!Учебный год 2024 / Sistema_logiki_sillogicheskoy_i_induktivnoy_Mill

(a) v v v w ( n ;( v ,w ) - > - ,n ; ( v ,w )) ,

(b) VVVW (П" (V,W) n “(V,W)),

где 06 {+,-}.

Аналогично п.п.в.-1 формулируются п.п.в.-2 (правила вывода по аналогии):

♦^>(У=>, w),n;(v,w)

Лм»(у =». w),n;(v,w)

W v = > > w ) ’

о-Wv=>. w),n;(v,w)

V o (V^ ‘ w) ’

,- W v =>i w),n;(v,w)

W v = > .w )

Так как гипотезы о (±)-причинах, входящие

в П„ (V,W), порождаются посредством преди­

зывать однородной. В частности, однородной стратегией будет Str„)M, определенная выше для

М(V,W) и М ~ л (V,W).

Результатом применения п.п.в.-2 являются гипотезы о наличии (отсутствии) изучаемого эффекта W у соответствующих объектов V, от­ носительно которых имелась оценка «неопре­ деленно». Таким образом, п.п.в.-2 порождают предсказания вида ./(Vf/1)(C=>|Q), где v e { l, -1, 0} или J(T(„+|)(C=>|Q), а п - число шагов, за ко­

торое были получены гипотезы о (±)-причинах,

используемые в предикатах n*(V,W ) и n~(V,W ) (гипотезы с истинностным значением

(О, п) используются в ПJ (V,W)).

Из определений предикатов Пл (V,W), где

ае {+, - , 0}, следует, что они являются средст­ вом формализации выводов по аналогии. В са­

мом деле, n^(V,W ) содержат подформулы

J(v^(X=>2Y), где ve {1, -1, 0}, а л>0. Они полу­ чены в результате применения п.п.в.-1 (индук­

ции) к БФ и их расширениях посредством

П .И .В .-2 . Но /(V,*)(X=>2Y) выражает сходство

фактов (при применении п.п.в.-1 к начальному

состоянию БФ при /1=0) или сходство гипотез

•/<Vt/}(Vy=»,Wy), где i<n и п>0. Поэтому результат

применения п.п.в.-2, которым является

где v e { l, - 1, 0}, или /(T(M+i)(V=>iW), сходен с

•/(Vfj)(Y,-=>iWy) (или •/(T.ofVp^Wy), что характери­ зует структурный вывод по аналогии [10, Вве­ дение, Глава 4. «Синтез познавательных проце­ дур и проблема индукции», Раздел 6. «Вывод по аналогии и индуктивное обобщение в JSM-

рассуждении», стр. 131-133].

Существенно отметить, что характеризация п.п.в.-2 как вывода по аналогии основана на

теореме обратимости ДСМ-рассуждений [9]:

VV VW(/<,, m+1) (V=>2W)<-> m ; „ ( v ,w ) &

M ^(V ,W ) & (7(x. m) (V=>2W)), где «<->» - логи­

ческая связка двузначной эквиваленции (анало­ гичные утверждения имеют место для осталь­ ных п.п.в.-1 с v = —1,0, т)10.

Предикаты и М* , посредством кото­

рых формулируются правила индуктивных вы­

водов - п.п.в.-1, согласуются с принципами миллсвской индукции (а) - (е), уточняемыми

для ДСМ-метода АПГ посредством принципов

(А) - (D). Содержание же этих предикатов вы­ разимо посредством условий (ЭУ), (СХ), (ЭЗ), (УИ) и условия нижней границы числа исполь­ зуемых примеров к>2. Однако для уточнения и

формализации индуктивных методов

Д.С. Милля необходимо уточнить принцип (f) -

закон единообразия природы, с которым связа­ но существование причин, извлекаемых из мас­ сивов явлений. Эти массивы образуют множе­ ство посылок индуктивных выводов.

Постулируемый Д.С. Миллем закон единооб­ разия в природе (условие миллевской индукции

(1)), конечно, является лишь философской идеей,

которая не может быть достаточным основани­ ем индуктивных выводов. Но для научной фор­ мулировки достаточного основания индуктивных выводов требуется формулировать условия та­

10 Эти утверждения обобщаются и для стратегий Str^, с

М +х,т(V’W) ИМ ~у,т(V’W)’ ГДе *G^+ И-Vе i •

кие, что выполнимость их делает вывод коррект­ ным, а невыполнимость является формализацией его фальсификации в соответствии с критерием демаркации К.Р. Поппера [13].

