книги / Оболочки и пластины

где

Здесь и в дальнейшем черта над l(t) опущена. Уравнение (5, 3, 14) от­ личается от аналогичного уравнения для пластины наличием квадратич­ ного члена, характеризующего несимметричный характер нелинейности, присущий оболочкам. Его следует рассматривать как первое приближе­ ние для описания параметрически возбуждаемых колебаний в оболоч­ ках.

Дальнейшее уточнение возможно при рассмотрении большего числа членов аппроксимирующего ряда, приводящего к системе уравнений та­ кого же типа. Как известно [22], области неустойчивости нулевого реше­ ния (5,3,14) лежат вблизи частот

I

Наиболее опасна первая (главная) область неустойчивости, границы которой без учета затухания определяем по приближенной формуле

2]/Т±~р. (5,3,17)

Периодические решения уравнения (5,3,14) будем искать в окрест­ ности главной области неустойчивости, пренебрегая затуханием. Если в качестве первого приближения ограничиться рассмотрением решения в виде

ДЛЯ ветви, примыкающей к нижней границе области неустойчивости, и

для другой ветви, то для амплитуды установившихся колебаний получаем формулы

(5,3,20)

(5,3,21)

0

где п = Эти формулы совпадают с соответствующими формулами

для пластин [22]. Между тем естественно ожидать качественное отличие поведения оболочек при параметрических колебаниях. По-видимому, для оболочек недостаточно ограничиться гармоническим приближением (5,3,18) и (5,3,19). В этом приближении квадратичный член в урав­ нении (5,3,14), отражающий специфику нелинейности оболочки, не учитывается.

.Исследуем поведение оболочки при возрастании нагрузки, считая начальные и дополнительные прогибы сравнимыми с толщиной оболоч­ ки. Будем исходить из нелинейных уравнений теории гибких оболочек с учетом начальных неправильностей в форме срединной поверхности:

ных вмятин соответствуют форме и расположению вмятин, образующих­ ся в процессе деформации.

вечает условию шарнирного опирания торцов оболочки Мх= 0 при х = 0. Это обстоятельство, однако, не должно сильно сказаться на результатах решения задачи при выбранных параметрах оболочки.

Первый член выражения (5,4,4) отвечает форме волнообразования оболочки при потере устойчивости «в малом». Второй член учитывает преимущественную деформацию оболочки к центру кривизны. Третий член характеризует радиальную деформацию торцевых шпангоутов: предполагаем, что торцовые сечения получают радиальные обжатия не только до потери устойчивости, но и в процессе деформации оболочки.

В правую часть уравнения (5,4,2) подставим выражения (5,4,3), (5,4,4) и (5,4,5); интегрируя его, получим следующее выражение для функции напряжений:

Под pi и рг понимаются средние значения сжимающих усилий, при­ ходящихся на единицу длины кольцевого и продольного сечений оболоч­

Работа внешнего поперечного давления определяется выражением

Введем безразмерные параметры для энергии, нагрузки и прогиба:

ивоспользуемся безразмерным параметром

Э= Э — пЕШ

для которого получим выражение

Уравнения метода Ритца в применении к параметрам £ и g запишем в виде

'ас

Произведя необходимые вычисления, получим

нии (5,4,27) — коэффициентом 2 при £„ч в последнем слагаемом. Приня­ тые допущения несущественны и оказывают малое влияние на точность

решения.

Таким образом, решая систему (5,4,27), (5,4,28), в окончательном виде получаем два уравнения, связывающие величину q с параметрами gi,4l g, £ и числом волн п вдоль дуги оболочки:

Если в уравнении (5,4,29) положить £„.,= £=0 и взять только линей­ ные члены относительно £, получим верхнюю критическую нагрузку:

Эта форма впервые получена Мизесом.

Если же в исходных соотношениях положить pi = 0, то придем к за­ висимостям, полученным А. С. Вольмиром в работе [20] для случая дей­ ствия только одного поперечного давления.

Приведем результаты вычислений, выполненных исходя из полных нелинейных уравнений (5,4,29) и (5,4,30) для случая гладкой оболочки

лочки получилась близкой к верхнему критическому значению'<7кР =0 039 отвечающему формуле (5,4,31). Следует также отметить, что с ростом отношения критическое значение давления убывает, а точка, соответст­ вующая минимуму кривой — нижнему критическому давлению, смещает­ ся вправо вдоль оси |. Необходимо иметь в виду то обстоятельство, что с ростом отношения R/h увеличивается критическое значение чисел волн «КР; так, для £//1 = 112,5 п„р = 6, а для £//i=1000 п1ф=10.