Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Оболочки и пластины

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

71.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 7047 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 > Следующая >>>

Представляя теперь w0(r), w0(r) в виде рядов по собственным

функциям, из начальных условий (4,22,3х) найдем значения Ап, Ап , т. е. получим решение задачи о свободных колебаниях при заданных


начальных		условиях.						Т а б л и ц а 4. 2
Для решения задачи о вынужден
ных колебаниях цилиндра под дейст							Номер частоты	(**)я
вием	давления		p(t)		заменим	p(t)
объемной		радиальной			силой q,	при	1	1	,0865
ложенной в тонком кольце а < г ^ г + б ,
								12,6243
так что граничные условия станут од							2
							3	2 5 ,1 6 1 5
нородными		(т.	е.	аг^='0 при г= а и			4	3 7	,7 1 8 3
r=6),	а уравнение			(4, 22, 2) — неодно			5	5 0	,2 7 9 9

родным:

« (	d2w	. 1	dw	1	\ .	о	d*w	(4,22,7)
\	дг*	г	дг	г2	J	р	~dt*~	(4,22,7)
\	дг*	г	дг	г2	J	р	~dt*~
Выберем q (г, t) так, чтобы при б-^О
		а+6	qdr — p(t).
		\|	qdr — p(t).					(4,22,8)
Разлагая q в ряд по собственным функциям /п(хпО
		4 = p ( t ) Y , an f n M ,						(4,22,81)
				п = 1
решение уравнения	(4,22,7) представим в виде
		и» =	£	Ф« (0 /«, (*«/■).				(4,22,9)
			П=1

причем для функций <р„(0 из (4,22,7) получим систему дифференциаль ных уравнений:

ф" + с 2ср„и2 = -у р(0,
каждое из которых имеет частное решение
	t
фл =	f p(t)sin [C7in(t — x)]dx.		(4,22,10)
рСХп	Jо
Поскольку при t = 0 выражение (4,22,10)		дает <рп= 0 и фп=0, то (4,22,9)
при значениях <рп (4,22,10)	формально	представляет	решение задачи
о действии давления p(t)	на первоначально недеформированный

цилиндр.

Ряд, входящий в выражение (4,22,81), представляет собой разло жение разрывной функции Д(г):

£ °п/л = А (г), П=1

которая может быть записана в виде
		А (/") =	О		4 < г , < а + Ь			(4,22,12)
			О					(4,22,12)
			0,	а +		6 < г .
			0,	а +		6 < г .
При этом функция q (4,22,8х)				удовлетворяет условию (4,22,8), если
окончательный результат имеет смысл при 6->-0.
Учитывая ортогональность функций fn,
		[ r f j . d r -			с2	т ф п '		(4,22,13)
		«'			с2	т =	п,
		а			п у		1
умножая на rfmdr обе части (4,22,11) -и						интегрируя от а до Ь,		получим
							и
		ап— 2 fп(Хл^)>			С2 =		г dr.	(4,22,14)
		ап— 2 fп(Хл^)>				п
Значит, общее	решение.вполне			опрёделено			формулой (4,22,9),	которая'
запишется в виде
		о о			t
W=	— V ■fn (yf } ■fn (Хлг) ( р (т) sin'[c«„ (t — Т)] dx.							(4,22,15>
	9е	л=1			*>			'
		л=1			О

Это выражение сложно для анализа и требует громоздких число вых расчетов. В йростейшем случае, когда в момент ^=0 приклады вается постоянное давление p = const, формула (4,22,25) принимает вид (учитывая, что рс2 = 3&)

оо
w = ~ЧГ X	2*2 /« (Хл«) /л М [1 —COS (CX„f)l.	(4,22,16)

Коэффициент динамичности, показывающий отношение перемеще ний (и напряжений) при динамическом расчете цилиндра (с учетом сил инерции вещества) к их значениям при статическом расчете, в сильной* мере зависит от закона приложения давления p(t) и может не толька не принимать значение 2, но и быть существенно меньше единицы в слу чае кратковременных действий. Цилиндры могут выдерживать, оста ваясь упругими, давления, во много раз превосходящие максимальные допустимые статические, если время действия давления меньше времени

двойного прохождения звуковой волны 2

по толщине стенки, что

существенно учитывать для толстостенных цилиндров. Этот эффект, следовательно, в первую очередь относится к большим упругим массам* с цилиндрическими полостями [50] и поэтому здесь не рассматривается.

