Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1269 вузов, 4660 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Оболочки и пластины

..pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
71.66 Mб
Скачать
☆

3. Напряжения при упругой закритической деформации выпуклой оболочки

Ранее было отмечено, что 'вне окрестности границы выпучивания на­ пряжения .в оболочке близки .к тем, которые возникают .при докритиче- •ской деформации при той же внешней нагрузке. На достаточном удале­ нии от границы области выпучивания внутри ее имеются напряжения от изгиба, определяемые формой зеркального выпучивания, которые можно вычислить следующим образом: зеркальное выпучивание приводит кпо­ явлению на поверхности оболочки напряжений растяжения—сжатия, равных

orx= ± - ^ T (fe1 +vA2), <j2 = ± T ^ T fo + vAI).

(5,10,18)

На границе выпучивания основной изгиб происходит в плоскости, перпендикуляркой границе.

А. В. Погорелов [28] полагает, что изменение нормальной кривизны оболочки при этом настолько велико, что начальной кривизной можно пренебречь. При этом предпо­ лагается, что можно считать возникающие от такого изгиба напряжения такими же, как и в случае конической оболочки при ее деформации с выпучиванием, рассмотрен­ ным ранее. Напряжения изгиба конической оболочки в плоскости меридиана вблизи границы выпучивания определяют по формуле

■ Ehv.

 

 

а =

ч------------------

 

 

 

 

 

 

 

“

2(1 —v2)

 

 

 

 

(* =

(I + и') -

и* (л +

V) ) .

(5,10,19)

Переходя к переменным и, о,

s (5,10,6)

и опуская черту

над ними, получим

для х вы­

ражение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х =

(XV

(1 +

TiV) — if и" (1 +

и)],

(5,10,20)

---- [v‘

 

 

ре

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которое при Л-»-0 и а->0 перейдет в следующее:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(XV

 

,

 

 

(5,10,21)

 

 

 

 

X = ;----

V

,

 

 

 

 

 

 

 

ре

 

 

 

 

 

где v' — реализующая минимум функционала / 0 функция.

 

 

Внося (5,10,13) в (5,10,21), а последнее в (5,10,19), получим

 

 

 

1 24

Е

 

 

1

1

з

,

 

о =

i

 

-Го ,2

2

(5,10,22)

-----------з~ р

 

2

h 2 а 2 v

 

 

 

2 (1

— V*)4

 

 

 

 

 

 

Выражение напряжений

через нормальную кривизну ilIR оболочки в -направлении

/ 1

~

а \

 

^Р1™167 вид

 

 

 

 

границы выпучивания

~р~)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

124 о'

(5,10,23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_3_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(1 —V2)4

 

Максимальные напряжения от изгиба в окрестности границы выпучивания соответст­

вуют максимальному значению производной v'(s), которое достигается при

5= 0. Это

видно из того,

что при 5= 0 и"=0, а также из второго уравнения системы

(5,10,10).

При 5 = 0

v'= \. Поэтому cf—А при v = 0,3.

 

На границе выпучивания оболочки местный изгиб сопровождается появлением на­ пряжений растяжения (сжатия) срединной поверхности оболочки в площадках, пер­ пендикулярных транице выпучивания. При малой толщине эти напряжения можно счи­ тать такими же, как и в случае конической оболочки, для которой они .равны

и*

сг = + Ее2=

+ -----

(5,10,24)

 

Р

 

Или в переменных, реализующих минимум /о:

 

 

J_ J L з_

 

 

а = ± c"Eh2 р 2 а 2 ;

с" = -----*— - ------- — .

(5,10,25)

12Т (1 — v2)T

Максимальное напряжение а будет соответствовать максимуму значения w (s)^0,5. При

v= 0,3 d '=0,25. Выражая напряжения через нормальную кривизну

1 /R, получим

о

(5,10,26)

В случае малых упругих выпучиваний оболочек выражения для энергии упругой деформации можно упростить. Известно, что форма регулярной строго выпуклой поверх­ ности в малой окрестности точки Р хорошо приближается соприкасающимся эллипти­ ческим параболоидом. Приняв касательную плоскость поверхности в точке Р за пло­ скость ху, а главные направления на поверхности в этой точке за направление коорди­

