Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры. Монография

11

Общее понятие жесткой алгебраической системы

было введено автором в монографии: К.Н. Пономарев. Жесткие алгебры и неассоциативные кольца. Издательство НГТУ, Новосибирск, 2007 (в этой книге ссылаемся на эту монографию как на ЖАНК). Жесткость такое свойство алгебраической системы, которое позволяет восстановить значения всех функций и предикатов полного списка сигнатуры системы по значениям функций и предикатов из какой-либо ча- сти этого списка. В указанной книге была изучена типичная проблема жесткости класса неассоциативных алгебр: для каких неассоциативных алгебр R íàä ïî-

ëåì K можно восстановить произведения элементов кольца R на скаляры поля K, исходя только из

сложения и произведения элементов R?

Предлагаемая монография продолжает эти исследования. Обратим внимание, что, как и в ЖАНК, под алгеброй в этой монографии понимаем такое (вообще говоря неассоциативное) кольцо, которое образует алгебру над некоторым полем скаляров.

Вкратце изложим содержание работы. Во введении выделяем три класса алгебр, свойства жесткости которых изучаем в данной монографии. Конкретизируем понятие изоморфной жесткости в каждом указанном классе.

Приводим необходимое условие изоморфной жесткости алгебры ее распознаваемость. Поясняем, что изоморфная жесткость алгебры состоит из ее автоморфной жесткости, а также из распознаваемости этой

12

алгебры. Это составляет основной признак выявления свойства жесткости алгебр, используемый в этой монографии принцип распознаваемости.

Первая глава носит вводный вспомогательный характер. В ней доказываем все классические результаты теории ассоциативных конечномерных алгебр, которые используются в этой книге. Это структурная теорема Веддерберна Артина о конечномерных полупростых алгебрах, теорема Сколема Нетер о изоморфизмах центральных простых алгебр, теорема Веддерберна о конечных телах, теорема ВеддербернаМальцева о расщеплении конечномерных алгебр, а также теорема Машке о полупростых групповых алгебрах.

Во второй главе изучаем свойство изоморфной жесткости в классе ассоциативных колец. Для полноты изложения приводим доказательство теоремы Стефенсона. В этой главе мы хотим определить изоморфно жесткие кольца в классе конечномерных простых алгебр. В силу структурной теоремы Веддерберна конечномерные простые алгебры представляются алгебрами матриц Mn(D) над алгебрами с делением D. Ïðè

n > 1 простые алгебры Mn(D) образуют UA-кольца, они являются изоморфно жесткими по теореме Стефенсона. Поэтому такое исследование сводится к изу- чению изоморфно жестких алгебр с делением.

Далее описываем изоморфно жесткие кольца, которые образуют поля. Замечаем, что конечные поля образуют распознаваемый класс ассоциативных колец,

13

поэтому в силу принципа распознавания автоморфно жесткие конечные поля оказываются изоморфно жесткими. Показываем, что изоморфно жесткими являются такие поля, число элементов в которых не превосходит четырех.

Основное предположение автора в этой главе состоит в том, что изоморфно жесткие алгебры с делением исчерпываются изоморфно жесткими полями. Подтверждаем это предположение для алгебр с делением, определенными над конечнопорожденными полями.

В третьей главе исследуются свойства жесткости параболических подалгебр простых алгебр Ли. Нача- ло исследования автоморфно жестких колец Ли было положено в работах И.В.Аржанцева., опубликованных в 1999 ¡ 2002 годах. Была установлена теорема

Аржанцева о том, что у параболической подалгебры полупростой алгебры Ли (над алгебраически замкнутым полем K нулевой характеристики) любой авто-

морфизм ее мультипликативного группоида индуцируется некоторым автоморфизмом самой алгебры Ли. Параболические подалгебры полупростых алгебр Ли являются жесткими в том смысле, что сложение элементов определяется исходя из произведения элементов такой алгебры. В начале главы излагаем доказательство теоремы Аржанцева. А далее доказываем результат автора о том, что умножение элементов параболической подалгебры R полупростой алгебры Ли L

на скаляры из поля K определяется однозначно уже по структуре кольца Ли тогда и только тогда, когда Rпараболическая подалгебра простой алгебры Ли L.

14

Âчетвертой главе изучаем свойства изоморфной жесткости в классе конечных групповых алгебр над конечными полями. Используем принцип распознавания и устанавливаем полный список изоморфно жестких конечных групповых алгебр.

