулю m. Предполагаем жесткость группового кольца KG.

4.5. Лемма. Пусть целое число q представляет

первообразный корень по модулю натурального числа m. Тогда для любого делителя d, djm, число q будет

первообразным корнем и по модулю d.

В доказательстве требуется сформулировать определение первообразного корня в алгебраических терминах.

По определению первообразный корень это порождающий элемент группы обратимых элементов кольца вычетов Z=mZ. Такие элементы существуют в том

и только том случае, если группа обратимых элемен- òîâ (Z=mZ)¤ циклическая. По условию леммы группа

обратимых элементов (Z=mZ)¤ циклическая, а чис-

ëî q определяет порождающий элемент этой группы.

Рассмотрим естественный эпиморфизм колец вы- четов:

Z=mZ ! Z=dZ;