В ДСМ-методе АПГ таким достаточным ос­ нованием ДСМрассуждения, включающего как индукцию, так и аналогию, являются ак­ сиомы каузальной полноты (АКП(0)), где ое {+, -}. Посредством ЛКП(0) формализуется абдукция Ч.С. Пирса [15] - принятие порож­ даемых гипотез посредством объяснения на­ чальных данных (в ДСМ-методе АПГ ими яв­ ляется БФ).

Использование АКП(0) [14] является еще од­ ним основанием для характеризации индукции в ДСМ-методе АПГ (т.е. п.п.в.-l) как контск-

стно-зависимой [9,14].

Введение и использование АКП(а) предполагает:

1.характеризацию предметной области

(универсума моделей, говоря логическим язы­ ком), как содержащей (+)-факты и (-)-факты, а

также позитивные и негативные причинно-

следственные зависимости; 2. задание открытой теории - квазиаксио-

матической теории (КАТ) [9-11].

КАТ 3=(Х, X', 9i), где I - открытое множе­ ство аксиом, лишь частично характеризующих предметную область, I' - открытое множество фактов и гипотез, а 9^ - множество правдопо­ добных и достоверных правил вывода (напри­ мер, п.п.в.-l, п.п.в.-2 и правил дедуктивного вывода).

Приведем ниже формулировки АКП(+) и

АКП(_), смысл которых состоит в том, что на­ личие каждого эффекта и его отсутствие выну­ ждаются (+)- и (-)-причинами соответственно:

А К П (+> V X V Y В * 3 V , . ..B V * 3 W , .. 3 W * (У(,,0)

(X = > | Y ) - > З и ( & /( ,.„ ) (V ,=>2W ,) & (V ,c X )&

t

В [10, Введение, Глава 4, стр. 130-131] были определены метапрсдикаты объяснения исход­ ных фактов в БФ посредством гипотез о (+)- и (-)-причинах. Эти гипотезы о (+)-причинах и

(-)-причинах объясняют фрагменты Б Ф , Б Ф + и

БФ ", соответственно, где

БФ + = { (Х , Y )| 3 3 V , .. .3'V * 3 W j.. .3 W*

(•Al,o>(X=>1Y ) - > 3 w ( & (J (iy )(V ,=>2W ,)& (V ,c X ) &

к

(Vflt0) & (W , Ф0) & ( U W ,= Y ))), а Б Ф + =

/=i

{(X =>,Y >| (J (i,o)(X =>,Y )}.

вуют случаям выполнимости АКП(0). В связи с этим определим степени каузальной полноты

элементов БФ° и БФ°, соответственно [14].

Рассмотрим процесс расширения начальных состояний баз фактов (т.е. их пополнение но­

выми фактами:

БФ=БФ()СБФ|С...СБФОТ (БФусБФ/+1 означа­ ет, что БФ,>| есть расширение БФ,) при назна­

ворить, что процесс ДСМ-рассуадений имеет абдуктивную сходимость.

Охарактеризуем теперь структуру ДСМ-

рассуждения [11].

Шагом ДСМ-рассуждения будем называть однократное применение п.п.в.-l (индукции)

или п.п.в.-2 (аналогии).

Тактом ДСМ-рассуждения будем называть упорядоченное последовательное применение

п.п.в.-l и п.п.в.-2.

Этапом I ДСМ-рассуждения будем называть

последовательное применение тактов (п.п.в.-1

ных гипотез на такте п совпадает с множест­ вом гипотез, порожденных на такте п + 1, где и

- номер первого такого совпадения [14]. Этот такт с номером п назовем тактом стабилизации

Этапа I ДСМ-рассуждения.

Этапом II ДСМ-рассуждения будем называть проверку выполнимости АКП® и вычисление

р ат для установления абдуктивной сходимости

или расходимости процесса ДСМ-рассуждения,

результатом которых является принятие или не­

принятие порождаемых гипотез.

Следующая схема абдуктивного принятия

гипотез, обусловленная идеями Ч.С. Пирса об абдукции, была рассмотрена в [16]. Она уточ­ няется и формализуется посредством Этапов I и II ДСМ-рассуждений:

БФ - множество фактов, Н - множество гипотез, порожденных на

Этапах I и II, где H=HiuH2;

E(Hi, БФ) - метапредикат «Hi объясняют

БФ» выполняется, если существуют р ат такие,

что р ат> р °, где ае {+, -}

для всех h (если he Н, то h правдоподобна).