натных осей, уравнение соприкасающегося параболоида можно записать в виде

г = \ (6l*2 Ф % 2)•

Следовательно, при малой высоте выпучивания 6 область зеркального выпучива­ ния с центром Р можно задать уравнением

6 = у

( V 2 + ^ 2),

(5,10,27)

которое описывает эллипс с полуосями

 

 

Г

2б_

 

 

(5,10,28)

■ - / - Г -

* - / ■ k2

 

Площадь выпучивания оболочки будет

2яб

(5,10,29)

s° " V w

Кривизну границы выпучивания (полагая x=acost, y= bsint) запишем так:

1

 

аЬ

(5,10,30)

о

~

± •

 

 

(a2 sin21-ф- b2 cos2 /) 2

 

Нормальная кривизна поверхности оболочки в направлении границы выпучивания

1

 

26

'[(5,10,31)

 

a2 sin21

-ф- b2 cos21

 

 

В случае малой области

выпучивания

главные кривизны k{ и k2 изменяются мало

по области интегрирования и их можно считать равными значениями в центре выпучи­ вания. Тогда (5,10,1) примет вид

Eh3

6 (1 — v2)

Внося сюда значение S G — площади области выпучивания из (5;10,29), получим

2nbEh?Kv

(5,10,32)

^ G 6(1 — va) У kxk2

Для энергии упругой деформации, связанной с местным изгибом на границе выпу­ чивания

5_

Uy = ^ U d s ,

\ U - c E

( У

) 2 Ра]>

(5,10,15')

V

 

 

 

 

найдем, учитывая (5,10,29) и (5Д0,30),

 

 

 

 

иу=

псЕ

{а2 +

Ь2)’

(5■ 10>15">

или, учтя (5,10,28),

 

 

 

 

 

А А

 

 

 

Uy = лсЕ (26) 2 ft 2 (fti -$■ &г)>

(5,10,33)

-что можно записать через среднюю кривизну/( =

“~(^а — ft,) оболочки

в центре выпу-

чивания так:

 

 

 

 

 

А А

 

 

 

Uy = 2ясЕ (26) 2 h 2 К;

(с ж 0,12).

(5,10,34)

Этой формулой можно пользоваться при условии, что

 

 

- 5 - ( t - ) « “

 

 

(5Л0'35)

Формула (5,10,23) для напряжений в -случае малой области выпучи­ вания после внесения в нее значений 1/р и !1 / R из (5,10,30) и (5,10,31) примет вид

а

= ±

C' ^ A

L ,

(5,10,36)

 

 

аЪ

 

 

или, учитывая (5,10,28),

 

 

 

 

<т=

± с' Е

А А

 

(5,10,37)

(26)2 ft2

V k f c .

Заметим, что напряжения вдоль границы выпучивания постоянны.

Для напряжений растяжения

(сжатия)

'срединной поверхности, обу­

словленных местным изгибом, была построена формула

(.5,10,25), .кото­

рая в -случае малой области выпучивания примет вид

 

4.Устойчивость упругого равновесия выпуклой оболочки

свыпучиванием

'Пусть нагрузка «внутри области малого «выпучивания постояннаяУсловие равновесия упругого состояния оболочки можно записать как, равенство работы d A внешних сил и изменения энергии упругой дефор­ мации:

 

Р

 

 

 

dA

=

dUy +

d U G.

 

(5,10,39)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

определения

параметров

упругой

 

 

деформации

оболочки

(центра и -высоты

 

 

выпучивания)

найдем элементарную ра­

 

 

боту d A

в зависимости «от «них. Работа d A ,

 

 

производимая

внешней

нагрузкой q при

 

 

переходе от выпучивания

1—I (рис. 5.42)

 

 

к

бесконечно

 

близкому

выпучиванию

 

 

2—2, равна, q d v , где d v

— изменение объ­

 

 

ема, «вызванное выпучиванием. Следова­

 

 

тельно,

d A

есть

дифференциал

функции

 

 

A = q v , где v — удвоенный объем сегмен­

 

 

та, отсекаемого

плоскостью, определяю­

 

 

щей зеркальное выпучивание оболочки.

