Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография

поэтому gs = ht 2 Inv. В частности, s 2 g Inv.

Это показывает структуру группы G. Подгруппа

Inv в полной группе G имеет индекс два и является

в ней нормальной подгруппой. В силу произвола при выборе элемента s элемент ¾ является центральным в

группе G. Обозначим через ¾ центральную подгруппу второго порядка группы G, порожденную этим элементом. Отметим, что g(1 + ¾) = gà ¡ g 2 ann J \ J.

Поскольку g 2 G обратимый элемент группового

кольца,

0 6= (1 + ¾) 2 ann J \ J:

Рассмотрим фактор ¼0 : G ! G=¾ = G0 и опреде- лим по нему эпиморфизм групповых колец

¼ : KG ! KG0;

ядром ¼ служит нильпотентный идеал (1 + ¾)KG из радикала групповой алгебры, (1+¾)KG µ ann J(KG). Выберем произвольную систему представителей ¢ ãðóï-

ïû G по модулю центральной подгруппы ¾ и определим элемент групповой алгебры f = P¢. Рассмотрим его образ f0 = PG0 в групповой алгебре KG0.

Далее используется хорошо известная

8.7. Лемма. Пусть K поле характеристики p,

à G группа порядка n = jGj, предположим pjn. Тогда элемент 0 6= 6= f = P g = PG является

g2G

центральным нильпотентом группового кольца KG, fp = 0. В частности, f 2 J(KG) 6= 0.

172Глава IV. Жесткие групповые алгебры

Âсилу леммы 8.7 имеем 0 6= f0 2 J(KG0). Ïî ñâîé-

ству радикала выполняется включение f 2 J(KG). Значит, f(1 + ¾) = 0. Однако в носителе элемента

f(1 + ¾) нет одинаковых элементов; приходим к противоречию и в случае 2. Предложение доказано.

Из предложения 8.6 следует, что у жесткой групповой алгебры KG все специальные автоморфизмы тож-

дественные. По предложению 8.5 радикал J = rad KG

такой групповой алгебры не имеет сдвигающих гомоморфизмов. По замечанию 8.4 имеем K = F2, а также

J2 = 0, и радикал J êàê R=J-бимодуль прямо неразложим.

Ÿ9. Свойства радикалов

Âэтом разделе докажем, по-видимому, известные свойства радикалов алгебр и групп.

1.Радикал групповой алгебры

9.1. Лемма (о нормальной подгруппе). Пусть H

конечная группа, G / H. Предположим также, что K произвольное поле, а KH групповая алгебра

над этим полем, в которую групповая алгебра KG

вложена естественным образом. Тогда ступень нильпотентности радикала алгебры KG не превосходит

ступени нильпотентости радикала алгебры KH. В частности, если (rad KG)2 6= 0, òî (rad KH)2 6= 0.

Докажем лемму. Действие элементов группы H сопряжением на подгруппе G определяет автоморфизм группы G и групповой алгебры KG. Радикал rad KG

вполне инвариантный идеал групповой алгебры KG,

он инвариантен под действием такого автоморфизма. Для любого элемента f 2 KG, h 2 H выполняется

f ¢ h = h ¢ fh. Поэтому справедливо равенство произ-

ведений множеств (rad KG)H = H(rad KG).

Для доказательства леммы достаточно установить включение rad KG µ rad KH.

Рассмотрим J = (KH)rad KG(KH)

рожденный rad KG в алгебре KH. Поскольку группо-

вая алгебра конечномерная, радикал является нильрадикалом. Для проверки такого включения достаточно установить нильпотентость идеала J.

Индукцией по натуральному числу m легко прове-

Таким образом, из rad KGm = 0 вытекает Jm = 0.

Лемма доказана.

Утверждение леммы 9.1 индукцией по длине субнормального ряда группы без труда обобщается на случай субнормальной подгруппы G в группе H.

9.2. Лемма. Пусть p простое натуральное чис-

ëî, G = = A £B произведение конечных групп, по-

рядки которых делятся на это простое число. Предположим также, что K поле характеристики p.

176 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

Из теоремы о гомоморфизмах групп вытекает следующее, полезное при вычислении радикала

9.6. Замечание. Пусть ' : H ! G эпиморфизм групп, ядро которого ker ' нильпотентная группа.

Тогда rad G = = '(rad H), rad H = '¡1(rad G).

С помощью этого замечания легко вычислить радикалы общих линейных групп.

9.7. Лемма. Тождество rad GLn(K) = ZGLn(K)

выполняется для любого натурального n > 1 и любого конечного поля K, за исключением следующей

группы GL2(F2) = S3, в которой rad S3 = A3, è íèëü- потентной группы кватернионов GL2(F3) = Q, в которой rad Q = Q.

Для доказательства достаточно использовать известное нормальное строение групп SLn и лемму 9.5.

Конечная нильпотентная группа по теореме Бернсайда Виланда представима как прямое произведение p-групп для различных простых чисел p, делите-

лей порядка группы. Это позволяет для любого множества ¼ простых чисел и любой конечной группы

G определить ¼-часть радикала группы rad ¼G, это максимальная нормальная подгруппа, порядок которой делится только на простые числа из множества ¼, т. е. множество ¼-элементов радикала. Для такого

оператора будет выполняться утверждение леммы 9.5. Будем использовать это понятие для множества нечет-

ных простых чисел, которое обозначается через 20, à соответствующая часть радикала как rad 20.

9.8. Лемма (о метабелевых расщепимых группах).