Напомним, что Hj - множество гипотез J(V,W) (C=>2Q), где ve {1, -1, 0}, или У(Т>w)(C=>2Q), а

и>0. Н2 - множество гипотез J(y<n)(C=>iQ) или

J(Ti„)(C=>iQ), где ve {1, -1 ,0 }, а п>0.

Е(Н|, БФ) формализуется посредством АКП(0) и p i, где Об {+, -} [14].

Отметим особенности формализации индук­ тивного метода сходства Д.С. Милля как на­ чальной компоненты ДСМ-рассуждения.

1. Первому правилу для индуктивного мето­ да сходства соответствуют четыре правила

позитивного и негативного сходства М +а п(V,W)

и M~„(V,W), соответственно. Эти предикаты

образуют минимальную (по выразительной силе) версию ДСМ-метода АПГ. Эта мини­ мальная версия усиливается посредством до­ бавления к ней дополнительных условий (на­ пример b°, е°, d|+, d2+) [11].

2. Формализация индуктивного метода сходства осуществляется посредством его взаимодействия с выводами по аналогии (п.п.в.- 2) и абдуктивным принятием гипотез в процес­ се ДСМ-рассуждения (Этапы I и II).

3. Достаточным условием принятия гипотез являются аксиомы каузальной полноты АКП(0>,

где ае {+, -} . Посредством этих аксиом реали­ зуется косвенная, контекстно-зависимая индук­ ция на достаточном основании.

4. В ДСМ-рассуждении уже в минимальном варианте с M^„(V,W), где ае {+, - } , автомати­

чески осуществляется взаимная фальсификация кандидатов в гипотезы.

5. В силу того, что ДСМ-рассуждение реали­ зуется на Этапе II как процесс пополнения БФ под управлением АКП(0) имеется два уровня индуктивных процедур - порождение гипотез о

(±)-причинах посредством п.п.в.-l в составе итераций Этапа I и повторение Этапа I после расширения БФ в процессе ДСМ-рассуждений на Этапе И.

III.Индуктивные методы различия

исоединенного сходства-различия

В[1] Д.С. Милль высказывает убеждение в том, что формулируемый ниже индуктивный ме­

тод различия является «более могущественным орудием исследования», чем метод сходства.11

Схема вывода согласно методу различия представима следующим образом:

имеющие, а ВС - обстоятельства без А.

Аналогична схема обнаружения причины следствия а. Если дан эффект abc, содержащий следствие а, где предыдущими обстоятельствами были АВС, а затем обнаружен случай, где эффект есть Ьс (без а), а предыдущими в этом случае бу­ дут обстоятельства ВС, то следует заключить, что

А- причина а (или А - часть причины а).

Таким образом имеем:

(2)ABC -abc

ВС-b e

А - причина а !

Д.С. Милль формулирует две аксиомы, со­ ответствующие схемам вывода (1) и (2):

(Д1) Всякое предыдущее, которое нельзя ис­ ключить, не уничтожив явления, есть причина или условие этого явления;

(Д2) Всякое последующее, которое можно исключить одним только исключением какого-

либо одного из предыдущих, есть следствие этого предыдущего.

Согласно Д.С. Миллю (Д1) и (Д2) являют­ ся основанием Второго правила индуктивного

вывода.

Второе правило Если случай, в котором исследуемое яв­

ление наступает, сходны во всех обстоятель­ ствах, кроме одного, встречающегося лишь в первом случае, то это обстоятельство, в ко­ тором одном только и разнятся эти два слу­ чая, есть следствие, или причина, или необ­ ходимая часть причины явления [1].

Под «явлением» Д.С. Милль понимает от­

ношение «обстоятельства (объект) - эффект

(множество свойств)». Таким образом, «явле­ ние» в ДСМ-языкс представимо предикатом

X=>|Y. А высказывания «А - причина а» и «а -

следствие А» выразимы посредством предика­ тов V=>2W и W3<=V, которым отвечают, соот­ ветственно, схемы вывода (2) и (1).

Д.С. Милль утверждает, что метод сходства сеть способ обнаружения «законов явлений», а

метод различия даст достоверное знание о причинах. Рассмотрим в связи с этими утвер­ ждениями переводы метода различия (Второго

правила) в ДСМ-язык.