 

Найдем объем этого сегмента. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y = \'s(z)d z,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

S(z) — площадь «сечения,

параллельного

основанию

сегмента

на расстоянии z от

вершины. Так как форма сечения «близка к эллипсу с полуосями

 

 

 

 

<*(*).= |. /

2z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

V

т -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2яг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(z) =

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

УЖ"*

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2лz

 

 

лб2

 

 

 

 

 

 

V

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J yr kxk2 dz =

Y * 1*2

 

 

 

(5,10,40)

и,

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

2п62

 

 

 

 

 

 

(5,10,41)

 

 

/ i

—

 

 

 

 

 

 

 

 

V * 1 * 2

Пусть положение центра выпучивания известно. Тогда высота выпучивания определится из соотношения

d

 

°о 1

1

Введем параметр нагрузки

1

£

II О

(5,10,42)

Ч

Eh2kxk2

и параметр высоты выпучивания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т) =

|/ h

 

 

 

 

 

 

 

(5,10,44)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда формулы (5,10,41), (5,10,34), ‘(5,10,31) для A,

U у

и

На,

а также (5,10,42)

перей­

дут в следующие:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А =

-у- Elr\*h* V

&iki,

 

 

 

 

(5,10,45)

 

 

Uy =

2ncEr\3h* - у

(1ц-f fe2),

 

 

 

 

(5,10,46)

 

 

Ur

 

 

 

nEr\2h*kv

 

 

 

 

 

 

 

(5.10.47)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.10.48)

согласно которым нетрудно построить уравнение

равновесия,

определяющее

высоту

выпучивания:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Где

 

| г )

» -

З с

л

7 ( Ф 6(1 — v2)

 

V

2,

-

= 0 ,

 

 

( 5 , 1 0 , 4 9 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

К

-

 

 

 

К ,

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“

— Т Т - К у —

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( г -t,*,;

 

 

K=

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

Определив т], найдем

высоту

выпучивания

6 = 1/2^rj2,

а

затем

по формулам

(5,10,28)

размеры области выпучивания:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5,Ю ,28)

Положение

центра

выпучивания

Р

можно

 

определить из следующих

соображений.

«Высота» выпучивания т], определяемая из

(5,10,49),

 

будет

функцией

Р.

Истинному

выпучиванию отвечает такое положение Р, при котором энергия упругой

деформации

U y + U G максимальной. Внося

т]

из

(5,10,49)

в выражение энергии упругой деформа­

ции Uy + U G, 'рассматриваемой как функция

 

от Р, найдем положение центра

выпучи­

вания из условия максимума этого выражения. Тот же результат можно получить из

условия максимума выражения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А =

- у

 

/

*1*2 .

 

 

 

 

 

(5,10,50)

•в* которое надо внести т}, определяемое из уравнения

(5,10,49). В случае

действия на

оболочку сосредоточенной сиды Р, точку приложения которой можно считать центром

выпучивания

Р, элементарная работа

dA = 2Fdd,

где

 

6 — высота сегмента

зеркального

выпучивания. Полагая 6 = —- —

и

 

 

л

 

 

 

____

 

получим

 

 

 

 

F = —

 

E%b?yf kikit

 

 

 

 

 

 

 

 

А =

nElrfh.*

 

 

 

 

 

 

 

 

(5,10,51)

Из условия (5,'10,42), учитывая (5,10,46) и (5,10,47), получим уравнение, которому удов­ летворяет параметр т), определяющий высоту выпучивания 6:

К

6(1 — V1)

откуда

 

’ - i ( E- e < r b r ) -

(5’,0'53)

Если «на оболочку действует произвольная нагрузка q , сосредоточен­

ная -внутри области выпучивания (у границы выпучивания q =

0), то ее

действие эквивалентно* равнодействующей сосредоточенной нагрузке F. В этом случае т] определяется по формуле (5Д0,53).

При действии на оболочку нагрузки, зависящей от формы поверх­ ности, при заданном положении центра выпучивания р действующая на­ грузка будет известной функцией q ( p , 6) высоты выпучивания б. Следо­

вательно, можно найти

работу внешних сил А (р, 6), а затем высоту б (р)

из условия равновесия

(5,10,42). Положение

центра выпучивания опре­

деляется из условия максимума Л[р, 6(р)] как

функции р.

В случае действия ударной нагрузки

(удар »в точке р ) можно пред­

положить, что энергия удара Т переходит

целиком в энергию

упругой

деформации, связанной с выпучиванием

( U v + U G), так как

появление

выпучивания снижает жесткость оболочки как упругой системы. Высоту выпучивания определяем из равенства

T = U y + и а .