§ 23. ПЛОСКАЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМ АЦИЯ Ц И Л И Н Д РА

Динамическая задача для цилиндра в случае плоских упругопластических деформаций несколько упрощается, поскольку цилиндр*

можно рассматривать как механическую систему с одной степенью сво боды [50].

Пусть при	t=f О цилиндр радиусов а, b находится в покое, а	при
/> 0 действуют	внутреннее pa{t) и наружное pb(t) давления, так	что

начальная координата любой частицы г0 изменяется до величины r(r0, t),

а внутренний	радиус	а становится				равным		R{t).			dR
а внутренний	радиус	а становится				равным		R{t).		Пусть V = —— есть
											dt
скорость расширения полости. Условие несжимаемости материала
	г2 — R2= г2— a2, Щ — ф = Ь* — а2										(4,23,1)
позволяет для	малых		и	конечных		деформаций				написать	выражение
	т/		dr				dVr
сдвига у скорости VГ=			—	и ускорения — 1 :
	V —		г	дг			ю 1				(4,23,2).
			г	дг
				дг0			— R 2		+ а2	’
	v			а. %		г Y т%			+ а2	’
	v r = S - v ,				li	1 •	d {RV)~			Rty2
	Г				li	г	d t K		1	г3

Динамическое уравнение в случае конечных деформаций записывается в виде

	дог _	_р_ Г		/PV2	]	,	2т (у)
	dr	г 1		Г2	J	1	г
где т = F(y) — функция		упрочнения		материала,			которая	на основании
(4,23,2) выражается через R и г.								до наружной
Интегрируя это уравнение по г от внутренней (r = R)								до наружной
Rb = r поверхности и учитывая граничные условия, получим
dV	R ln -^ - +	YL Л	п ^ - L i L _ i					P_	(4,23,3)-
dt	R	2 \	R 2 ‘	R \				P
где p = p a —Рь — разность давлений,				которая		определяет движение.
Вначале рассмотрим малые упругие					деформации. В этом				случае"
обозначая w(t) = R(t) — а и отбрасывая (4,23,2)							малые порядка w/a от
носительно 1, получим		(Rb = b, Ra = a)

В уравнении (4,23,3) кроме этого упрощения необходимо еще отбросить, малые порядка V2 относительно р/р и т/р, после чего, обозначая скорость волн сдвига С\ и параметр и по формулам

	2 (b2— а2)	(4,23,4).
	, ь
	а In —
	а
получим уравнение в виде
&W	р(О
	Ъ
	рaIn —

решение которого, аналогичное (4,22,10), будет
w =	р (т) sin [с±к (t — т)] dx.		(4,23,6)
с & р а In —
а
Динамический коэффициент k0 с определенной степенью достовер
ности можно определять на основании решения (4,23,6).			статический
Пусть p(t) имеет при некотором		t= tm максимум рт\	статический
расчет на действие давления	рт дает	значение максимального каса
тельного напряжения

т„ =	1
т„ =	1 — а! Рт-
Динамический расчет дает для г	= а
т	= 2G— ,

причем до определяется согласно (4,23,6). Значит, динамический коэф фициент &д определяется как наибольшее во времени значение по мо

дулю отношения — , т. е.

Т/л

	kA= шах С]Х	j* р (т) sin [CjX (t — т)] dx			(4,23,7)
	Рт
Для мгновенно возникающего постоянного давления
	р(9	0,	* < 0
	р(9	р	- const, t > 0
		р	- const, t > 0
из (4,23,27)	получим
		t
	kA= шах \| J sin {t — T) dx \| = 2.
		о
В случае постоянного давления, действующего определенный про
межуток времени t\:
	Pit) =	0,	t < 0, t > t lt
		Р,	о
динамический коэффициент равен наибольшему из выражений
	i
	= max \| j sin (t — x)dx I = max(l — cos^),			*i.
	о
К ~	max 11 sin (t — T )	dx I = max \| cos (t — <x) — cos 11, t >			tlt
	a

где t\ = C\v.x.