Определим предикаты D+(V,W) и D'(V,W),

представляющие почти буквальный перевод

метода различия для БФ такой, что она содер­ жит как (+)-факты, так и (-)-факты изучаемых

(VcX) &(WcY) & ./(_,„)(Z=>iU) &(Z=X\V) &(Z*0) & (U=Y\W) & (U*0)), где X\V и Y\W -

разности множеств X и V, Y и W, соответст­ венно, a w - число применений правил правдо­ подобного вывода (при /7=0 имеем факт, а при

/7>0 - гипотезы);

D;(V.W)-3X 3Y 3Z 3U (Л-|Л)(Х=>,Y) &

(VcX) &(WcY) & -i/(_,,„,(Z=>|U) &(Z=X\V) &(Z*0) & (U=Y\W) & (Ш 0)),

где - J (-i^(Z=>iU) <-> (J(b)(Z=>|U) v i (0j,)(Z=>iU) v^,(Z=>,U)).

Уточнением и имитацией в ДСМ-языкс Вто­

рого правила будут следующие п.п.в.-1^ :

t - W V ^ 2 w ),d ;(v ,w )& -id ~(v ,w )

■ W V =*2W)

- Л г,)(У ^2 W),-iD:(V, W)&D~(V,W)

o 4,)(V=>2W ),D:(V,W )&D;(V,W )

V o (V^ W)

(l)r 4г,)(У=>» w ),-.D*(V,W)&-,D;(V,W)

2 w )

Можно ослабить формулировку D*(V,W),

заменив в ней ./(_|„)(Z=>|U) на - J (iin)(Z=>iU), где

~^(i^)(Z=>iU) <-> (V(_i,W)(Z=>!U) v J(0t„)(Z=>|U) v

J{x,n)(Z=>|U)). Измененный предикат обозначим

d ; ( v ,w ).

П.п.в.-l с предикатом D*(V,W) обозначим

посредством (1)£, где ае {+, 0, т}.

Очевидно, что выполнимость п.п.в.-1~ вле­

чет выполнимость п.п.в,-1^, так как истинно

утверждение Z=>|U)-> -i/(i(/0(Z=>|U).

Недостатками метода различия и его рас­

смотренной формализации являются то, что во Втором правиле Д.С. Милля не выражается сходство рассматриваемых явлений (миллсв-

скос условие индукции (а)), условия (с), (d) и (с) также не выполняются для метода различия и его почти буквальной имитации посредст­ вом п.п.в.-1~ (1)~,гдсае {+, - , 0, т}.

Существенно отмстить, что п.п.в.-1~ не

подчинены основному принципу индукции - «сходство фактов влечет наличие (отсутст­ вие) эффекта и его повторяемость», который неявно содержится в основных идеях Д.С. Милля об индукции, уточняемых в ДСМ-

методе АПГ посредством принципов (А) - (D)

иосновных условий формализации М°-

предикатов - (ЭУ), (СХ), (ЭЗ), (УИ) и к>2, где к

- нижняя граница числа сходных (а)-фактов.

Очевидно, что Второе правило Д.С. Милля и

его аналоги (1)~ этим условиям не удовлетво­

ряют, что обесценивает их как средства обна­ ружения нового знания - зависимостей при­ чинно-следственного типа.

Как будет показано ниже, формализации всех пяти индуктивных методов Д.С. Милля содержат в качестве подформулы предикаты сходства M ^(V ,W ) или их усиления

м (V.W) и М ■ „ (V, W), где *е Г , а уе Г . В

то время как D^(V,W), определенные выше, предполагают сравнение всего лишь двух фак­ тов без условий выполнимости Мст-предикатов ((ЭУ), (СХ), (ЭЗ), (УИ) и к>2). Следовательно,

заключения п.п.в.-1~ получены без конструк­

тивных средств распознавания наличия отно­ шения «причина - следствие», представимого предикатом V=>2\V.

В [10, Введение, Глава I, стр. 24] было пред­

ложено усиление предикатов M *w(V,W) по­

средством формулы, имитирующей условие индуктивного метода различия Д.С. Милля12:

(d)+ VXVY3Z3V0 3W0 (Wi,„)(X=>,Y)

аналог индуктивного метода различия, опреде­ лим следующим образом:

M ^ ( V ,W ) - M : in(V,W)&(dr. Аналогично определим (d)' и M ^ w(V,W),

посредством которых, соответственно, опреде­

ляются п.п.в.-1</ (I)J, где ае {+, 0, т}. Эти

п.п.в.-1а являются аналогом Второго правила Д.С. Милля.13

Заметим, что условие (d)+ может быть ос­

лаблено заменой подформулы

(У(_,.я)(Z^,(W uW fl)) v /(t.«)(Z=>!(WuW 0))) на -л y(I.w)(Z^,(W uW 0)).