Например, в случае выпучивания сферической

оболочки

радиуса R и

толщины h под действием сосредоточенной силы F имеем

 

 

 

£ =

Kv = 2(l

+ v ) ,

 

 

 

 

 

nEh3

 

 

 

 

 

„ _

- L

( Ж . _

_ _ ! _ \

6 =

Ла*..

 

 

1

3с

V пЕИ?

3(1 —V) у

 

2

 

Состояние упругого равновесия считаем устойчивым, если

 

 

 

d * ( A —

U y - U a ) <

0 ,

 

(5,10,54)

и неустойчивым, если

 

 

 

 

 

 

 

 

d2 (A — Uy — U G) >

0.

 

(5„ Ю,55>

Пусть «а оболочку воздействует непрерывная нагрузка q,

такая, что А,

U у и

описываются формулами (5,10,45) — (5,ТО,47).

 

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

^ < л - 1/ , - а д = - А - < л - ( / , - а д - £ = . о,

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

— ■(Л

U у — Ua) =

(A — U v — а д ( Я . у

(5,10,56)

Таким образом, вопрос об устойчивости равновесия решается в зависи­ мости от знака выражения

Учитывая условие (5,10,48) равновесия оболочки, получим

i t <Л - ^

- и °~> = « в * V T

( M R +

 

 

 

 

откуда видно, что

 

 

 

 

 

 

 

- ^ { А - Щ - и в) > 0 .

 

 

 

 

Следовательно, все состояния упругого равновесия

выпуклой

оболочки

с выпучиванием под действием непрерывной нагрузки .неустойчивы.

яв­

Неустойчивость упругого -состояния оболочки при выпучивании

ляется причиной «зыщелкивания» оболочки, т. е. скачкообразного

вы­

пучивания без увеличения внешней нагрузки.

 

 

 

 

При действии сосредоточенной силы F ,

 

 

 

 

(A — Uy — U о) =

яEh* V k J * (26 -

12сц К -

^

)■

(5,10,58>

или, учитывая условие равновесия (5,'10,52), получим

 

 

 

 

(Л — t/v — Uа) =*=— 6яс£/г«т1^

<

0.

 

 

ат]2

 

 

 

 

 

 

т. е. упругие состояния .равновесия оболочки с выпучиванием под дейст­ вием сосредоточенной силы являются устойчивыми.

5. Верхняя и нижняя критические нагрузки

Верхнюю критическую нагрузку в рамках построений А. В. Погорелова определить невозможно, так как они относятся к области деформа­ ций -со значительным выпучиванием. Однако можно высказать сообра­ жения о том, как влияет принудительное выпучивание, например на­ чальная погибь, на величину верхней критической нагрузки.

•Пусть высота выпучивания оболочки, на которую действует нагруз­ ка q, будет б. Формула (5,‘10,49) дает связь q { 6) в переменных £, тр Так как упругие состояния равновесия под действием непрерывной нагрузки

неустойчивые, то при q < q ( б)

выпучивание исчезает, а при # > < 7(6),

наоборот, растет и происходит

хлопок оболочки. Таким образом,

при

выпучивании оболочки на высоту б верхняя критическая нагрузка

сни­

жается по крайней мере до значения q ( 6). В качестве примера приложе­ ния этого результата рассмотрим задачу проектирования оболочки та­ кой, чтобы исключалась возможность выщелкива-ния оболочки между шпангоутами под действием данной нагрузки. Для определения рас­ стояния между шпангоутами надо определить размеры области выпучи­ вания, отвечающие заданной.нагрузке, а после этого расположить шпан­ гоуты так, чтбы никакая из указанных областей не могла поместиться между ними. П-ри таком расположении подкрепляющих элементов вся­ кое выпучивание, какой бы причиной оно ни вызывалось, под действием нагрузки q развиваться не может, а следовательно, исчезает.

Нижней критической нагрузкой при непрерывном нагружении обо­ лочки будет нижняя грань нагрузок q , отвечающих устойчивым состоя­ ниям упругого равновесия с выпучиванием. С точки зрения изложенной.

здесь теории такое понятие нижней критической нагрузки смысла не имеет, так как все упругие состояния выпуклой оболочки с выпучиванием являются неустойчивыми.

