книги / Оболочки и пластины

меридионального момента

где п — число участков разбиения зоны краевого эффекта, RXj и # 2j — 1-й и 2-й радиусы кривизны в /-той точке зоны, 0 — угол между R Xj-\ и R \и ф — широта /-той точки (рис. 6.9).

Суммарные напряжения ;на наружной и внутренней -кромках обо­ лочки будут:

а) меридиональные

Результаты счета на ЭЦВМ приведены на рис. 6.10 и 6.L1 [27].

Для равновесия -нити -необходимо также приложить нормальную к по­ верхности нагрузку с компонентами:

Преобразуем третье уравнение равновесия в форме (6, 8, 2). ИопОль-

где r = r(s), s — длина дуги .меридиана поверхности (6, 8, 5). Задача о нити, лежащей на поверхности вращения и нагруженной осесимметрич­

11), получим одно уравнение относительно неизвестной функции X (г), представляющей собой нормальную к поверхности нагрузку на нить.

Представляет интерес построение произвольно заданной нитевой .по­ верхности вращения .при заданных наперед нагрузках, действующих на эту поверхность. В общем случае такое построение возможно, если в на­ шем распоряжении имеется множество нитей при выборе определенного закона распределения этих нитей на поверхности. Очевидно, что суще­ ствуют поверхности, равновесие которых возможно при конечном числе линий для нагрузок вида (6, 8, 6), если на поверхность действует распре­ деленная -нагрузка, совпадающая с нагрузкой X. Уравнение такого клас­ са поверхности 'будет получено ниже. Для построения упорядоченного множества нитей воспользуемся уравнением (6, 8, 10 ).

Величины Т0 и г0 условимся определять в точке, где фо = я/2, тогда любая кривая (6, 8, 10) может -быть определена ери заданном некото­ ром значении г0, .где кривая касается круга г0. Точку г0 -будем называтьполюсом данной кривой, а 'совокупность линий, имеющих один и тот же •полюс,— семейством. Будем считать, что поверхность (6, 8, 5) образо­ вана множеством семейств линий, удовлетворяющих уравнениям (6, 8, 8) и (6, 8, ,10), причем полюса этих линий распределены непрерывно и рав­ номерно вдоль дуги меридиана s поверхности. Обильностью семейства линий ф(г0) данного полюса r0(s) будем называть число линий, имеющих полюс r0(s0) и равно расположенных по окружности параллельного кру­ га, приходящихся на единицу длины меридиана.

В уравнении ('6, 8, 11) неизвестная нагрузка X отнесена к единицедли.ны нити. Если р(г, г0) — нормальная к поверхности нагрузка, урав­ новешивающая семейство нитей обильностью *ф(г0>) и отнесенная к еди­ нице площади поверхности, то Xвыразится так:

го

Если граничное сечение оболочки si, то, интегрируя полученное равен­ ство в пределах от sxдо s, имеем

Пусть s = a(r) и sQ= a(r0) — функции, обратные к функции r = r(s). Тогда, вводя замену переменных, получим

Г1 г0

Я (г) = - j - — j ~ ~ ~ —-1А% (г0) а[ (г0) drо —

''oi

Это уравнение есть интегральное уравнение типа Вольтер,ра первого ро­ да относительно неизвестной функции а(г0). Вместе с уравнением (6, 8, 8) оно решает задачу определения функции ф(г0). Уравнение (6, 8, 17) обеспечивает равновесие осевых сил в произвольном сечении нитевой поверхности. 'Необходимо, чтобы это усилие было положительным всюду:

ния начального положения Т0 от семейства к семейству, т. е. от вида функции Т0=Т0(гQ) . Вид этой функции может быть произвольно выбран из условия равнопрочное™ нитей или из условия минимального веса ни-

тевой оболочки.

Как известно, равновесие безмоментной оболочки вращения для осе­ симметричных сил обеспечивается выполнением двух уравнений равно­ весия:

где S н Т — соответственно меридиональное и кольцевое усилия в обо­ лочке, 0 — угол между нормалью и осью ©ращения, Z — нормальная нагрузка на оболочку, R\ и R2 — гла©ные -радиусы кривизны, Q— ре­ зультирующая полной -нагрузки на ось ©ращения.

421/ а П М. Огибалов, М. А. Колтунов

В рассматриваемом случае -ыитевюй оболочки эти уравнения будут заведомо удовлетворяться при выполнении уравнения (6, 8, 17), так как оно обеспечивает суммарное равновесие всех нитей, каждая из которых находится в равновесии, а значит и равновесие поверхности в целом. Можно показать, что уравнения {*) при подстановке в них -выражений 5 и Т через натяжения 7\- нитей сводятся к уравнению (6, 8, 117).