Легко понять, что п.п.в.-lj информативнее п.п.в.-lj , так как в посылки первых входят

предикаты М * я (V,W), которые содержат (ЭУ),

(СХ), (ЭЗ), (УИ) и к>2, а также формула (d)°,

выражающая условие различия на множестве фактов, которые не содержат искомой причины V следствия W.

Очевидно также, что из М aJ n(V,W) следуют

(V,W), где ае {+,-}.

12 В [10] это условие для M*„(V,W) представлено фор­

мулой (6)+ (стр. 24).

13 (I) j могут быть усилены для М°dп(V,W), где хе \а ,

№ {+.-}•

Таким образом, аналог Второго правила Д.С.Милля (индуктивного метода различия)

п.п.в.-1^ не увеличивает предсказательную силу

по сравнению с аналогом метода сходства

п.п.в.-1. Но п.п.в.-lj обладают этим качеством

- большей предсказательной силой: из М faJ,n (V,W) следует M"„(V,W).

Обсуждаемые выше соотношения п.п.в.-1,

п.п.в.-1^ и п.п.в.-l,/ - с одной стороны, а также

соотношения Первого и Второго правила

Д.С. Милля с их аналогами в ДСМ-методе, обу­ словлены тем, что в ДСМ-методе АПГ сравни­ ваются все возможные факты из БФ, удовле­ творяющие (ЭУ), (СХ), (ЭЗ), (УИ) и к>2, а не

отдельно выбранные случаи, рассматриваемые Д.С. Миллем.

В [1, Кн. III, Глава X, стр. 338] рассматривает­ ся проблема множественности причин. Как отме­ чает М. Бунге в [22]и, Д.С. Милль признает существование множественности причин у след­ ствий in re (в реальности), но не выражает это в формулировках правил индуктивного вывода.

Формальные средства ДСМ-метода АПГ по­ зволяют выразить существование множествен­ ности причин в соответствующих правилах правдоподобного вывода (п.п.в.) и, в частности, в п.п.в., представляющих Третье правило ин­ дуктивного вывода - для метода соединенного сходства - различия.

Третье правило Если два или более случая возникновения

явления имеют общим лишь одно обстоя­ тельство, и два или более случая невозникновения того же явления имеют общим только отсутствие того же самого обстоя­ тельства, то это обстоятельство, в котором только и разнятся оба ряда случаев, есть или следствие, или причина, или необходимая часть причины изучаемого явления [I]15.

Соединенный метод сходства - различия, формализованный средствами ДСМ-метода АПГ [11], выражает следующие условия (1)* - (4)*:

(1)* для объекта X имеет место наличие эф­ фекта W при условии, что причина V содер­ жится в X: /(.^ (X ^ Y ) &(Vc X) & (WcY);

14 [22], Раздел 5.1.3. Разделительная множественность причин: подлинная составная причинность, стр. 146-149.

15 [1], Кн. III, Глава VIII, стр. 311.

(2)* эффект W такой, что W cY, отсутствует у объекта X, если V не содержится в X и другие причины Vy эффекта W, отличные от V, также не содержатся в X;

(3)* существует множество примеров для условий (1)* и (2)*, соответственно, в количе­

стве к и / таких, что к>2 и />2;

(4)* рассматриваемые причины Vy эффекта W, отличные от V, исчерпаны, т.е. перечислены все (условие исчерпываемости причин V,).

Определим теперь позитивный предикат для индуктивного метода соединенного сходства -

предикат положительного сходства с возмож­ ными дополнительными условиями х, или же

х = а . (ЭУ)2 и (Э3)2 - экзистенциальные условия и эмпирическая зависимость, (ЭУ)2 и (Э3)2 вы­ ражают и уточняют сформулированные выше условия (1)* -(4)*.