Теперь рассмотрим упруго-пластические малые деформации. При одностороннем динамическом процессе (расширение или сжатие) зави симость x —F(y) позволяет выразить интеграл, входящий в (4,23,3), че рез w. Представляя F(y) в виде x=Gy [1—а (у)], получим

Обозначая

Уа

	2w	2с?
	а	(4,23,8)
	а	Рa In
		Рa In
		а

преобразуем динамическое уравнение (4,23,3) к виду

(4,23,9)

Это квазилинейное дифференциальное уравнение имеет малый па раметр, поскольку функция со < 1. Значит, решение можно найти по ме тоду малого параметра, в качестве которого можно' принять s. Здесь рассматривается монотонное решение w, возрастающее или убывающее во времени. Поэтому, следуя методу упругих решений, в качестве пер вого приближения надо взять решение упругой задачи (4,23,6). Второе приближение также получается по формуле (4,23,6), если в ней p(t) заменить на

где

Yft, = Ya,a2

ао

Таким образом, во втором приближении получим

( Ya.W

w =

р (т) + 2q

(о(у)^у sin [c1H(t—'x)]dx. (4,23,11)

Рассмотрим большие пластические деформации. Если давление p(t) = ра—рь зависит только от объема полости цилиндра, т. е. p = p(R),

30 П. М. Огибалов, М. А. Колтунов

то уравнение (4,23,3)	имеет интеграл энергии, причем оно является ли-
*	V2
неиным относительно	— .

(4,23,12)

Пренебрегая упругими деформациями и упрочнением материала, т. е.

полагая т = -£ = -= т5, напишем интеграл уравнения (4,23,12) из усло-

V 3

вия сохранения энергии. Внутреннее давление ps, необходимое для прео доления пластического сопротивления материала, в этом случае равно

(4,23.13)

Значит, часть действующего давления p(R), которая будет увеличивать кинетическую энергию цилиндра, равна p(R)— ps(R)- Соответствующая работа будет

R	2
Л = 2яЭДр(Я) —		(4,23,14)
а
Кинетическая энергия цилиндра на основании (4,23,2)		запишется так:
*ь
Т = яр j	V2/ dr = ярRW2In ^ .	(4,23,15)
R
Из закона сохранения энергии имеем
	Т = Т0 + А ,	(4,23,16)
где. Го есть начальная кинетическая энергия цилиндра
Г0 = яэа2Ко1п—		(4,23,17)
	а

Скорость	расширения внутренней поверхности цилиндра из					(4,23,16)
находится в виде функции радиуса R:
	К = —		Г	Т° + А ■		(4,23,18)
		R	1 /	,	Rb
			У	n?ln~J
Если	Го=0(Ко=0) и давление р			убывает по мере расширения по
лости, так что начиная с некоторого R выражение в квадратной скобке
под интегралом (4,23,14)		становится		отрицательным, скорость V имеет
максимум	Vm• Обозначая	через	Rm(Rmb)		радиус, при котором дости

гается максимальная скорость, связь между Vm и R*m получаем из урав нения (4,23,12), в котором следует положить

_d_

d R

Радиус Rm находим из уравнения

(R = R J .

(4,23,20)

Рассмотрим частный случай сжатия цилиндра за счет начальной кинетической энергии Т0. Полагая в (4,23,14) р = 0, находим

A = ^ t [ R4n% ~ a4n^ + {bi~ 1п 4 ]

<4 -2 3 ’21>

Движение согласно (4,23,16) прекратится при R, определяемом из условия 7’о+Л = 0. Найдем наименьшую кинетическую энергию Гкр, при которой полость закроется. Переходя к пределу R->- 0, получим

Т	= ^ \	а	2 In-^7 +	ф2-	(4,23,22)
л	кр — V з	L	2 In-^7 +	ф2-

и соответствующую начальную скорость найдем из уравнения

еУокр	1кр	(4,23,23)
2		(4,23,23)
2		ь2

п а 2 In —

я2

При Т0>Т1ф полость захлопывается со скоростью, которая при R-* О стремится к бесконечности:

	рУ2	(4,23,24)
	2	(4,23,24)
	2

§ 24. ДЕЙСТВИЕ НА ЦИЛИНДР ДВИЖУЩЕЙСЯ НАГРУЗКИ

Оценку динамического коэффициента при подвижной нагрузке можно дать на основании теории колебаний цилиндрической обо лочки [51].