.Построение многослойной оболочки и определение функции обиль­ ности ф из уравнения (6, 8, >17) для случая гладких нитей возможно единственным образом. Действительно, тан ,как передача усилий от слоя к слою осуществляется в виде нормального давления, то траектория нити и ее натяжение в произвольном слое определены однозначно из уравне­ ний равновесия нитей. И в силу этого ядро уравнения (6, 8, 17) также определено однозначно.

Единственность решения интегрального уравнения (6, 8, '17), т. е. нахождения функции ф, 'гарантирует нам однозначность способа построе­ ния многослойной оболочки для заданной поверхности и нагрузок.

В случае многослойной нитевой оболочки, образованной растяжимы­ ми .гладкими нитями, необходимо, чтобы при деформации слоев эти слои работали совместно без скольжения. Это условие будет выполнено, если перемещения отдельных слоев на поверхности контакта равны между собой.

Найдем условие, которое обеспечивает равенство перемещений от­ дельных слоев. Известно, что упругое перемещение нити, находящейся в равновесии, направлено по касательной к траектории 'нити. Рассмотрим элемент оболочки, имеющий единичную длину по меридиану. Перемеще­ ние отрезка произвольной нити, составляющей угол ф с меридианом

Т

EF cos ф *

где Е и F — Соответственно модуль упругости и площадь сечения нити. Перемещение вдоль меридиана будет

ДM = T/EF.

Далее рассмотрим элемент оболочки, имеющий единичную длину в ок­ ружном направлении. Перемещение отрезка произвольной нити будет

T/EF sin ф.

Перемещение вдоль окружности параллельного круга равно

AV= T/EF.

Если считать, что модуль упругости и сечение нити постоянны от слоя к слою, то перемещения каждого слоя зависят от натяжения. Таким образом, если натяжение в нитях будет постоянным от слоя к слою (од­ нако оно может быть переменным по длине нити каждого слоя), совме­ стность деформаций будет иметь -место в оболочке. Для нижеприведен­ ного примера нагружения оболочки осесимметричным давлением, где натяжение постоянно по длине оболочки Т=Т(г0), необходимо, чтобы Т не зависело от параметра г0, т. е. Т= const.

Для случая нагружения оболочки осесимметричным давлением и центробежными силами натяжение Т имеет вид

Здесь достаточно выбрать натяжение в точке .полюса нити Т0(го) равным

Такой выбор Го обеспечит постоянство Г от слоя к слою. Действительно:

Т = С — г2

2

Найдем класс поверхностей, образованных одним семейством линий (6, 8, 10) и равновесных под действием нагрузок (6, 8, 6). Интегрируя уравнение (6, 8, .Ю) при ф(г) = const = п и при r0= const (параметр г0 имеет смысл в данном случае полюсного радиуса отверстия inoBepxno- сти), 'будем иметь

Определяя из этого уравнения функцию s = a(r), получим уравнение ме­ ридиана этих равновесных поверхностей. Рассмотрим некоторые случаи применения уравнения (6, 8, 17).

2.Поверхность, нагруженная осесимметричным давлением

Вэтом случае d>i (г)= 0; Ф2(г) = 0. Уравнение )(6, 8, 8) будет

Условие (6, 8, 10) является уравнением геодезической линии .поверхности вращения. Поверхность в 'рассматриваемом случае образуется своими геодезическими линиями.

Уравнение (6, 8,’17) в данном случае имеет вид

(6,8,19)

г1

Оно разрешается в замкнутом виде

Г

Г

где

г

42V2*

Функция г|i(r) терпит разрыв в точке г = г{. Оценка функции ф(7) в ок­ рестности точки п возможна а -интегральном смысле. Действительно, для интервала r i> r ^ f i + e; в-*О имеем

Формула (6, 8, 1.4) применима в этом случае для открытого интервала:

П -Ь е < г.

Решение (6, 8, 20) позволяет получить широкий класс поверхностей вра­ щения намоткой нитей для произвольного заданного осесимметричного внутреннего давления [34]. Уравнение '(6, 8, 12а) поверхности, равновес­ ной для одного семейства линий, в рассматриваемом случае будет иметь вид

V о'* (г)—1___1

^ [ . J , ( r ) « * • + £ ] — ф

а '( г )

где Р — осевая сила, триложе-иная к толюоному отверстию. Обозначив

лг [p(r)rdr + ^ - r = x(r), p = V r * — r l ,

получим

Рассмотрим товерх.ности, симметричные относительно .плоскости

Г— Гтах. Тогда Р (Ушах) = оо и п Т о У ^г2 —rl = y>(rmax):

ЛX ( rm ax)

T0 V^rmax "0

Если p (r) = const = 9, T O x(г) = [ядо2 + P],

- p 2 — —4 W 4 - P 1

4 ('m ax~^ )