Пусть группа H представима как расщепимое расширение радикала R = rad H (т. е. максимальной нильпотентной подгруппы) посредством группы S, H = S i R. Предположим, что группы R è S абеле-

âû.Åñëè G 6 H S-инвариантная подгруппа (ска-

жем, нормальная подгруппа), то она представима как расщепимое расширение G = T i r, в котором

r = R \ G радикал группы G, à T однозначно определенная подгруппа группы S.

В самом деле, в силу леммы 9.5 о радикале выполняется rad G = R \ G. Рассмотрим действие груп-

ïû H сопряжением на радикале R, оно определяет естественный гомоморфизм H ! Aut R. Заметим, что ядро K этого гомоморфизма совпадает с R.

Действительно, в силу абелевости R справедливо включение K ¶ R. Установим обратное включение. Рассмотрим y 2 K µ H, используем строение H и представим этот элемент в виде y = sx, s 2 S; x 2 R. В силу абелевости R при любом t 2 R выполняется равенство ty = tsx = ts. Поскольку ty = t, ts = t, действие S íà R точное и s = e. Таким образом, y 2 R

è K = R.

Это позволяет определить естественное вложение H=R ,! Aut R. Поскольку расширение расщепимое,

это вложение пропускается через S, определены вло-

жения H=R ,! S ,! Aut R, первое из которых является изоморфизмом.

178 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

Рассмотрим ограничение изоморфного вложения на подгруппу G=G \ R группы H=R. Обозначим через

T образ этой подгруппы в группе S. Заметим, что

G = T i r. Лемма доказана.

9.9. Лемма. Пусть n произвольное натураль-

Z

H = Sn3 £ C2 £ Z.

Åñëè GCH, то группа G того же типа. А именно

G = Sm3 £C"2£Z0 для некоторого натурального m 6 n, " = 1 èëè " = 0, à Z0 абелева группа нечетного

порядка.

Это утверждение следует из леммы 9.8 о метабелевых расщепимых группах, поскольку таковой являются группы S3 = C2 i C3 è H.

3. Полупростые группы

По-видимому, хорошо известна следующая

9.10. Лемма (об абсолютно полупростых группах).

Пусть группа H конечная прямая сумма простых

неабелевых групп H1; : : : ; Hn, H = H1 £ : : : £ Hn. Òî- гда произвольная нормальная подгруппа G C H ïðåä-

ставима как прямое произведение некоторых групп из множества H1; : : : ; Hn с различными индексами,

G = Hi1 £ : : : £ Him, 1 6 i1 6 : : : 6 im 6 n.

В доказательстве для индексов I = fi1; : : : ; img

полагаем HI = Hi1 £: : :£Him. Åñëè I = ?, то считаем

H? = e.

Воспользуемся индукцией по числу n. Ïðè ýòîì

äëÿ n = 1 утверждение леммы очевидно. Предполо-

жим, что утверждение верно для числа простых групп, меньших n, и будем проверять его для числа групп n,

теперь n > 2.

Обозначим гомоморфизмы проекции на компоненты через ¼i : H ! Hi, пусть

ker ¼i = H1 £ : : : £ Hi¡1 £ Hi+1 £ : : : £ Hn = Hi:

Для любого индекса i в силу простоты группы Hi

ëèáî ¼i(G) = Hi, ëèáî ¼i(G) = e. Åñëè ¼i(G) = e, то можно использовать предположение индукции и получить требуемое. Будем далее предполагать, что ¼i(G) = Hi и группа G служит подпрямым произве-

дением групп Hi при любом индексе i. Утверждение леммы в этом случае сводится к доказательству равенства G = H.

Рассмотрим ограничения проекций ¼i0 = resG¼i è заметим,0 ÷òî iпо предположениюi индукции выполнено ker ¼i = H \ G = HJ(i), ãäå J(i) µ 1:n nfig. Åñëè

J(i) 6= ? для некоторого индекса i, òî G ¶ HJ(i): Â этом случае можно рассмотреть фактор-гомоморфизм H ! H=HJ(i) на произведении меньшего числа простых групп, использовать предположение индукции для нормальной подгруппы G=HJ(i) этого произведе-

ния и вывести равенство G = H.

Далее будем считать, что J(i) = ? при любом ин-

дексе i. В этом случае ker ¼i0 = e и гомоморфизмы проекции ¼i0 устанавливают изоморфизмы ¼i0 : G ! Hi.

Тогда любой элемент группы g 2 G однозначно определяется по любой его компоненте ¼i(g).

180 Глава IV. Жесткие групповые алгебры

ПосколькуH число компонент не меньше двух, получаем ¼i(g) i = ¼i(g) для любого g 2 G. Òàê êàê

¼i(G) = Hi, то группа Hi абелева; противоречие. Лемма доказана.

9.11. Лемма. Пусть группа H представима как

конечное прямое произведение некоторых простых неабелевых групп на абелевы группы, H = P £ C, здесь

P произведение простых неабелевых групп, а C

абелева группа. Тогда любая нормальная подгруппа G C H представима как прямое произведение групп

G \ P è G \ C, выполняется равенство G = G \ P £ G \ C. В частности, она имеет подобное строение.

Действительно, обозначим GP = G \ P , также GC = G \ C. Рассмотрим подгруппу G0 = GP ¢ GC

группы G, нормальную в группе H. Следует показать G = G0. Рассмотрим фактор-гомоморфизм

H ! H=G0 = P=GP £ C=GC:

Группа G при этом гомоморфизме отображается в такую фактор-группу G=G0, для которой

(G=G0) \ (P=GP ) = e = (G=G0) \ (C=GC):

Отсюда следует, что группа G=G0 изоморфна под- группе фактора H=P , это абелева группа. Также эта

группа изоморфна подгруппе фактор-группы H=C, ïî

лемме 9.10 она является прямым произведением0 неабелевых простых групп. Значит, G=G = e, лемма

доказана.