Âзаключении обращаем внимание на теоретико

модельное содержание проблемы жесткости алгебраических систем.

Отметим в заключение, что все описанные исследования имели своей целью решение различных проблем жесткости, поставленных С.К. Росошеком и И.В. Аржанцевым. Автор благодарит А.И. Валицкаса, И.В. Аржанцева, а также А.Е. Залесского и А.С. Рапинчука, за многочисленные советы при выполнении этих исследований.

Работа над монографией выполнялась при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ по государственному заданию N.2014/138, проект 1052.

К.Н. Пономарев Новосибирск, август 2015

16 Введение. Принцип распознавания

Следуем общей методологии изучения жесткости, изложенной в предисловии ЖАНК. Формулировка каждой проблемы подразумевает обеднение сигнатуры алгебры, а именно:

1)сигнатуры кольца h+; ¢; 1i до сигнатуры полугруппы h¢i,

2)сигнатуры алгебры Ли hK¢; +; [ ; ]i над полем K до сигнатуры группоида h[ ; ]i,

3)сигнатуры групповой алгебры над полем K и над группой G hK¢; G¢; +; ¢; 1i до сигнатуры унитарного

кольца h+; ¢; 1i.

Необходимо пояснить, что во втором классе алгебр алгебра Ли рассматривается как двухосновная алгебраическая система hK j Ri, образованная полем скаля-

ðîâ K и кольцом Ли R. А в третьем классе групповая алгебра R = KG рассматривается в качестве трехосновной алгебраической системы hK j G j Ri; образованной полем скаляров K, группой G и унитарным ассоциативным кольцом R.

Согласно этому определяются морфизмы таких алгебраических систем. В частности, изоморфизм различных алгебр Ли hKj Ri ! hF j Si определяется

изоморфизмом их полей скаляров ¾ : K ! F è ¾- полулинейным отображением биекции колец Ли ' : R ! S. Это означает, что при любых k 2 K; r 2 R

выполняется соотношение: '(kr) = ¾(k)'(r): Ñîîò-

ветственно этому возможность определения умножения элементов алгебры Ли R на скаляры из поля K

исходя из операций кольца трактуется в том смысле, что любой изоморфизм указанных выше алгебр Ли как колец R ! S оказывается полулинейным отобра-

жением относительно подходящего изоморфизма полей скаляров ¾ : K ! F .

Åñëè A алгебра одного из указанных классов, то через A¤ обозначаем систему, полученную указанным ограничением сигнатуры, A¤ = res(A): В каждом классе жесткость алгебры A понимается в смысле изо-

морфной жесткости алгебры.

Это означает, что для произвольной алгебры B âû-

бранного класса любой изоморфизм обедненных си- ñòåì '¤ : A¤ ! B¤ дополняется до некоторого изомор-

физма исходных алгебр ' : A ! B. Иными словами, '¤ получается ограничением подходящего изоморфизма алгебр ' : A ! B :

'

A ¡¡! B

? ?

resy resy

¤ '¤ ¤

A ¡¡! B :

Во второй главе изучаем первую проблему жесткости, в третьей вторую, а заключительная четвертая глава отведена третьей проблеме жесткости из списка выше. В заключении формулируем общую проблему жесткости различных теорий.

Отметим, что в ряде работ именно это более широкое понятие использовалось в качестве определения жесткости.

Понятно, что в каждом классе алгебр изоморфно жесткие алгебры оказываются автоморфно жесткими. А вот для определенных ниже распознаваемых алгебр данного класса имеется и обратное включение, изоморфно жесткие алгебры этого класса суть распознаваемые автоморфно жесткие алгебры.

Рассмотрим класс алгебр A; в котором задано обед- нение сигнатуры ¤. Рассмотрим алгебру A 2 A. Будем называть алгебру A распознаваемой алгеброй в

классе A, если любая алгебра B 2 A; обеднение кото-

рой изоморфно обеднению данной алгебры, B¤ » A¤;

=

изоморфна алгебре A в исходной богатой сигнатуре,

A » B: Обратим внимание, что здесь не требуется,

=

чтобы сам изоморфизм B¤ » A¤ продолжался до изо-

=

морфизма полных алгебр. Отметим, что изоморфно жесткая алгебра в классе A является распознаваемой

алгеброй этого класса.

Принцип распознавания. Рассмотрим распознаваемую алгебру A класса A: Эта алгебра является

изоморфно жесткой алгеброй данного класса тогда и только тогда, когда это автоморфно жесткая алгебра.