Приведем уравнение радиальных колебаний цилиндрической обо лочки:

и d2w	,	n d4w	2у£>		d2w	12 (1 — v2) D		vP
рп	+	и	+( R2	2n R J дх2			h2R 2	w -■ р —
dt2		дх 4	+( R2	2n R J дх2			h2R 2	2n R 2
				)				(4,24,1)
							E h 3	(4,24,1)
Здесь h — толщина стенки, R — радиус,						D =	E h 3	— цилиндричес-
Здесь h — толщина стенки, R — радиус,						D =	12(1 —v2)	— цилиндричес-

кая жесткость, Р—постоянная осевая растягивающая сила, р—внутрен

нее давление.

Рассмотрим вынужденные колебания цилиндра под действием по стоянного давления р и кольцевого давления Q= qc, движущихся с по стоянной скоростью V вдоль цилиндра вправо, причем будем считать,, что давление справа от Q равно нулю (рис. 4.14).

Представляет интерес стационарное решение, неизменное в осях,, движущихся вместе с нагрузкой. Пусть начало координат находится

в точке приложения кольцевого давления Q. Рассмотрим, следователь но, решение уравнения (4,24,1), зависящее от разности

тогда

дх

f = x - V t ,	(4,24,2)
d	d
т	dl

и потому (4,24,1) принимает вид

f t ,v + CpM n + «

. _

12(1 — va)D

w = p

—

^ _ ) w

h2R 2

2 n R 2

причем штрих означает производную по Из

сравнения

первого

последнего

слагаемых

правой, части (4, 24,

3) видно,

что характер

ный размер

области

изменения

деформаций

171

будет порядка

VRh

(4,24,4)

^3 (1 -

v*) ’

потому

по

порядку

величин

уравнение

Рис. 4.14

(4, 24, 3)

имеет

вид

D —

+ (р hV*

2vD

+ D ^ ~

P-

2n R

Отношение второго слагаемого к первому и третьему определяется ве личинами

2vD	W	Р	W
R2	~р .	2K R	’ Р

При очень больших скоростях V первое отношение может быть велико, и потому нельзя им пренебречь. Второе отношение равно

						2у		h_
						- /3 ( 1 — У2)'		R ’
т. е. соответствующим				членом		(4,24,3)	можно		пренебречь	с	ошибкой
не	более h/R	сравнительно с			единицей. Третье отношение						равно
	Р р	= р		Ш2^	_	v! \ =	4 y r3 ( i _ vi) А . ifebp
		= р		Ш2^	_	v! \ =	4 y r3 ( i _ vi) А . ifebp
	2 n R D	2n R h		E h ? к					h	Е
где	(<*з)ср = ■	Р	— среднее			растягивающее			напряжение		от осевой
где	(<*з)ср = ■		— среднее			растягивающее			напряжение		от осевой

2n R h

силы Я; указанное отношение является весьма малой величиной, и со ответствующим слагаемым в скобках (4,24,3) можно пренебречь.

Итак, динамическое уравнение (4,24,3) имеет следующий прибли женный вид:

d*w

hV *P

(Pw

Р f

уР

Введем новые обозначения, упрощающие, формулировку задачи: безраз мерную координату

	т= J_		_ &V з (1 — V2)				(4 24,6)
		l■		VTh.		’	(4 24,6)
		l■		VTh.		’
статический прогиб оболочки по безмоментной теории
		1	/4	/		vP \	(4,24,7)
	“Чт = Т - ^ ( р — а д г )						(4,24,7)
	“Чт = Т - ^ ( р — а д г )
и параметр динамичности
	x = _ ! ^ _	=	VA3 lr^		)
	4 D						(4,24,8)
		-V T					(4,24,8)
где с — скорость		-V T
где с — скорость	распространения			звука	в	материале. Из	(4,24,5) по
лучаем
	+	4	х ^	+ 4ш =		4шст.	(4,24,9)
			4£2
Так как wcт — функция, имеющая				разрыв в одной точке л:=0, то, раз
бивая область на	интервалы	л;<0		и л:>0,		получаем для	х<0 w = wCT.

Общее решение в виде е^ приводит к характеристическому уравнению

	/г4 + 4Х£2 +		4 =	0,
имеющему корни					(4,24,10)
	h\t2 =	s1 +	is,		(4,24,10)
	kz,A -	—sx + is,
Si =	V 1— X,	s = ]Л + X.
Прогиб w для левой части цилиндра х<0 имеет вид
w = w„ + es&(Л, cos s£ +				sin s£),	(4.24.11)
а для правой (x>0)
w = wn +	e~s^ (A2C O S st, +			B„sin s£),	(4.24.12)
причем A, В — произвольные постоянные и
w„— w„ =		PR 2			(4.24.13)
w„— w„ =		E h ■= P-			(4.24.13)

Условимся, сопряжения решений в сечении л:=0 требуют непрерыв ности прогиба, угла наклона образующей, изгибающего момента и пере

резывающей силы N = -^у-, которая в сечении х = 0 должна иметь раз-

рыв на величину Q. Обозначая

иудовлетворяя условиям сопряжения, находим постоянные в (4,24,11)

и(4,24,12)

	B i= — — р		— . *	1 -
		2 И	/ 1 - Х 4
Л = т ? + V 7,	В2 = ----	— р ----	%------ 1----	— I (4,24,15)
Л = т ? + V 7,	2	2 И 1 - х а		8S

Ид (4,24,11), (4,24,12) и (4,24,13) видно, что х=1 определяет критиче скую скорость движения нагрузки, при которой возможно сильное влия ние динамической нагрузки. При х=1 из (4,24,8) получаем

Vг кр =	—	= 4-103 1 /	— —	(4,24,16)
/ 3 ( 1 - V * )	R	У	R сек
(число дано для £ = 2,1 • 106 кг/см2,/v =		- j - , pq =	7,8^

При х<1 за счет динамичности нагрузки прогиб да будет больше, чем при статическом ее приложении (х=0), и потому можно определить коэффициент динамичности как отношение максимального прогиба датах при х>0 к максимальному прогибу при %= 0:

kд	(B’maxJjoO	(4,24,17)
	(штах)х=о

причем даШа х определяется для левой части цилиндра, т. е. по формуле

(4,24,11). Точка £ т а х < 0 , в которой прогиб наибольший,			определяется
из условия	= 0, что дает
	tg(s£max) =	V 1Н*Х	(4,24,18)
	tg(s£max) =		(4,24,18)

Рассмотрим первый пример, когда кольцевое давление Q распро

страняется со скоростью v, так что р = 0, q-Ф0. Максимальный динами ческий прогиб будет

wmax = Л =	1 - х	’
8 /	1 - х	’
поэтому динамический коэффициент равен	k. —	/_ .
	у	1— х

Рассмотрим второй пример, когда осевая сила и кольцевая нагруз

ка отсутствуют (P = Q= 0, <7= 0) и действует только внутреннее давле ние. Наибольший прогиб получается в точке £тах<0, для которой

( / m a x )

так что если обозначить

- у < а = arctg

* ' < — = До»

<<< < Предыдущая 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 7047 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
13.11.202322.72 Mб0Обнаружение и исправление ошибок в дискретных устройствах..pdf
#
12.11.202312.6 Mб24Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации..pdf
#
19.11.202329.24 Mб0Обобщенная нелинейная модель учета рассеяния энергии при колебаниях..pdf
#
12.11.202312.55 Mб0Обобщенная теория анизотропных оболочек..pdf
#
12.11.202317.06 Mб18Обогащение полезных ископаемых..pdf
#
19.11.202371.66 Mб21Оболочки и пластины..pdf
#
12.11.202321.81 Mб6Оборотное водоснабжение химических предприятий..pdf
#
12.11.202316.36 Mб4Оборудование для добычи нефти и газа. Т. 1.pdf
#
19.11.202328.38 Mб10Оборудование для добычи нефти и газа..pdf
#
19.11.202335.36 Mб139Оборудование для дуговой электрической сварки. Источники питания дуги.pdf
#
12.11.202312.57 Mб1Оборудование для подготовки материалов..pdf