Рассмотрим сферический сегмент, защемленный по краю, подвергнутый действию непрерывно возрастающего внешнего давления q. При некотором давлении q произой­

дет хлопок оболочки, после чего будем непрерывно уменьшать нагрузку. Область выпу­

чивания почти не изменяется до

тех пор, пока давление не снизится

до некоторого

значения q B< q Bl при

котором произойдет обратное выщелкивание оболочки. Величи­

на <7п принимается за

нижнюю

критическую нагрузку. На образцах,

подвергнутых

таким испытаниям, наблюдались следы пластических деформаций. Согласно излагаемой здесь теории упругого состояния оболочки с выпучиванием, характер такого экспери­ мента поясняется следующим образом. Выпучивание оболочки, которое наступило под нагрузкой q в при неограниченной упругости материала оболочки, остановиться не мо­

жет, так как работа внешних сил растет быстрее энергии упругой деформации, связан­ ной с выпучиванием. Но и случае появления на границе выпучивания пластических деформаций дальнейшее выпучивание сопряжено с большим расходом энергии, кото­ рая не восполняется работой внешних хил, и, следовательно, выпучивание останавли­ вается.

Таким образом, определение нижней критической нагрузки q a для строго -выпук­

лых оболочек невозможно без учета пластических деформаций. В рамках упругих деформаций для q H можно дать оценку сверху. Действительно, ввиду неустойчивости

упругого состояния оболочки с -выпучиванием под действием непрерывной -нагрузки выщелкивание оболочки можно вызвать из любого такого состояния сколь угодно малым возмущением. Критическая нагрузка q u не превосходит нижней грани на-грузок q , отвечающих упругим состояниям с выпучиванием. Пусть нагрузка q * отвечает появле­

нию -на границе выпучивания неупругих деформаций и соответствующих

напряжений,

которые

будем

считать

равными

пределу текучести о 8. Нагрузку q *

найдем

из сле­

дующих соображений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Высота б выпучивания оболочки, при которой на границе -выпучивания возникают

напряжения от

местного

изгиба,

определяемые

согласно

(5,10,37) и равные

в нашем

случае ств, -может быть определена из условия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J ___ 1_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

as =.с'Е (26) 2

h2

 

 

 

 

(5,10,59)

Полагая

6 =

hr|2, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a s =

c'E h r\ y f kik 2.

 

 

 

(5,10,60)

Внося в (5,10,49) значение г|,

выраженное

через

<тя, найдем

значение

параметра нЗ'

грузки £, отвечающее искомой

нагрузке q *

(напомним, что q =

\E h 2k\k2)\

 

 

 

V

= Зсс' ( Щ

Е -

Ф

—р--- - [4 (W - 2 (1 -

V) ГА»] ( — Y

 

(5,10,61)

 

 

 

 

O s

 

0(1 — Vz)

 

 

 

\ Os J

 

 

= —

(^i + ^г) — средняя, а Г = kxk2 — гауссова кривизна в

центре выпучивания^.

В частности, для сферической оболочки радиуса R

 

 

 

 

 

 

 

1 * =

3сс

 

 

 

3 ( 1 — v2)

 

 

 

 

(5,10,62)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, экспериментально определяемая нижняя критическая нагрузка

q B= ^nE h 2k\k2 tfe

превосходит q * = £ * E h 2k ik2,

где

£*

находится из

(5,10,61).

Этот вывод

можно

делаТЬ,

если рассматриваемые

деформации

находятся

в области

допустимых

теорий, т.

должно быть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

следует, что формулой (5,10,61) можно пользоваться, если

 

 

as > E h klt

(5,Ю ,63)

где k\

— большая из главных кривизн. Заметим, что требование (5,10,63)

можно [28]

ослабить до o a> E h k l .

6. Упрощенная теория А. В. Погорелова для эакритического упругого состояния строго выпуклых оболочек

Если в .выражении энергии упругой деформации пренебречь энер­ гией изгиба оболочки то области выпучивания, то теория упругого со­ стояния выпуклых оболочек при выпучивании существенно упрощается. Вместе с тем такое допущение возможно на том основании, что энергия изгиба оболочки по области выпучивания имеет подчиненное значение в сравнении с энергией, обусловленной местным изгибом на границе выпучивания.