с12(/,*М Э У )2 & (ЭЗ)2&(/>2) & (у>2), тогда

м xd2+ „ (V .W )« м х+ п (V.W) & 3 /3 , 3Z ,...3Z ,

3 U ,...3 U ,3 X ,...3 X ,3 Y ,...3 Y ,3 V 1...3 V Jd2(M -

Экзистенциальное условие (ЭУ)2 для обще­ го индуктивного метода соединенного сходства - различия с неединственной причиной для эф­ фекта W определяется посредством трех под­ формул:

/

(&cp(Z/, UI, X/, Y/, V, Щ ;

/=I

(&V(Vy, W));

(& X(V;,V,Xi,...X/)), j=1

которые определяются ниже.

/

(& cp(Z/, U/, X/, Yi, V, W ))^((y(i.«)(Zi^iUi) &

&-i(WcY;)) & VZ VU ((J<i„)(Z=>iU) & (VcZ) &

зы J(1, «+i)(Vy =>2W), порождены однородной

ДСМ-стратегией, М°-предикаты которой имеют имя х [11]. Кроме того, эта подформула (ЭУ)2

содержит условие исчерпываемости множества всех причин Vy эффекта W. Эта подформула

выражает идею Д.С. Милля [1] о том, что при применении метода различия (Второе правило)

следует учесть влияние других причин, отлич­ ных от изучаемой причины. Это существенно в силу существования множественности причин

V ,,... ,V „

Определим также третью подформулу (ЭУ)2

мула в соответствии с идеей Д.С. Милля предо­ храняет эффект W от влияния причин V |, .. .V ,

отличных от V :

(&X(Vy, V, Х |,...Х /))^ (& ((-1(VycX1)&...&

- |(У/<=Х/))&-1(У=у/))).

Таким образом, экзистенциальное условие

(ЭУ)2 для формализации индуктивного метода соединенного сходства - различия имеет сле­

дующий вид:

I S

(Э У )^(& cp(Z„ Ц, Х„ Y„ V, W))&( & v|/(Vy, W)) &

(&v(V> V>X,,...X,)). j =I

Таким образом,

(ЭУ)2=К&<р(Z/; и,, X„ Y„ V, W))&(& (f(Vy, W)

&X(V„V,X,,..X,))).

Эмпирическая зависимость (Э3)2, соответст­ вующая (ЭУ)2, имеет вид:

(ЭЗЬ-УХУУУХоУУоСй^оСХ^.У) & (VcX) &

(WcY)&((X\V)cXo)& -<(X\V)=0)) & (& -<V/=Xo)) y'=i

& -i(VcXo)) -> ((-/(,fM)(X0=>iY0) & (WcYo)) v

(Э3)2 выражает миллевское условие для ин­ дуктивного метода различия: отсутствие уста­ новленной причины V влечет отсутствие соот­ ветствующего ей эффекта (следствия) W при условии отсутствия других причин Vy, отлич­

ных от искомой причины V.

Таким образом, получаем определение для некоторой версии индуктивного метода сходст­

ва - различия:

M 4 ,„ (v >w ) ~ 3^ 3Z1 - 3Z/ 3U....3U,

ЗХ,...ЗХ, 3Y,...3Y, 3V,...3V, ((ЭУ)2 &(ЭЗ)2 &(/>2) &(л>2)) & М * д (V,W).

имя метода простого сходства, т.е х=а, либо

имена различных его усилений).

В силу теоремы об обратимости посылок и заключений п.п.в.-1 и п.п.в.-2 в ДСМ-

рассуждении [9, Часть I, Глава 5. О дедуктив­ ной имитации некоторых вариантов ДСМ-

метода автоматического порождения гипотез,

стр. 240-286] имеем:

(1)VV,- VW(0/M (V,- =>2W)& М :>и(Vy,W)&

(2)VZ VW((7{V()(Z ^ 2W)& M ;>w(Z,W)&

-.M ■ и (Z,W))f-> J{Un+i)(Z =>2W)),

гделсе I+, aye Г .

s

Поэтому & (\|/(У/, W) эквивалентным обра­

зом может быть заменена на следующую под­ формулу (ЭУ)2

((& А1, *1)(Vy =>2W)) &VZ(У(1, ;)+1)(Z =>2W)-> h I

(v(Z =Y ,)))).

Так как каждой V,- соответствует некоторое количество шагов в определении предикатов М * (Vy,W) и М ~/I;(Y/,W), то получим

VVy VW ( (/(rMy)(V ,^ 2W) & M+Xtnj (Vy,W) &

/и=тах(л|+1,..., /?,+1, и), и получим М ^ ш(V,W)

и MJ* OT(V,W). Таким образом, Третьему прави­

лу Д.С. Милля для индуктивного метода соеди­ ненного сходства - различия соответствуют сле­ дующие п.п.в.-1 ДСМ-метода АПГ:

где у - имя соответствующего отрицательного

предиката сходства: простого сходства, сходст­ ва с запретом на контрпримеры и т.д., а /я=тах(/7|+1,..., ид+1, л).

В [И] была предложена формализация ин­ дуктивного метода соединенного сходства -

различия с единственной причиной. Для этого были заменены (ЭУ)2 и (Э3)2 на (3Y)i и (Э3)ь

соответственно.

s

В (ЭУ)2 исключим подформулы (& (vj/(V/, W)) и

У '= 1

(& x(Vy, Xi,...X/)), содержащие представления у=1

причин Vy следствия W, которые не равны ис­ комой причине V.

Таким образом, получим

(ЭУ ),=(& ф (г„ и,, x „ y „ v, w)). (=1

Эмпирическую зависимость (Э3)| получим,

ИСКЛЮЧИВ ИЗ (Э3)2 Подформулу ( & -i(VyCX0)). j=|

Следовательно,

В конце этого раздела введем следующие определения.

Df. 1. Индуктивный метод получения заклю­ чений из множества посылок (фактов или гипо­ тез) будем называть миллевским, если он образован методом простого сходства (преди­ катами M*„(V,W) и M ~w(V,W) и дополни­

тельными условиями.

Таким образом, миллевский индуктивный метод есть Мап(V,W) & дополнительное усло­

вие. Минимальным миллевским методом бу­ дем называть стратегию Strfl)(l, образованную М \ п(V>W) и М “д (V,W).

Df.2. Дополнительные условия («добавки»)

будем называть неэлементарными (или мил-

левскими), если они образованы посредством

(ЭУ), (ЭЗ), (СХ), (УИ) и к>2 (экзистенциаль­

ными условиями, эмпирической зависимостью,

условием исчерпываемости и условием нижней границы числа примеров к).

Примерами таких неэлементарных или мил-

левских дополнительных условий являются (d2)

и (di) - дополнительные условия для индуктив­ ного метода соединенного сходства - различия.

Df.3. Дополнительные условия будем назы­ вать элементарными (или немиллевскими), ес­ ли они не образованы посредством (ЭУ) & (ЭЗ) & (СХ) & (УИ) и условием нижней границы чис­ ла примеров, которое больше или равно 2.

Примерами элементарных (немиллевских)

условий являются (b)a, (е°), (d*) и (do*), где

ае {+,-}.

Df.4. Миллевский индуктивный метод будем называть слабым, если его дополнительное ус­ ловие является элементарным или же оно от­ сутствует.

Примерами таких индуктивных методов яв­ ляются стратегии Strv , где х есть подмножест­

ва {а+, b \ е+, d \ d0+}, которым всегда принад­ лежит а+, а у есть подмножества {а“, Ь”, е”},

которым всегда принадлежит а-.

Следствиями этих определений являются утверждения о том, что п.п.в.-1^, являющиеся

буквальной имитацией посредством ДСМ-

метода АПГ Второго правила Д.С. Милля, не удовлетворяют условиям миллевских индук­ тивных методов в смысле Df.l, а п.п.в.-\j ,

п.п.в.-1^ и п.п.в.-1^, п.п.в,-1^ удовлетворяют

условиям слабых и сильных индуктивных мил­ левских методов, соответственно.

Заметим, что дополнительное условие (d) не выражает сходства на (-)-примерах и не ис­ ключает влияния других причин V;, отличных от искомой причины У.

Сделаем теперь следующее историческое замечание. При обсуждении Второго правила Д.С. Милля, которому он придавал большое значение для установления причин изучаемых эффектов, следует упомянуть о роли его пред­ шественника Д. Гершеля [5]. Как замечает В. Минто [24], Д.С. Милль видоизменил идею Д. Гершеля о роли установления различия при порождении гипотез о причине изучаемых эф­ фектов. Согласно Д. Гершелю, если мы можем найти в природе или сами произвести два фак­ та, сходные во всем кроме одного частного об­ стоятельства, в котором они различны, то зна­ чение этого обстоятельства в происхождении исследуемого явления необходимо должно при этом обнаружиться (если, конечно, оно вообще имеет какое-либо значение). Разумеется, что формулировка Второго правила Д.С. Милля более точна, чем идея Д. Гершеля установления причины с использованием различия.

IV. Индуктивный метод остатков

Четвертым индуктивным методом Д.С. Мил­ ля является метод остатков (the Method of Resi­ dues) ([1], Книга III, Глава VIII, стр. 311-314).

Согласно Д.С. Миллю метод остатков состоит в следующем. Если имеется описание некото­ рого явления, содержащего некоторое множе­ ство эффектов (явление состоит из условия и эффектов) и даны результаты предыдущих ин­ дуктивных рассуждений в виде утверждений «причина - следствие», то «вычитая» из усло­ вий явления причину, а из эффектов - следст­ вие, получим гипотезу, в которой представлено знание о причине оставшихся эффектов данно­ го явления.

Схема вывода согласно методу остатков представима следующим образом:

ABC - abc

А- а

В-Ь

С- с ,

где ABC - abc - явление, ABC - его условие, abc - множество эффектов, A-а и В-b - резуль­ таты предыдущих индуктивных рассуждений,

соответственно, а С-с утверждение о том, что С - причина с, т.е. следствие вывода индуктив­ ного метода остатков.

Приведем формулировку Д.С. Милля для правила индуктивного вывода метода остатков.

Четвертое правило Если из явления вычесть ту его часть, ко­

торая, как известно из прежних индукций,

есть следствие некоторых определенных пре­ дыдущих, то остаток данного явления должен быть следствием остальных предыдущих [1].

Под «предыдущими» Д.С. Милль понимает части явления такие, что они представляют при­ чины эффектов, содержащихся в этом явлении.

Поэтому под «вычитанием» следует понимать удаление из явления как следствия, так и причины полученных ранее посредством некоторых ин­ дуктивных рассуждений. Он прежде всего счита­ ет надежным средством результаты метода раз­ личия. Но из предыдущих рассуждений следует,

что можно использовать результаты как слабых,

так и сильных миллевских методов, формализо­ ванных средствами ДСМ-рассуждений.

Сформулируем ниже формализацию индук­ тивного метода остатков, которая, как будет показано, является сильным миллсвским ин­ дуктивным методом. С этой целью определим экзистенциальные условия (ЭУ)я, условия сход­ ства (СХ)д, эмпиричесую зависимость (Э3)я и условия для нижних границ рассматриваемых примеров.

( C X ) , ^ ( ( ( n (X A V )= Z 1) & - 1( Z i= 0 ) &

1=1

( П (Y A W )= U 1) & - 4 U i = 0 ) ) & . . .

1=1

& (( П (X ;\V )= Z r) &

'■=*f-l+l

^(Zr=0)&( n (YAW)=U,)& -i(Ur=0));16.

(ЭЗ) W &(УИ) P —V/VXVY ((У0Л(Х=я Y) &

(Z,cX)) -> ((U,cY) &( v ((Х=ХУ) & (Y=Y/) & y=i

(/=/;)))), - ,

(ЭЗ) W =V/VXVY (Й ,Л(Х=>,У) &

(Z/=X))->((U^Y)&( v ((X=Xy)&(Y=Yj)& j=K-1+1

(Hjsm

Условия для нижних границ рассматривае­ мых примеров: ((к\>2) &... &(&,>2))&(г>1)&

№ /•)),

(Э З ),- & (33)1? • /=!

Позитивный предикат, используемый для формализации метода остатков, обозначим по­

В i_, (V,W )^3к 3г 31Х...3/, 3ki.. .3fe3X,

3Yj.. .3X*3Y*3Z!.. .3Zr3U ,.. .3Ur (((ЭУ)* &(CX)* &(ЭЗ)R&((*i>2) &... &(^f>2))&(r> 1 )&(к>2г)),

где /и=тах(я, 1Х, ..., 1^)+\, п - число шагов

применения п.п.в. для получения гипотезы y<1„)(V=>2W), Tj, к - значения числовых пара­

метров /,, к (/=1, ...к). Гипотеза J<i^,>(V=>2 Щ ~

результат предыдущих правдоподобных рассу­ ждений (в том числе индукций посредством п.п.в.-1), реализующих какие-либо стратегии

StrXJf ДСМ-метода АПГ.

Позитивное правило формализованного ме­ тода остатков п.п.в. 1 £ , соответствующее Чет­ вертому правилу, имеет следующий вид:

+- V ) ( V:^ w ),b ; ,,( v ,w )

V ) ( C , ^ 2 Ql ) * * * )(^r ~^2 Qr)