Возьмем для простоты сферическую оболочку. Имеем

 

 

2п д Е №

 

=

2п с Е (26)

 

(5,10,64)

 

 

6(1 - v ) «

’

 

 

 

 

 

 

 

 

Вводя в эти формулы вместо 6 радиус р круга выпучивания, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

n E p 2h?

 

 

 

( h

\ 2

(5.10.65)

 

u °

= w

= j i

t -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H i

- = ----- 1-------\ /

Ж .

У

р2

(5.10.66)

 

и .

 

1 2(1 — V) с

у

р2

 

Формула для U у выведена в предположении,

<Rh

 

что — — < 1. Следовательно, тео

рия относится к таким деформациям с выпучиванием, при

которых U G ^ U y . Поэтому

допустимо пренебречь членом

U G в выражении энергии упругой деформации, считая ее

равной

просто энергии

местного изгиба

U y

на границе

выпучивания.

Качественно

такой

же результат получается и для произвольной

выпуклой оболочки.

Здесь всюду

будем считать, что энергия упругой деформации оболочки состоит только из энергии местного изгиба на границе выпучивания.

Займемся определением состояния равновесия оболочки с выпучиванием при раз­ личных способах нагружения. В случае выпучивания оболочки под действием непре­

рывной нагрузки, как и ранее,

будем

характеризовать действующую на оболочку

q

а ВЫС0ТУ выпучивания 6 — параметром т]=

 

нагрузку q параметром % = h_h r i

 

Тогда получим следующую простую связь между |

и TJ:

 

 

|ti — Зс

К

0.

(5,10,67)

 

/ Г

 

 

 

 

Отсюда находим высоту выпучивания б в зависимости от действующей нагрузки q :

№Е?№ТК?

(5,10,68)

Положение центра выпучивания определяется из условия стационарности энергии упру­ гой деформации:

3 5

и у = 2 я с Е (26) 2 Л 2 ТС,

(5,10,69)

где вместо 6 надо подставить выражение, определяемое формулой (5,10,68).

39 п. М. Огибалов, М. А. Колтунов

В случае выпучивания оболочки под действием сосредоточенной силы будем: характеризовать действующую нагрузку F параметром £, определяемую формулой

F =

 

(5,Ю ,70)

Тогда условие равновесия оболочки получим в форме

 

|-3cn -i7== -=0-

(5,10,71)

 

V «1*2

 

Отсюда для высоты выпучивания б под действием сосредоточенной силы F

получаем

формулу

 

 

6 =

4Я

(5,10,72)

 

9c2n 2E 2h *K 2

В случае выпучивания оболочки под действием ударной нагрузки сосредоточенный удар по оболочке, сообщающий энергию Л, вызывает выпучивание б, определяемое из соотношения А = U у , т. е.

_з__5_

А = 2лс Е (26) 2 ft 2 К ,

(5,10,73)

где все величины относятся к точке поверхности оболочки, в которой произведен удар. Таким образом,

 

 

 

2_

 

 

 

А

\

з

 

(5,10,74)

2

_5^

 

 

 

 

 

 

 

2n cE h 2 К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Во всех случаях нагружения максимальные напряжения, возникающие от мест­

ного изгиба на границе выпучивания, определяются

по

формуле

 

 

J ___ 1

 

 

 

 

0 = ± с ' £ ( 2 6 ) 2 h 2 / М

Г ( с ' -

!)•

(5,10,75)

Рассмотрим вопрос о верхней критической нагрузке. Как показано ранее, принудительное выпучивание оболочки на высоту б снижает верх­ нюю .критическую нагрузку по крайней .мере до значения <7(6), которое определяют из условия равновесия оболочки под действием непрерыв­

ной нагрузки, т. е. из соотношения

(5,10,68)', где все величины относятся

к центру выпучивания.

оболочка, находящаяся под дейст­

Отсюда следует, что выпуклая

вием непрерывной нагрузки q и сосредоточенной силы F , удовлетворя­ ющих неравенству

4Я

9с*Е *№ Т К

(5,10,76).

>

2q2

9c2n 2E 2h *K 2

 

обязательно прощелкивает.

Аналогично заключаем, что если по оболочке, находящейся под дей­ ствием непрерывной нагрузки q , наносят удар, сообщающий энергию/!, причем выполняется условие

А

_5_

9c2E 2hbYК 2

(5,10,77);

2

2q2

2n cE h

2 К

 

 

то оболочка прощелкивает.

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности